M = C( 1 + i.n ) J = C.i.n. J = C((1+i) n -1) MATEMÁTICA FINANCEIRA. M = C(1 + i) n BANCO DO BRASIL. Prof Pacher

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1 MATEMÁTICA 1 JUROS SIMPLES J = C.. M C J J = M - C M = C( 1 +. ) Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Aplcado-se R$ 100,00 a juros smples, à taxa omal de 10% ao ao, o motate em reas ao fm de meses, será ) Passe a taxa de ao para mês. aa=1. am 10%=1. am 10%/1= am am=10% am ) Cálculo dos juros J=C.. J=100.0,10. j=0 ) Cálculo do motate M=C+j M=100+0 M=10 Outra opção: O motate pode ser calculado pela fórmula M = C(1 +.) JUROS COMPOSTOS J = C((1+) -1) M C J J = M - C M = C(1 + ) = taxa de redmeto Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Aplcado-se R$ 100,00 a juros compostos, à taxa omal de 60% ao ao, com captalzação bmestral, o motate em reas ao fm de 4 meses, será ) Passar a taxa omal (ao) para a taxa de captalzação (mês), sto é, coverta proporcoalmete de ao para mês.. captalzação=. omal/6. captalzação=60%/6. captalzação=10% am. ) O prazo deve estar a udade de tempo da captalzação mecoada. 4 meses = bmestres ) Cálculo do motate M = C(1 + ) M = 100(1 +0,10) M = 100.1,10 M = 100.1,1 M = 11,00 v) Cálculo do juro J=M-C J= J=1,00 3 CONVERSÕES IMPORTANTES ENTRE TAXAS omal Passagem pela dvsão ou multplcação captalzação Taxa usada a fórmula Passagem pelo "esqueleto": 1 +? =(1 +? )? equvalete ou efetva Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. ados que um teste pode coter. Seja 1% ao ao a taxa omal e com captalzação mesal, determe a taxa equvalete (efetva) aual. ) Passar a taxa omal para a udade da taxa de captalzação. Coversão proporcoal (dvsão ou multplcação).. captalzação=. omal/1. captalzação=1%/1. captalzação=1% am. ) Agora passe a taxa de captalzação para a udade de tempo da taxa equvalete. Coversão expoecal ( esqueleto ) 1 + aa =(1 + am ) aa =(1 + 1% ) 1 procure a tabela do fator correspodete a (1+1%) 1, que ecotra-se a lha =1 e colua =1% 1+ aa=1,168 aa=0,168 aa=0, % aa=1,68% aa. 4 RELAÇÃO ENTRE TRÊS TAXAS NOBRES Observe que: redmeto= aparete= bruta 1+ redmeto =(1+ flação )(1+ real ) Cohecdas duas taxas, podemos obter a tercera. Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Uma retabldade de 80% am, em um período em que a flação fo de 0% am, equvale a uma retabldade real de: 1+ redmeto=(1+ flação)(1+ real) 1+0,80=(1+0,0)(1+ real) 1,80=1,0(1+ real) 1,80/1,0=1+ real 1+ real =1,80/1,0 1+ real =1,50 1+ real =1,50 real =0,50.100% real =50% ao mês. Obs.: Não acumule taxa pela adção. 5 TAXA ACUMULAA 1+ acumulada =(1+ 1 )(1+ )(1+ 3 )(1+ 4 )... Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Se em determado período a flação fo, respectvamete 10%; 15% e 0%, qual a flação acumulada esse prazo? 1+ acumulada=(1+ 1)(1+ )(1+ 3)(1+ 4) 1+ acumulada=(1+10%)(1+15%)(1+0%) 1+ acumulada=(1,10)(1,15)(1,0) 1+ acumulada=1,518 acumulada=0,518 acumulada=0, % acumulada=51,8% ap Obs.: Não acumule taxa pela adção ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS 1

2 6 ESCONTO COMERCIAL SIMPLES Por fora A cs = N.. N A = N(1 -.) 8 ESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Por fora A cc = N - A N A = N( 1 - ) Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Uma duplcata é descotada meses ates de seu vecmeto através de uma operação de descoto comercal smples a uma taxa de % ao mês. O valor do descoto fo gual a R$ 4,00. Calcule o valor atual. ) Obteha o valor omal do título para usar o tem ). escoto comercal smples cs = N.. 4 = N.%. 4/%. = N 4/0,0. = N N=100 ) Cálculo do valor atual. A=N- A=100,00-4,00 A=96,00 Outra opção: O valor atual pode ser calculado pela fórmula: A=N(1-.) 7 ESCONTO RACIONAL SIMPLES Por detro A rs=n../(1 +.) N N = A( 1 +. ) Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Uma duplcata com valor omal de R$ 100 é descotada meses ates de seu vecmeto através de uma operação de descoto comercal composto a uma taxa de % ao mês. Calcule o valor do descoto. ) Obteha o valor omal do título para usar o tem ). escoto comercal composto A=N(1-) A=100(1-%) A=100(1-0,0) A=100.0,98 N=100.0,98.0,98 N=100.0,9604 N=96,04 ) Cálculo do valor do descoto. =100,00-96,04 =3,96 9 ESCONTO RACIONAL COMPOSTO Por detro A rc = N - A N N = A( 1 + ) Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Uma duplcata é descotada meses ates de seu vecmeto através de uma operação de descoto racoal smples a uma taxa de % ao mês. O valor do descoto fo gual a R$ 4,00. Calcule o valor atual. ) Obteha o valor omal do título para usar o tem ). escoto racoal smples rs = N../(1+.) 4 = N.%./(1+%.) 4.(1+%.)/%. = N 4.(1+0,0.)/0,0. = N N= (4.0,96)/0,04 N= 3,84/0,04 N= 96,00 ) Cálculo do valor atual. A=N- A=96,00-4,00 A=9,00 Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. Uma duplcata com valor omal de R$ 100 é descotada meses ates de seu vecmeto através de uma operação de descoto racoal composto a uma taxa de % ao mês. Calcule o valor do descoto. ) Obteha o valor atual para usar o tem ). escoto racoal composto N=A(1+) 100=A(1+%) 100=A(1+0,0) 100=A.1,0 100=A.1,0.1,0 100=A.1, /1,0404=A A=96,17 ) Cálculo do valor do descoto. =100,00-96,17 =3, ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS

3 PARCELAMENTO - PRESTAÇÕES - SÉRIES E PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS - EPÓSITOS Sempre a cosderar que são guas e sucessvas orgem ao fator. RELAÇÃO ENTRE C, R e fator - POSTECIPAO Postecpado orgem ao fator. FRC(,)=/(1-(1+) - ) 11 FRC(, ). C = R.FVA(, ) 1 FVA(,)=(1-(1+) - )/ Postecpado Teste exemplo FVA. ados com valores para facltar a memorzação. Um artgo, cujo preço à vsta é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dos pagametos guas: o prmero um mês após a compra. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reas, de cada pagameto? Um mês após a compra é POSTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FVA. ) C=R.FVA(, ) 100=R. FVA(10%, ) veja fator a tabela ao lado 100=R. 1, /1,7355=R R= 57,6 Se for dada a tabela do fator FVA 1 0,9346 0,959 0,9174 0,9091 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 3,643,5771,5313,4869 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os cálculos, passo a passo, com uso da fórmula: C=R. (1-(1+) - )/ Teste exemplo FRC. ados com valores para facltar a memorzação. Um artgo, cujo preço à vsta é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dos pagametos guas: o prmero um mês após a compra. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reas, de cada pagameto? Um mês após a compra é POSTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FRC. ) R=C.FRC(, ) R=100. FRC(10%, ) veja fator a tabela ao lado R=100. 0,576 R= 57,6 Se for dada a tabela do fator FRC 1 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 0,5531 0,5608 0,5685 0, ,3811 0,3880 0,3951 0,401 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os cálculos, passo a passo, com uso da fórmula: R=C. /(1-(1+) - ) orgem ao fator. RELAÇÃO ENTRE M, R e fator - POSTECIPAO Postecpado orgem ao fator. FFC(,)=/((1+) -1) 13 FFC(, ). M = R.FAC(, ) 14 FAC(,)=((1+) -1)/ Postecpado Teste exemplo FAC. ados com valores para facltar a memorzação. Aplca-se, mesalmete, R$ 100,00 durate meses, o íco de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do motate? Para aplcações use a forma ANTECIPAA. A fórmula fo escolhda para usar o fator FAC. ) M=100. FAC(, ) M=100. FAC(10%, ) veja fator a tabela ao lado M=100.,1000. M=10,00 Se for dada a tabela do fator FAC,0700,0800,0900, ,149 3,464 3,781 3,3100 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os cálculos, passo a passo, com uso da fórmula: M=R. ((1+) -1)/ Teste exemplo FFC. ados com valores para facltar a memorzação. Aplca-se, mesalmete, R$ 100,00 durate meses, o íco de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do motate? Um mês após a compra é POSTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FFC. ) R=M.FFC(, ) 100=M. FFC(10%, ) veja fator a tabela ao lado 100=M. 0, /0,476=M M= 10,00 Se for dada a tabela do fator FFC 0,4831 0,4808 0,4785 0, ,3111 0,3080 0,3051 0,301 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os fórmula: R=M./((1+) -1) ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS 3

4 RELAÇÃO ENTRE C, R e fator - ANTECIPAO Atecpado 15 FRC(, )/(1+). C = R.FVA(, ).(1+) 16 Atecpado Teste exemplo FVA. ados com valores para facltar a memorzação. Um artgo, cujo preço à vsta é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dos pagametos guas: o prmero o ato da compra e o segudo um mês após.. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reas, de cada pagameto? Um mês após a compra é ANTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FVA. ) C=R.FVA(, ).(1+) 100=R. FVA(10%, ).(1+10%) veja fator a tabela ao lado 100=R. 1,7355.1,10 100=R. 1, /1,90905=R R= 5,38 Se for dada a tabela do fator FVA 1 0,9346 0,959 0,9174 0,9091 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 3,643,5771,5313,4869 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os fórmula: C=R. (1-(1+) - ).(1+)/ Teste exemplo FRC. ados com valores para facltar a memorzação. Um artgo, cujo preço à vsta é R$ 100,00, pode ser comprado a prazo com dos pagametos guas: o prmero o ato da compra e o segudo um mês após. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reas, de cada pagameto? Um mês após a compra é ANTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FRC. ) R=C.FRC(, )/(1+) R=100. FRC(10%, )/(1+10%) veja fator a tabela ao lado R=100. 0,576/1,10 R=57,6/1,10 R= 5,38 Se for dada a tabela do fator FRC 1 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 0,5531 0,5608 0,5685 0, ,3811 0,3880 0,3951 0,401 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os fórmula: R=C. /(1-(1+) - ).(1+) RELAÇÃO ENTRE M, R e fator - ANTECIPAO Atecpado 17 FFC(, )/(1+). M = R.FAC(, ).(1+) 18 Atecpado Teste exemplo FAC. ados com valores para facltar a memorzação. Aplca-se, mesalmete, R$ 100,00 durate meses, o íco de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do motate? Para aplcações use a forma ANTECIPAA. A fórmula fo escolhda para usar o fator FAC. ) M=100.FAC(, )(1+) M=100. FAC(10%, )(1+10%) veja fator a tabela ao lado M=100.,1000.1,10 M=31,00 Se for dada a tabela do fator FAC,0700,0800,0900, ,149 3,464 3,781 3,3100 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os fórmula: M=R. ((1+) -1).(1+)/ Teste exemplo FFC. ados com valores para facltar a memorzação. Aplca-se, mesalmete, R$ 100,00 durate meses, o íco de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do motate? Um mês após a compra é POSTECIPAO. A fórmula fo escolhda para usar o fator FFC. ) R=M.FFC(, )/(1+) 100=M. FFC(10%, )/(1+10%) veja fator a tabela ao lado 100=M. 0,476/(1,10) 100.1,10/0,476=R R= 31,00 Se for dada a tabela do fator FFC 0,4831 0,4808 0,4785 0, ,3111 0,3080 0,3051 0,301 Oretação: Caso ão seja dada a tabela de fatores, devemos desevolver os fórmula: R=M./((1+) -1).(1+) ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS 4

5 19 SAC - SISTEMA E AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. ados que um teste pode coter. Captal C=100,00, prazo = meses, taxa =10% am, captalzação mesal, sstema de amortzação SAC, a prmera parcela paga somete o fal do prmero período. Para respoder a qualquer perguta, será ecessáro a motagem da plalha. Veja a plalha a segur e observe como fo elaborada. Plalha para o sstema SAC º passo 1º passo 3º passo 4º passo Cálculo S Cálculo A PA Cálculo J(10%) J Cálculo R R 0 100,00 100, ,00-50,00= 50,00 100,00/= 50, %= 10, = 60,00 50,00-50,00= 0,00 100,00/= 50, %= 5, = 55,00 0 SAF - SISTEMA E AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (OU PRICE) Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. ados que um teste pode coter. Captal C=100,00, prazo = meses, taxa =10% am, captalzação mesal, sstema de amortzação SAF ou SAPrce, a prmera parcela paga somete o fal do prmero período. Para respoder a qualquer perguta, será ecessáro a motagem da plalha. Veja a plalha a segur e observe como fo elaborada. Plalha para o sstema SAC 4º passo 3º passo º passo 1º passo Cálculo S Cálculo A PA Cálculo J(10%) J Cálculo R R 0 100,00 100, ,00-47,6= 5,38 57,6-10,00= 47,6 100,00.10%= 10,00 Veja (*) 57,6 5,38-5,38= 0 57,6-5,4= 5,38 5,38.10%= 5,4 Veja (*) 57,6 Um dos procedmetos abaxo será ecessáro para calcular a parcela do SAF(Prce) Use este, se for dada a tabela de fatores FVA. POSTECIPAO C=R.FVA(, ) 100=R.FVA(10%,) Procure o fator a tabela. Se ão for dada a tabela, substtua FVA(, ) pela expressão (1-(1+) - )/ (1-(1+0,10) - )/0,10 1,7355. R=100/1,7355 R=57,6 Use este, se for dada a tabela fatores FRC. POSTECIPAO R=C.FRC(, ) R=100.FRC(10%, ) Procure o fator a tabela. Se ão for dada a tabela, substtua FRC(, ) pela expressão /(1-(1+) - ) 0,10/(1-(1+0,10) - ) 0,576. R=100.0,576 R=57,6 1 TAXA INTERNA E RETORNO TIR Taxa tera de retoro é a taxa que guala as etradas e saídas a mesma data focal. Teste exemplo. ados com valores para facltar a memorzação. A tabela abaxo apreseta o fluxo de caxa de um certo projeto. Para que a taxa tera de retoro aual seja 10%, o valor de x, em mlhares de reas, deve ser Período (aos) 0 1 Valor (mlhares de reas) - x ) A partr do fluxo de caxa dado, escolha uma data focal. Em juros compostos, depede a escolha da data focal. Uma boa sugestão é escolher a data foca mas a dreta (ou a maor). ) Nesta resolução, tomamos como data focal o =, é a maor. Período (aos) 0 1 O 15 já está a posção da data focal =. 15 Se é postvo, é etrada. esloque 10 um passo até atgr a posção = (1+) Se é postvo, é etrada esloque x dos passo até atgr a posção =. - x x.(1+) x.(1+).(1+) Se é egatvo, é saída Iguale a soma das etradas com a soma das saídas (1+) = x.(1+).(1+) (1+10%) = x.(1+10%).(1+10%) ,10 = x.1,10.1, = 1,1x 6 = 1,1x x=6/1,1 x=1, ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS 5

6 1. AOS AGRUPAOS 1.1.MÉIA x x f x.f f x.f x f 7 x = x = x = 3, 6 f MOA Mo x f BANCO Para obter a moda, vá até colua de f e procure o maor valor. O x dessa lha é a moda. No caso da tabela acma, o maor f=7 e o correspodete x=3, logo, a moda é MEIANA Me x f F Medaa é o termo cetral uma sére de dados orgazados em ordem crescete ou decrescete. -Obteha a colua de dados acumulados F. -vda f por, assm: 0/=10. -Na colua de F, partdo de cma para baxo, pare o valor que é maor que 10, resultado da dvsão ateror. Essa é a lha da medaa, logo, a medaa é o x dessa lha, Me=3. CASO ESPECIAL PARA A MEIANA 1.4. MEIANA Me um caso ESPECIAL. Smule modfcado dados da tabela acma para expor essa possbldade Caso especal x f F f -vda f por, assm: 0/=10. -Na colua de F, partdo de cma para baxo, se o valor ecotrado for IGUAL a 10, etão a medaa é a méda artmétca etre o x e o posteror x(+1) de F=10. (3+4)/=3,5. Assm a Me=3, VARIÂNCIA s (méda - x ) f s = f 1.6. ESVIO PARÃO s É a raz quadrada da varâca.. AOS COM INTERVALO E CLASSE.1.MÉIA x L Ls PM f PM.f Total f PM.f PM f x = f -PM é o poto médo de cada classe, assm: (L+Ls)/=PM. -A méda é gual PM.f / f, ou seja, méda=630/80=3, MOA Mo Para obter a moda, vá até colua de f e procure o maor valor em f. L Ls PM f f(-1) f f(+1) Total 80 f A partr da lha de f=3 (maor valor), detfque os valores de: L, f, f-1, f+1 e h. Ode L é o lmte feror da classe em f de maor valor, em destaque a tabela acma e h=ls-l=40-30=10. Agora substtua os dados a fórmula que segue: (f - f -1 ) M o = L + h (f - f -1 ) + (f - f +1 ) (3-1) M o = (3-1) + (3-16) Mo=3,.3. MEIANA Me Medaa é o termo cetral uma sére de dados orgazada em ordem crescete ou decrescete. -Obteha a colua de dados acumulados F. -vda f por, assm: 80/=40. -Na colua de F, partdo de cma para baxo, pare o valor que é maor que 40. Essa é a lha da medaa. L Ls PM f F Total 80 f A partr da lha de F=57, use os valores f=80, L=30, f=3, F -1 =34 e h=ls-l=40-30=10. Substtua os dados a fórmula que segue: f ( - F -1 ) M = L + e h f 80 ( - 34) M e = Me=3,608 Obs. Se a colua de F, partdo de cma para baxo o valor F for gual f /, sga os procedmetos do tem VARIÂNCIA s (méda - PM ) f s = f.5. ESVIO PARÃO s É a raz quadrada da varâca. 3. ISTRIBUIÇÃO ISCRETA E PROBABILIAE 3.1. MÉIA x f P(x) P(x) % x.p(x) 1 4 0,16 16% 0, , % 0, ,8 8% 0, ,0 0% 0, ,14 14% 0,70 150,94 f x.p(x) x = x P(x ) -A meda= x.p(x), seja a méda=, PROBABILIAE x f P(x) P(x) % x.p(x) 1 4 0,16 16% 0, , % 0, ,8 8% 0, ,0 0% 0, ,14 14% 0,70 150,94 f x.p(x) - A probabldade é o valor P(x)% ou P(x) correspodete ao x solctado. -a tabela a probabldade de ser maor que x=3 é ser 4 e 5, que resulta em (0,0+0,14)=0,34 ou 34% VARIÂNCIA s s = (méda - x ) P(x ) 3.4. ESVIO PARÃO s É a raz quadrada da varâca ou Facebook: UNIFICAO CONCURSOS 6

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