TT ECONOMIA DE ENGENHARIA Material Didático Prof. Lúcia R. A. Montanhini

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1 INTRODUÇÃO TT405 - ECONOMIA DE ENGENHARIA Materal Ddátco Prof Lúca R A Motah

2 INTRODUÇÃO 2 INDICE INTRODUÇÃO 7 2 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONÔMICA 8 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 9 3 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 9 32 JUROS (J) 0 32 JUROS UNIDADE DE MEDIDA 322 TAXA DE JUROS: COMPONENTES CAPITALIZAÇÃO DE JUROS 3 33 FLUXO DE CAIXA 3 32 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 5 32 JUROS SIMPLES JURO COMPOSTO COMPARAÇÃO ENTRE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA JURO CONTÍNUO PRAZO DE APLICAÇÃO FRACIONÁRIO EXEMPLOS TIPOS DE TAXAS DE JUROS 2 33 TAXAS PROPORCIONAIS TAXAS EQUIVALENTES TAXA EFETIVA TAXA NOMINAL CONVERSÃO DE TAXAS DE JUROS TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA CONVERSÃO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA TAXA DE INFLAÇÃO INDICADORES FINANCEIROS: TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS TAXA DE MÍNIMA ATRATIVIDADE EXEMPLOS 29 4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 3 4 CAPITAIS EQUIVALENTES 3 42 ANUIDADES: CONCEITO E MODELOS GENÉRICOS 3 42 ANUIDADE ISOLADA 3 42 VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL(P) MONTANTE OU VALOR FUTURO (F): SÉRIE SÉRIE UNIFORME SÉRIE GRADIENTE ARITMÉTICA RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA SIMBOLOGIA RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS RELAÇÃO ENTRE P E F: EXEMPLOS: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE UMA ANUIDADE ISOLADA E UMA SÉRIE UNIFORME RELAÇÕES ENTRE F E A RELAÇÕES ENTRE P E A SÉRIE PERPÉTUA 40

3 INTRODUÇÃO EXEMPLOS: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS E SÉRIE GRADIENTE: RELAÇÕES ENTRE P E G RELAÇÕES ENTRE F E G EXEMPLOS RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SÉRIE UNIFORME E SÉRIE GRADIENTE: RELAÇÃO ENTRE A E G EXEMPLOS TAXA DE JUROS ENTRE DOIS CONJUNTOS DE CAPITAIS EQUIVALENTES MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON EXEMPLOS: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 5 5 PROJETOS DE INVESTIMENTO 54 5 INTER-RELACIONAMENTO ENTRE PROJETOS DE INVESTIMENTOS 54 6 ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS 55 6 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ELEMENTOS REQUERIDOS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS HORIZONTE TEMPORAL FLUXO DE CAIXA DETERMINAÇÃO DOS CUSTOS TOTAIS DETERMINAÇÃO DAS RECEITAS GERADAS DETERMINAÇÃO DO VALOR RESIDUAL DO INVESTIMENTO TAXA DE JUROS DA ANÁLISE DE INVESTIMENTO MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS: MÉTODO DO VALOR PRESENTE EXEMPLOS: MÉTODO DO VALOR FUTURO EXEMPLOS: MÉTODO DO VALOR ANUAL EXEMPLOS: MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO EXEMPLOS: MÉTODO DO PRAZO DE RETORNO -"PAYBACK EXEMPLOS: MÉTODO DA RELAÇÃO BENEFÍCIO-CUSTO EXEMPLOS: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES ESPECÍFICAS ANÁLISE DE ALTERNATIVAS COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS: MÉTODO DA TIR PARA PROJETO COM PREDOMINÂNCIA DE CUSTOS EXISTÊNCIA DE TAXAS MÚLTIPLAS ANÁLISE DE PROJETOS COM TAXAS MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS COM DIFERENTES HORIZONTES DE PLANEJAMENTO HIPÓTESE DE REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO HIPÓTESE DE NÃO REPETIÇÃO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO EXISTÊNCIA DE RESTRIÇÕES FINANCEIRAS ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E A CORREÇÃO MONETÁRIA EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 74 7 FINANCIAMENTO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 78 7 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 79

4 INTRODUÇÃO 4 72 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA PRINCIPAL (P): PRESTAÇÃO (AM ): AMORTIZAÇÃO (K M ): JUROS (JM) SALDO DEVEDOR (SDM ) PRAZO (N) CARÊNCIA PRAZO DE CARÊNCIA (N ) PRAZO DE AMORTIZAÇÃO (N) MODALIDADES DE CONTRATO QUANTO À AMORTIZAÇÃO DO CAPITAL: QUANTO AO PAGAMENTO DO JURO: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (PRICE) FLUXO DE CAIXA VALOR DAS PRESTAÇÕES SALDO DEVEDOR EM UM PERÍODO DE TEMPO QUALQUER (M) JUROS DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) AMORTIZAÇÃO DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO (AM) AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 M JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 M JUROS ACUMULADOS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (JM,M ) AMORTIZAÇÕES ACUMULADAS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (KM,M ) QUADRO DE FINANCIAMENTO EXEMPLOS: SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) FLUXO DE CAIXA PARCELA DE AMORTIZAÇÃO DAS PRESTAÇÕES A A AN SALDO DEVEDOR NO PERÍODO M JUROS CONTIDOS NA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO VALOR DA M-ÉSIMA PRESTAÇÃO JURO ACUMULADO NO PERÍODO DE 0 M AMORTIZAÇÃO ACUMULADA NO PERÍODO DE 0 M QUADRO DE FINANCIAMENTO EXEMPLOS: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) EXEMPLO: SISTEMA AMERICANO EXEMPLO: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE - SACRE CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES ANUAIS EXEMPLO: VANTAGENS E DESVANTAGENS ENTRE OS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO PLANO DE REAJUSTE E COMPROMETIMENTO DE RENDA EXEMPLO: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 96 8 DEPRECIAÇÃO DE EQUIPAMENTOS 98 8 FORMAS DE DEPRECIAÇÃO VIDA ÚTIL DE ATIVOS FIXOS MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA 99

5 INTRODUÇÃO MÉTODO LINEAR DEPRECIAÇÃO ACUMULADA VALOR CONTÁBIL TAXA PERCENTUAL DE DEPRECIAÇÃO DEPRECIAÇÃO CONTÁBIL EXEMPLO: MÉTODO EXPONENCIAL TAXA EXPONENCIAL DE DEPRECIAÇÃO: EXEMPLO: MÉTODO DA SOMA DOS DÍGITOS DEPRECIAÇÃO ACUMULADA: EXEMPLOS: MÉTODO DA SOMA INVERSA DOS DÍGITOS: DEPRECIAÇÃO ACUMULADA EXEMPLO: MÉTODO DO FUNDO DE RESERVA EXEMPLO: MÉTODO DA DEPRECIAÇÃO POR PRODUÇÃO EXEMPLO: 08 9 A INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 09 9 INFLUÊNCIA DO IR EM FINANCIAMENTOS DE PROJETOS 0 9 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS 0 92 INFLUÊNCIA DO IR PARA FINANCIAMENTO COM RECURSOS PRÓPRIOS: 0 93 FINANCIAMENTO COM COMPOSIÇÃO MISTA DE RECURSOS 0 94 FINANCIAMENTO COM RECURSOS DE TERCEIROS 0 95 EXEMPLOS: 0 0 SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS 2 0 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2 0 CUSTO ANUAL DE CAPITAL: 2 02 CUSTO ANUAL DE OPERAÇÃO E MANUTENÇÃO 3 02 CUSTOS DE MANUTENÇÃO CUSTOS DE OPERAÇÃO 3 03 CUSTO ANUAL TOTAL 3 04 VIDA ECONÔMICA 3 04 EXEMPLO: 4 02 BAIXA DE VEÍCULOS E EQUIPAMENTOS 4 02 BAIXA SEM REPOSIÇÃO 4 02 EXEMPLO: BAIXA COM REPOSIÇÃO IDÊNTICA EXEMPLO: BAIXA COM REPOSIÇÃO DIFERENTE EXEMPLO: 6 03 SUBSTITUIÇÃO COMO ANÁLISE DE INVESTIMENTO 6 03 CASO : VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR IGUAL À VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE CASO 2: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR MENOR QUE A VIDA ÚTIL DO DESAFIANTE EXEMPLO: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 8 ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE RISCO E INCERTEZA 9 DEFINIÇÕES: 9 2 FATORES QUE LEVAM A INCERTEZA: 9

6 INTRODUÇÃO 6 3 ANÁLISE SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA 9 3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 20 3 EXEMPLO: 20 4 CRITÉRIOS DE DECISÃO 2 4 CRITÉRIO OTIMISTA: MAXIMAX (OU MINIMINI SE A MATRIZ FOR DE CUSTO) CRITÉRIO PESSIMISTA : MAXIMIN (OU MINIMAX SE A MATRIZ FOR DE CUSTOS) CRITÉRIO DE LAPLACE : MÉDIA CRITÉRIO DE HURWICZ CRITÉRIO DE SAVAGE : ARREPENDIMENTO 23 5 CRITÉRIOS DE DECISÃO COM PROBABILIDADES ASSOCIADAS: 23 5 CRITÉRIO DA ESPERANÇA MATEMÁTICA: MÉDIA CRITÉRIO DO LIMITE MÍNIMO ARVORE DA DECISÃO EXEMPLOS: VALOR DA INFORMAÇÃO ADICIONAL INFORMAÇÃO PERFEITA INFORMAÇÃO IMPERFEITA PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO DETERMINAÇÃO DA PROBABILIDADE PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL FLUXO DE CAIXA DE VALORES ESPERADOS PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO 32 2 TABELA DE JUROS 34 3 TABELA DE PROBABILIDADES 38 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 40 5 PROGRAMAÇÃO DA DISCIPLINA TT405 ANO LETIVO

7 INTRODUÇÃO 7 INTRODUÇÃO A dscpla tem por dretrz cosoldar as téccas da Matemátca Facera e crtéros da Egehara Ecoômca que permtam elucdar os mecasmos para a aproprada alocação e otmzação de recursos aplcados em projetos de egehara A avalação de um projeto de Egehara, de acordo com as cotgêcas lgadas aos vestmetos, evolve desde crtéros puramete moetáros (stuação mas smples) até crtéros de mesuração mas complexa, como vatages tecológcas, admstratvas estratégcas ou ambetas A avalação tecológca trata prcpalmete dos processos téccos de mplatação e operação do projeto, a avalação admstratva prorza os úmeros problemas de gerêca e de pessoal que surgem a mplatação e a operação do projeto e equato que a avalação ambetal efoca os mpactos que as ações para a mplatação e a operação do projeto provocam ao meo ambete A avalação facera cosste em determar a probabldade de o projeto vr a ser faceramete vável, ou seja, de satsfazer seus compromssos faceros, produzr uma remueração razoável do captal vestdo e, se for o caso, cotrbur com suas recetas, para cobrr custos de vestmetos futuros A aálse facera avala os beefícos e custos de um projeto, reduzdo-os a uma medda comum; se os beefícos forem superores aos custos, o projeto é acetável, se ão, deve ser rejetado A avalação ecoômca, por sua vez, tem como faldade básca medr custos e beefícos ecoômcos de um projeto para determar se os beefícos líqudos dele resultate serão pelo meos guas àqueles que poderam ser obtdos de outras oportudades margas de vestmeto Em sítese, pode-se cosderar a avalação ecoômca de projetos como o processo metodológco que permte aferr beefícos e custos decorretes e permte tomada de decsão e a escolha da alteratva de maor gaho líqudo Sem se descoectar de fatores ambetas, tecológcos e admstratvos e laçado mão de problemátcas que, cotdaamete, se defrotam as empresas prvadas, etdades goverametas e pessoas para alocar recursos trsecamete lmtados (captal, trabalho, terra, tecologa, recursos aturas, etc); a dscpla de, prortaramete, procura capactar os estudates ao desevolvmeto de estudos para a avalação ecoômca e facera de projetos de egehara, através da abordagem de ferrametal e téccas da Egehara Ecoômca que permtem escolher, etre as aplcações cocorretes, a melhor alteratva Com o tuto de auxlar o etedmeto dos processos da Egehara Ecoômca desevolveu-se este materal de apoo à dscpla de ode são forecdos os cocetos báscos da Matemátca Facera, as metodologas de deprecação de equpametos, de amortzação de dívdas, de avalação de vestmetos e culmado com a aálse de vestmetos sob a ótca de rsco e certeza Os coteúdos teórcos apresetados este materal ddátco são complemetados com exemplos prátcos, que serão resolvdos em sala de aula, objetvado facltar os etedmetos os cocetos mostrados

8 O coceto e orgem da Egehara Ecoômca 8 2 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONÔMICA vestmetos A Egehara Ecoômca represeta o cojuto de cohecmetos ecessáros para a escolha de alteratvas de Para avalar o desempeho de uma ampla classe de vestmetos, que podem ser meddos em termos moetáros, utlzam-se téccas de Egehara Ecoômca fudametadas a cêca chamada Matemátca Facera A Egehara Ecoômca é, portato, uma ferrameta de decsão, fudametada em cocetos e téccas da matemátca facera, que permte a aálse, comparação e avalação facera de projetos, sstemas, produtos, recursos, vestmetos ou equpametos e que tem fudametal mportâca para todos que precsam decdr sobre propostas teccamete corretas, e seus fudametos podem ser utlzados tato para empresas prvadas, como estatas A Egehara Ecoômca também permte a avalação de problemas mas complexos, que evolvem stuações de rsco ou certeza Nestes casos, a Egehara Ecoômca assoca a Matemátca Facera a outras téccas para aálses de decsão, tas como probabldade e smulação Do poto de vsta pessoal a egehara ecoômca pode ser aplcada para qualquer aplcação moetára, este caso, que possa coduzr à obteção de uma quatdade, também moetára, maor o futuro Do poto de vsta empresaral, a egehara ecoômca tem sua aplcabldade a avalação de facametos, de ovos vestmetos, substtução de equpametos, etc frete a varados ceáros cojuturas Os estudos sobre Egehara Ecoômca têm suas orges os Estados Udos em 887, quado Arthur Wellgto publcou seu lvro "The Ecoomc Theory of Ralway Locato", texto que stetzava aálse de vabldade ecoômca para ferrovas Wellgto, que era egehero cvl, poderava que deva utlzar-se o método de aálse de custo captalzado para selecoar o traçado e as curvaturas das vas férreas Na década de 20 J C L Fsh e 0 B Coldma estabeleceram algumas metodologas de aálse de vestmeto em estruturas de egehara sob a perspectva da matemátca atuaral Coldma, o lvro ttulado Facal Egeerg (Egehara Facera) propôs um método aalítco baseado em juros compostos para determar valores comparatvos Os lmtes da clássca Egehara Ecoômca foram traçados em 930 por Eugee L Grat o lvro Prcples of Egeerg Ecoomy (Prcípos de Egehara Ecoômca) ode são estabelecdos os tradcoas crtéros de comparação e de avalação de vestmetos Ates da seguda guerra mudal, os bacos e bolsas de valores dos países eram as úcas sttuções que utlzavam termos como juros, captalzação, amortzação A partr dos aos 50, com o rápdo crescmeto dustral, termos faceros e bacáros passam a ser corporados o âmbto dustral e partcularmete a área produtva das empresas Os ovos dustras se depararam com a ecessdade da aplcação de téccas de aálse ecoômca em suas empresas, crado um ambete de tomada de decsões voltado à escolha da melhor alteratva A medda que o processo dustral se torava mas complexo, as téccas se adaptaram e se toraram mas especfcas, para tato, a egehara ecoômca ou a aalse ecoômca a egehara fo também se evoludo Pesqusas moderas, refletdo a preocupação mudal pela coservação dos recursos e da aplcação efcaz de dhero públco, amplaram as froteras da Egehara Ecoômca corporado aos métodos de avalação tradcoas ovos crtéros para a avalação do rsco, da sesbldade, de fatores tagíves, etc Ao logo de 20 aos a Egehara Ecoômca fo sedo aprmorada e aplcada em úmeras outras áreas além da egehara, cotudo, esta termologa fo coservada pelo fato de que grade parte dos problemas de alocação de recursos depede de formações téccas e em geral de decsões que são tomadas por egeheros ou por admstradores que agem com base as recomedações dos egeheros

9 Matemátca Facera 9 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemátca Facera é uma cêca exata que tem por objetvo fudametal forecer o ferrametal técco, utlzado em Egehara Ecoômca, que descreve as relações do bômo tempo e dhero A Matemátca Facera dá subsído para o estudo das dversas formas de evolução do valor do dhero o tempo, bem como as formas de aálse e comparação de alteratvas para aplcação / obteção de recursos faceros Os prcpas objetvos da matemátca facera são: a) Trasformação e mauseo de fluxos de caxa, com a aplcação de taxas de juros de cada período, para levar em cosderação o valor do dhero ao logo do tempo b) Obteção da taxa tera de juros que está mplícta em um fluxo de caxa c) Aálse e a comparação de dversas alteratvas de fluxos de caxa 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS A Matemátca Facera está dretamete lgada ao valor do dhero o tempo, que, por sua vez, está terlgado à exstêca de juros Observadas as peculardades e cosderados à parte os aspectos polítcos e subjetvos, para que valores de uma avalação de vestmetos, que ocorrem em tempos dferetes, possam ser corretamete operados há ecessdade de que sejam defdos ou cohecdos os fluxos de caxa ode são alocados os valores resultates desses vestmetos 3 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Em estudos, seja para fs de avalações ecoômcas ou avalações faceras de empreedmetos, seja para a aálse de resultados ou dcadores hstórcos de vestmetos, é comum se ldar com valores faceros relacoados a épocas ou períodos dferetes A capacdade que o dhero tem de gerar redmeto com o trascurso do tempo faz com que um mesma cfra, em valor omal, teha dferetes valores em relação ao tempo a que se refere, o que realmete descreve o coceto do Valor do Dhero o Tempo O dhero, como qualquer outro bem, tem um valor tríseco e seu valor sobre varação em fução da varação (maor/meor) da oportudade (compra/redmeto) gerada em fução do tempo Uma pessoa pode possur uma casa ou trocar este bem por dhero ou possur um veículo ou vedê-lo para, em troca, receber o valor em dhero Por outro lado se a pessoa ão possu uma casa e ecessta de uma é obrgada a recorrer ao aluguel, pagado por este uso Se ão possu um automóvel e ecessta de um deve pagar por esta locação, ão mportado se é por mea hora, como o caso de táx, ou por um da ou um mês Do mesmo modo, se alguém ão possu dhero e ecessta dele, deve pagar certa quatdade para obtê-lo Em geral, todo bem com valor tríseco exge um pagameto pelo seu uso Por outro lado se bes com valor tríseco ão são utlzados ada se gaha com eles, sera o mesmo que ter um táx a garagem ou guardar dhero sob o colchão! A capacdade de valorzação do dhero com o tempo só exste quado em plea atvdade, é o caso de uma operação de empréstmo: Quem recebe dhero de empréstmo paga ao fal de um determado prazo uma quatdade de dhero maor que o valor emprestado O cremeto que é pago ao doo do dhero é chamado de juros e traduz o coceto de Valor do Dhero o Tempo O coceto de Valor do Dhero o Tempo mutas vezes é soladamete exemplfcado através do feômeo flacoáro, embora o que realmete ocorre esta stuação é o feômeo da lusão moetára, efeto tato maor quato maor o país padece da flação A flação é um feômeo ecoômco que cosste a perda de poder aqustvo do dhero com o passar do tempo em decorrêca da elevação do ível geral de preço o mercado tero Portato, o dhero se desvalorza com a flação

10 Matemátca Facera 0 Nehum país do mudo está mue ao feômeo da flação, dz-se que este valor é baxo quado se ecotra etre 2 a 5 % ao ao, como ocorre os pases desevolvdos e atualmete o Brasl, porém, chega a atgr patamares acma de 000 % auas, como vvecados pelo Brasl a década de 90 A Tabela-, apresetada a segur mostra a varação flacoára o Brasl desde 980 até os das atuas Tabela : Iflação aual o Brasl Varação do IGP-DI (Ídce Geral de Preços - Dspobldade Itera) ANO INFLAÇÃO ANO INFLAÇÃO ANO INFLAÇÃO 980 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,53 998, , ,99 MÉDIA 427,65 % MÉDIA 697,0 % MÉDIA 0,20 % fote: FGV/Coj Ecoômca É mportate ressaltar que com ou sem flação, o dhero se valorza através do tempo Caso a remueração cobrada pelo uso do dhero for meor que a perda de seu valor aqustvo em decorrêca da flação sgfca que a perda total do vestdor clu a dfereça etre a remueração recebda e a desvalorzação do dhero mas a valorzação real pretedda a operação de empréstmo Remueração pelo Uso do Dhero Valorzação do Dhero Perda poder aqustvo (Iflação) Com téccas aalítcas adequadas se pode comparar o poder aqustvo do dhero em determados states de tempo, esta é a ajuda que a Egehara Ecoômca forece aos admstradores de egócos 32 JUROS (J) Os juros são defdos como sedo a remueração do captal, a qualquer título Assm, são váldas as segutes expressões como coceto de juros: a) valor em dhero pago pelo uso de um empréstmo, ou, é o valor em dhero recebdo pelo valor emprestado b) remueração do captal empregado em atvdades produtvas; c) custo do captal de terceros; d) remueração paga pelas sttuções faceras sobre o captal elas aplcado Os juros, em udade moetára, são calculados através da segute expressão:

11 Matemátca Facera J = F P () ode, J= Juros corporados ou pagos em um período de tempo F = Valor recebdo/pago ao fal do período P = Valor aplcado/emprestado o íco do período 32 JUROS UNIDADE DE MEDIDA O juro é meddo por meo de taxa que se refere, sempre, a uma udade qualquer de tempo (ao, semestre, mês, da, etc), chamada de Taxa de Juros ou Taxa de Descoto, represetada pela letra A Taxa de Juros () é um coefcete que correspode à razão etre os juros pagos ou recebdos o fm de um determado período de tempo e o captal calmete empatado A taxa de juro é a proporção exstete etre o captal e a sua remueração A taxa de juros é obtda pela segute expressão: F P = = P J P (2) Ode, P = o captal vestdo ou emprestado o prcpo do período F = o valor pago ao fal do período J = F P = juros pagos ou corporados o período = taxa de juros por período A taxa de juros pode ser apresetada a forma percetual ou utára A Taxa de juros utára represeta a remueração proporcoada, a udade de tempo de referêca, para cada udade de captal (R$,00) equato a Taxa de juros percetual represeta a remueração proporcoada para cem udades de captal (R$ 00,00) aplcadas, como mostra o quadro abaxo: TAXA DE JUROS REPRESENTAÇÃO CAPITAL APLICADO (P) JUROS NO PERÍODO DE ANO (J) Percetual 0% aa 00 0 Utára 0,0 aa 0,0 A otação percetual é a forma usualmete utlzada para a represetação da taxa de juros o meo facero Cosderado que a forma utára é utlzada em todos os formuláros de Egehara Ecoômca a sua coversão da taxa percetual para esta forma de represetação tora-se obrgatóra percetual utára = 00 (3) EXEMPLO TAXA DE JUROS PERCENTUAL REPRESENTAÇÃO UNITÁRIA

12 Matemátca Facera 2 EXEMPLO 2 Calcular o valor dos juros ao fal de um mês cosderado que fo aplcado R$ 000,00 à taxa de 8% am EXEMPLO 3 Cosderado o resgate de R$ 50,00 decorrete da aplcação de R$ 00,oo calcular os juros corporados e respectva taxa o período 322 TAXA DE JUROS: COMPONENTES Quado uma sttução facera decde emprestar dhero, exste, obvamete, uma expectatva de retoro do captal emprestado acrescdo de uma parcela de juro O custo de um empréstmo será, portato, obtdo através de um somatóro da remueração desejada e expectatvas de custos, com se segue: Taxa pura Taxa de rsco Custo devdo a mpostos Custo operacoal devdo a servços de termedação Correção moetára (relacoada com a flação) A compoete prcpal de uma taxa de juros é deomada de taxa de juros pura A Taxa de Juros pura é a parcela destada a compesar a perda de lqudez durate o período de empréstmo, excludo de sua composção o fator de rsco que ormalmete está assocado a uma operação facera A taxa de juros pura, correspodete a efetva remueração do captal, é fxada pelo mercado facero através das forças que regem a oferta e demada de captal para facameto de atvdades produtvas A certeza sobre o retoro do captal emprestado exge uma sobretaxa sobre a remueração básca do captal (taxa pura) A taxa de rsco (ou spread) está relacoada com a capacdade de solvêca do captador, estratéga do vestmeto, volume de captal, etc Grau de Rsco Taxa de Juro Taxa Pura (rsco = 0) %

13 Matemátca Facera CAPITALIZAÇÃO DE JUROS A palavra de captalzação provém do termo Captal, também chamado de valor Prcpal (P) e que represeta todo o cojuto de meos líqudos (moeda), ceddos durate um determado período () e produzdo uma certa remueração (J) para o seu propretáro A Captalzação é o ato de corporação dos juros ao captal cal, ou seja, é o cremeto do valor do captal à medda que o tempo decorre A captalzação ou a corporação dos juros ao captal aplcado ocorre em períodos costates, chamado de Período de Captalzação A cada captal (Prcpal) empregado durate um certo tempo (Período de Captalzação), é acrescdo (Captalzado) o valor correspodete aos Juros, formado o Motate (F = PJ) O Descoto ou Atualzação é o processo verso da captalzação, cosste uma redução do valor do captal durate um determado prazo Captalzação ( tempo ) Descaptalzação 33 FLUXO DE CAIXA O Fluxo de Caxa é a represetação gráfca dos evetos faceros (etradas e saídas) de um projeto de vestmeto laçadas as respectvas datas de ocorrêca É possível ter fluxos de caxa de empresas, projetos, operações faceras, de vestmetos, etc A elaboração do fluxo de caxa é dspesável a aálse de retabldades e custos de operações faceras e o estudo de vabldade ecoômca de projetos e vestmetos O Fluxo de Caxa, ou croograma facero do projeto, pode ser represetado por tabelas, quadros ou esquematcamete por um dagrama apresetado a) Represetação em tabela ode, Rt = recebmeto a data t Pt = pagameto a data t t Rt Pt 0 R0 P P2 3 R3-4 R P- R -

14 Matemátca Facera 4 EXEMPLO 4 Ao Recetas Redução custos (US$) Ivestmetos (US$) Dspêdos Custos Operacoas (US$) Imposto de Reda (US$) Fluxo Resultate (US$) 0 0, , , , , ,00 700, , , , ,00 400, , , ,00 200, , , ,00 200, , , ,00 200, , , ,00-400, , , , ,00 900, , , , , , , , , , , , ,00 b) Represetação Gráfca R 0 R 3 R 4 Recebmeto () R P 0 P 2 Pagameto (-) P - A represetação gráfca de um Fluxo de Caxa segue a segute coveção: A escala horzotal represeta o tempo, dvddo em períodos descotíuos (das, meses, aos, etc) Os tervalos de tempo de todos os períodos são guas e são detfcados umercamete de 0 a O poto 0 dca a data cal (hoje), o poto dca o fal do prmero período, etc O poto dca o fal do horzote de plaejameto baxo A escala vertcal dca a magtude do eveto facero, sedo represetado por setas para cma ou para As saídas de caxa correspodem aos pagametos, têm sas egatvos e são ormalmete represetadas por setas apotadas para baxo As etradas de caxa correspodem aos recebmetos, têm sas postvos e são ormalmete represetadas por setas apotadas para cma EXEMPLO 5,4 4,9 8, ,7,4 2, 2, 2,

15 Matemátca Facera 5 Fluxo resultate: F 3 =F 2 =P 0 22,6 9, 5,6 5,6 5, ,3 32,6 32 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quado um captal é emprestado ou vestdo a uma certa taxa por período ou dversos períodos de tempo, o juro a cada período de aplcação é cobrado ou corporado ao captal de acordo com 2 regmes báscos de captalzação de juros: captalzação a Juros Smples; captalzação a Juros Composta 32 JUROS SIMPLES Na captalzação a Juros smples apeas o captal cal (prcpal) rede juros Os juros de um período ão se somam ao captal para o cálculo de ovos juros os períodos segutes Juros ão são captalzados e, coseqüetemete, ão redem juros a) Prcpas característcas: os juros a cada período de captalzação fcam sem remueração (ocosos) ao logo de todo o período de vestmeto o juro produzdo em cada período é costate o regme de juros smples, o dhero cresce em progressão artmétca ao logo do tempo b) Cálculo de Motate à juros smples: Represetado por: P = o prcpal, = o úmero de períodos de captalzação, = a taxa de juros e F = o motate ao fal do período de captalzação, tem-se: O juro a cada período t é calculado através da segute expressão: J t = Pt

16 Matemátca Facera 6 Como em Juro Smples ão há corporação de juros ao captal cal: P P 0 0 = P = P = = P = F = F 2 2 = = F logo, Jt = J = J 2 = J3 = J4 = = J = P0 P 0 =P J F =P 0 F 2 =F 0 J 2 F 3 =F 2 =P 0 J 3 F 4 =F 3 =P 0 J 4 J F=F =F - =P 0 O total de juros (Js), para o Regme de Captalzação Smples, o período é gual a: e o motate, ao fal do período : J s = P F = P Js = P P ou, F = P ( ) (4) 322 JURO COMPOSTO Na captalzação a Juro Composto os juros captalzados e passam também a reder, ou seja, os juros de um período são corporados ao captal para o cálculo de ovos juros os períodos segutes Juro Composto a) Prcpas característcas: R$ Prcpal R$ R$ R$ Juros os juros vecdos são medatamete corporados ao captal o processo de captalzação; o captal (P) o íco de cada período va aumetado pela adção dos juros vecdos o fm do período medatamete ateror, dado orgem a juros crescetes (exste a cotagem de juros sobre juros) o regme de juros compostos, o dhero cresce em progressão geométrca ao logo do tempo É mportate perceber que o dhero cresce mas rapdamete o regme de juros compostos do que o regme de juros smples, em razão da captalzação dos juros

17 Matemátca Facera 7 b) Cálculo de Motate à Juro Composto: P F J =P 0 J F 2 =F J 2 J 2 F 3 =F 2 J 3 J 3 F 4 =F 3 J 4 J 4 J F=F =F - J F = P J F F F = F J = F 2 = P 0 J 2 3 ( ) = P P = P 0 = F F = = F 2 0 F = 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 [ P0 ] [ P0 ( ) ] = P0 ( ) ( ) = P0 ( ) [ P ] [ P ( ) ] = P ( ) ( ) = P ( ) ou, F = P ( ) (5) ode: F = motate à Juro Composto P = prcpal, captal aplcado = taxa utára de juros referda a udade de tempo de = período de aplcação do captal P 323 COMPARAÇÃO ENTRE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA Grafcamete: Observações: a) As duas curvas (smples e composto) terceptam-se os período 0 e 0 Juro Smples Juro Composto b) Etre 0 e juros smples é maor do que juros compostos c) Operações comercas (de curto prazo) são ormalmete realzadas à Juro Smples e as operações faceras (de médo à logo prazo) a Juros Compostos

18 Matemátca Facera JURO CONTÍNUO A captalzação a Juro Cotíuo é um caso partcular de Juro Composto ode a udade de tempo de captalzação é ftesmal e, portato, a corporação de juros se dá a tervalos ftesmas de tempo Juro Cotíuo R$ Prcpal R$ R$ R$ R$R$ R$ R$R$R$ Juros b) Cálculo de Motate à Juro Cotíuo: Cosderado, Juro Cotíuo P = F = 0 = t P P t P=P 0 0 Pt P tdt J=P td t t tdt = t t P = P P t t t t t JUROS tem-se, ou, P = P t t t P t = t P P l = e P t P = P P t 0 = 0 t P t P = P; e = F lplp= F = P e (6) 325 PRAZO DE APLICAÇÃO FRACIONÁRIO Quato ocorre aplcação em período de tempo fracoáro, a cotablzação dos juros a captalzação composta pode ser realzada de duas maeras dsttas: Coveção expoecal Coveção lear a) Coveção Expoecal A coveção expoecal cosdera os juros para a fração de tempo como captalzação composta ou seja, o captal rede juros compostos durate todo o período de aplcação, ou seja, os períodos teros e fracoáros Na coveção expoecal, o período de aplcação (fracoáro) é substtuído dretamete o formuláro desta modaldade de captalzação ão ecesstado a mudaça da taxa de juros para prazo de captalzação compatível com a fração de tempo

19 Matemátca Facera 9 EXEMPLO 6 Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um empréstmo de R$ 0000,00, a taxa de 6 % aa durate 5 aos e ses meses b) Coveção Lear Cosderado que a captalzação smples é mas vatajosa que a captalzação composta para aplcação em prazo meor que o período de captalzação, quado ocorre prazo de aplcação fracoáro a modaldade smples é aplcada a fração de tempo e a captalzação é aplcada o prazo tero remaescete Ou seja, por esta coveção, calcula-se o motate a juros compostos do úmero de períodos teros Ao motate obtdo, adcoam-se os juros smples a ele correspodete o período fracoáro P 0 F =N = Prazo de Aplcação F Juro Composto Juro Composto Juro Composto Juros Smples A aplcação se realza da segute maera: º passo: Aplcação de Juros compostos a parcela tera do prazo ( I ): I ( ) I F = P 2º passo: Em seguda, coclu-se a captalzação aplcado ao motate obtdo (até a parcela tera tempo) a captalzação smples para o prazo restate (a fração de tempo) Resultado, F N = F ( F ) I = F I F N I ( ) ( ) = P (7) F ode, FN = Motate (coveção lear) P = captal aplcado N = Prazo de aplcação = I F I = parcela tera do prazo N F = parcela fracoára do prazo N

20 Matemátca Facera EXEMPLOS EXEMPLO 7 Avalar, para os regmes de captalzação smples e composto, a evolução mesal de uma dívda de R$00,00, durate três meses, à taxa de 5,00% am: MÊS JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS JUROS MONTANTE JUROS MONTANTE EXEMPLO 8 Um captal de R$ 50000,00 aplcado a juro smples, à taxa de 5% am, quato perfaz ao fm de dos aos? EXEMPLO 9 O valor de US$ 0000,00 colocado em uma cota, o fal de 2006, a juros de 0% aa, em quato motará em fs de 205 (descosderado correção moetára e alterações da moeda correte) EXEMPLO 0) Calcular o motate devdo pela utlzação de um captal de R$ 500,00 por 20 das à uma taxa de juros de 4%am captalzados cotuamete? EXEMPLO ) Cosderado Juro Composto, determe: a O captal que, sedo vestdo durate 4 meses à taxa mesal de 2% dá juro de R$20000,00 b O úmero de meses ecessáros para que um captal de R$ 50000,00 vestdo à taxa semestral de 8%, dê um juro gual a R$ 35000,00 c A taxa quadrmestral a que deve ser vestdo um captal de R$500000,00 para que dê, ao fm de 2 meses, um juro de R$ 50000,00 EXEMPLO 2) Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um empréstmo de R$ 0000,00, a taxa de 6 % aa durate 5 aos e ses meses cosderado a Coveção Lear de juros IMPORTANTE o prazo () e a taxa de juros () devem estar sempre expressas a mesma udade de tempo

21 Matemátca Facera 2 33 TIPOS DE TAXAS DE JUROS A exstêca de dsttos regmes de captalzação permte a utlzação de artfícos que mascaram a retabldade real de um vestmeto de tal forma que os juros, coforme a coveêca, parecerem maores ou meores Isto também ocorre quado exstem obrgações, taxas, mpostos ou comssões que comprometem os redmetos ou oeram os pagametos de juros Crtéros dferetes para o cálculo de juros também fazem a taxa expressa a egocação dferr da taxa efetvamete realzada, como por exemplo, juros cobrados atecpadamete ou calculados sobre um total que a realdade é pago em parcelas Como os formuláros utlzados em Egehara Ecoômca são deduzdos a partr de taxas de juros, que refletem o redmeto efetvo, apresetamos a seqüêca as dferetes formas de dcação de taxas de juros, assm como, a metodologa de coversão compatível com os formuláros de equvalêca de captas 33 TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas de juros ( e m) são dtas proporcoas quado referdas a tempos dferetes (t e tm), matém etre s a mesma relação que seus períodos de referêca m = t t m m = t t m m = (7) m T tm Equvalêca de período m ao mês ao=2 meses m=2 meses/ mês = 2 ao da ao = 360 das m = 360 das/ da = 360 mês semaa mês = 4 semaas m = 4 semaas / semaa = 4 EXEMPLO 3 Calcular a taxa de juros mesal proporcoal a taxa de 2% ao ao: 332 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas ( e m) são dtas equvaletes se produzrem a mesma quatdade de juros (ou gual motate), para o mesmo captal cal empregado (P) e o mesmo período de tempo () F = F = período t t m t m t m t m t m F 2 = F =m períodos t m P P m m m m m Codção de Equvalêca: F = F2 = F

22 Matemátca Facera 22 a) Juros Smples dode se coclu: Fórmula do motate para juros smples: F = P () F = P() F2 = P ( m m) Codção de equvalêca: F = F = F2 P() = P ( m m) m = m JURO SIMPLES: TAXAS PROPORCIONAIS SÃO TAMBÉM EQUIVALENTES b) Juros Compostos Fórmula do motate para juro composto: F = P () F = P() F2 = P ( m) m Codção de equvalêca: F = F = F2 P() = P ( m) m obtedo-se a equação de equvalêca etre duas taxas, para Juros Compostos: ( ) = ( ) m (8) m dode se coclu: JURO COMPOSTO: TAXAS PROPORCIONAIS NÃO SÃO EQUIVALENTES c) Juros Cotíuos Fórmula do motate para juro cotíuo : F = P e F = P e x F2 = P e mxm Codção de equvalêca: F = F = F2 ou smplesmete, dode se coclu: F = P e x = P e mxm x = e mxm m = m JURO CONTÍNUO: DUAS TAXAS PROPORCIONAIS SÃO TAMBÉM EQUIVALENTES

23 Matemátca Facera 23 EXEMPLO 4 Calcular a taxa de juros mesal proporcoal a taxa de 2% ao ao para captalzação smples, composta e cotíua 333 TAXA EFETIVA Uma taxa de juros é dta efetva quado ao fal do período por ela dcado (período de referêca da taxa de juros) o total de juros cobrado (ou corporado ao prcpal) correspode ao valor dcado pela taxa (valor da taxa) juro smples: todas as taxas de juros são efetvas juro composto: taxa efetva quado período de referêca da taxa de juros gual ao período de captalzação juro cotíuo: ão exste taxa de juros efetva, sempre o período de referêca da taxa de juros dfere período de captalzação (ftesmal) Período de captalzação = período de tempo em que os juros são corporados/cobrados Período de referêca da taxa de juros (ao) Período de captalzação (ao) taxa de 2% ao ao, com captalzação aual 334 TAXA NOMINAL Quado uma taxa de juros declarada ou regstrada os cotratos de uma operação de crédto ou de vestmetos ão correspode ao seu custo efetvo (juro cobrado) é dta omal juro smples: ão exste taxa omal juro composto: taxa omal quado período de referêca da taxa de juros dfere do período de captalzação Juro cotíuo: todas as taxas de juros são omas, sempre o período de referêca da taxa de juros dfere período de captalzação (ftesmal) Período de referêca da taxa de juros (ao) Período de captalzação (mês) taxa de 2% ao ao, com captalzação mesal 335 CONVERSÃO DE TAXAS DE JUROS a) Juro Smples: a) Taxa Nomal em Taxa Efetva Não há de se falar em coversão de Taxa omal em taxa efetva para captalzação smples ou cotíua pos uca haverá uma taxa omal assocada à juro smples

24 Matemátca Facera 24 a2) Taxas efetvas com dferetes períodos de captalzação a coversão é realzada medate a aplcação da equação (7) de proporcoaldade etre duas taxas de juros: b) Juro Composto: m = m b) Taxa omal em Taxa efetva A taxa efetva equvalete referda ao mesmo período da taxa omal, dfere da retabldade dcado a taxa omal A coversão de um taxa omal em uma taxa efetva é realzad medate os segutes passos: º passo: A coversão da taxa omal para a taxa efetva mplícta é feta o regme de juros smples através da determação da taxa de juros proporcoal referda ao período de captalzação que correspode a taxa efetva de juros Equação (7): m = m 2º passo: Cohecda a taxa efetva (taxa proporcoal para período de captalzação) determa-se a taxa de juros equvalete para o período desejado Equação (8) ( ) = ( ) m m b2) Taxas efetvas referete a dferetes períodos de tempo: c) Juro Cotíuo A coversão é realzada medate a aplcação da equação (8) de equvalêca etre duas taxas de juros: ( ) = ( ) m m c) Taxa omal (Juro Cotíuo) em Taxa efetva (Juro Composto) Como uca haverá uma taxa efetva assocada à juro cotíuo para coverter uma taxa de juro cotíuo em efetva devemos coverter o regme de captalzação de cotíuo a composto A captalzação cotíua se caracterza por ocorrer a períodos de tempo ftesmas ( t ) Cosderado que a captalzação cotíua é um caso partcular de captalzação composta podemos utlzar a equação (8) que represeta a relação de equvalêca etre duas taxas de juros compostos ( ) m r r = ode zero e m m m m m r lm r r = m m m = r

25 Matemátca Facera 25 Por defção lm m r m m r r = e resultado, = e r (9) ode: = taxa de juros efetva (juro composto) r = taxa statâea ou taxa cotíua (juro cotíuo) obs As taxas e r defdas a equação (9) devem estar relacoadas ao mesmo período de tempo; 336 TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA Tato os juros smples como os compostos, podem ser captalzados de forma atecpada ou:postecpada a) Taxa de Juros Postecpada: Uma taxa de juros é dta postecpada quado os juros são cobrados/corporados ao captal aplcado após decorrdo o período de tempo especfcado a taxa de juros P TAXA POSTECIPADA J J 2 J 3 J 4 J Os formuláros de equvalêca etre captas utlzados a Egehara Ecoômca cosderaram a cobraça de juros postecpada b) Taxa de Juros Atecpada Uma taxa de juros é dta Atecpada quado o juro é cobrado o íco do período de tempo dcado a taxa Neste caso, sempre que ca um ovo período de tempo o juro é pago (recebdo) ou corporado ao captal P T A J J 2 J 3 J 4 J No caso, por exemplo, dos pehores da Caxa Ecoômca os juros cobrados são atecpados, ou seja, os juros são pagos a hora da operação de pehora Cosderado o mesmo valor da taxa de juros o juro atecpado é sempre maor que o postecpado

26 Matemátca Facera CONVERSÃO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA Cosderado uma operação de empréstmo (P ), de prazo, a ser paga com juros atecpados, ode: F = valor da dvda a ser paga o período = P Tedo que o prazo é gual ao período de cobraça do juro, o valor recebdo (P) o ato da operação de empréstmo (dedução do juro atecpadamete) correspode a: a O = e O = Os Juros atecpados correspodem à: Ada, P = F J P = F F = F J = P = F atecpados ( ) a a Para a captalzação composta a ser realzada postecpadamete e o mesmo prazo utáro (=), da cobraça atecpada temos: F = P ( e ) a a Substtudo P F =, teremos, ( ) a F = e = P ( ) a ( ) a = P = ( ) e ( a ) ( ) a e a = (0) a Obs O Período de referêca da taxas e e a são guas 338 TAXA DE INFLAÇÃO A flação é a perda do poder aqustvo da moeda em determado período de tempo e a correção moetára é o reajuste peródco de certos preços a ecooma pelo valor da flação passada, com o objetvo de compesar a perda do poder aqustvo da moeda A taxa de flação é, portato, a taxa de juros que permte a correção moetára de um determado captal que sofreu efeto flacoáro

27 Matemátca Facera 27 equação: A taxa de flação é ormalmete obtda através da varação de ídces faceros como mostra a segute 0, I I 0 I ϕ 0, = = () I I ϕ = taxa de flação/correção moetára para o período 0 I 0 = valor do ídce o período cal (zero) I = valor do ídce o período fal () 0 Caso se coheça as flações de sub-períodos (0,, 2,, ) é possível a obteção do período total (0 a ) através da equação abaxo: ( ϕ ) = ( ϕ )( ϕ )( ϕ ) ( ), 2 3 ϕ 0 0 (2) 338 INDICADORES FINANCEIROS: A correção moetára é um mecasmo crado e sttucoalzado o Brasl em 964, para reajustar os atvos faceros o setdo de compesar os efetos cotudetes da desvalorzação da moeda ou preservar o poder aqustvo das udades moetáras Desde a mplatação do Plao Real, em 994, a correção moetára está ofcalmete extta o país A le permte que apeas us poucos tpos de cotrato, todos com duração superor a um ao, possam sofrer correção moetára IPC, IGPM, IPCA, IGP, ICV, etre outras, são algumas das sglas que em comum têm o objetvo de demostrar a trajetóra dos preços de produtos e/ou servços o Brasl e, cosequetemete, medr a flação Porém, cada um destes ídces é calculado por um órgão ou sttução dstto, possu uma composção própra e aalsa um período característco de tempo (mês, bmestre, semestre etc) Por sso, surgem dvergêcas etre os ídces, que acabam dexado a população em dúvda sobre qual é a flação real do país O IGP, calculado pela FGV, é a medda sítese da flação acoal e que regstra o rtmo evolutvo de preços Sua composção é feta pela méda poderada de três dcadores: Ídce de Preços por Atacado (IPA) (60%), Ídce de Preços ao Cosumdor (IPC) (30%) e Ídce Nacoal de Preços da Costrução Cvl (INCC) (0%) Apesar de ter perodcdade mesal, esse ídce apreseta três versões dferetes O IGP-DI (dspobldade tera) compreede o período etre o prmero e o últmo da do mês pesqusado; o IGP-M (do mercado) calcula o espaço etre o da 2 do mês ateror e o da 20 do mês de referêca Já o IGP-0 compreede o período etre o da do mês ateror e o da 0 do mês de referêca Na tabela abaxo são apresetados valores/varação de város ídces de correção, os aos de 997, 2002, 2006 e 2007: US $ (dez) IGP-M (% aa) Selc (% aa) IGP-DI (% aa) INPC (% aa) 997,6 7,36 24,88 7,48 4, ,545,87 9,26 26,4 4, ,38,90 5,08 3,79 2,8 2007,773 7,75,880 7,89 5,6 Os títulos egocados pelo Tesouro ormalmete utlzam dos dexadores: a taxa de flação (medda pelo ídce IGP-M) ou a taxa básca de juros da ecooma (a taxa Selc) A taxa SELIC é a taxa que reflete o custo do dhero para empréstmos bacáros, com base a remueração dos títulos públcos Também é cohecda como taxa méda do over que regula daramete as operações terbacáras 339 TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS

28 Matemátca Facera 28 A taxa real de juros correspode a retabldade efetva de um vestmeto facero (que ão corpora os efetos da flação o período) A taxa global é a taxa de juros que corpora, além da taxa real, os efetos da flação (correção moetára) A equação abaxo relacoa a taxa global, a taxa de flação e a taxa real de juros referecadas a um período de tempo t : ( ) = ( )( ϕ) g (3) Ode, g = taxa global = retabldade real (taxa de juros deflacoada) ϕ = taxa de flação Deve-se observar que a taxa global ão é gual á soma artmétca da taxa real e a taxa de flação A taxa global também pode ser chamada de taxa pré-fxada, ou seja é uma taxa que ormalmete clu a taxa de flação Nos vestmetos com taxa pós-fxada, é revelada a taxa real o mometo da aplcação e a taxa global paga o fal só é obtda após ser dada a taxa de flação do período cosderado 330 TAXA DE MÍNIMA ATRATIVIDADE Taxa de Míma Atratvdade (TMA) é a taxa de juros que detfca a atratvdade míma acetável para a execução de um projeto de vestmeto, represetado o mímo que um vestdor se propõe a gahar quado faz um vestmeto, ou o máxmo que um tomador de dhero se propõe a pagar quado faz um facameto Esta taxa é formada a partr de 3 compoetes báscas: Custo de Oportudade: remueração obtda em outras alteratvas que ão as aalsadas Exemplo: cadereta de poupaça, fudo de vestmeto, etc TMA Rsco do Negóco: o gaho tem que remuerar o rsco erete de uma ova ação Quato maor o rsco, maor a remueração esperada PROJETO 2 PROJETO Lqudez: capacdade ou velocdade em que se pode sar de uma posção o mercado para assumr outra A taxa de atratvdade também pode ser chamada de: custo de oportudade, custo de captal, taxa de corte (hurdle rate), taxa de descoto A TMA é cosderada pessoal e trasferível, pos a propesão ao rsco vara de pessoa para pessoa, ou ada a TMA pode varar durate o tempo Assm, ão exste algortmo ou fórmula matemátca para calcular a TMA vestmeto A TMA pode ser expressa a forma global, sto é, coter a flação ocorrda/prevsta para o período do

29 Matemátca Facera EXEMPLOS EXEMPLO 5 Determar a taxa efetva correspodete à taxa de 2% aa para aos períodos de captalzação abaxo relacoado e para captalzação aual: ao comercal = 360 das PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO m TAXA EFETIVA TAXA EFETIVA ANUAL Aual Semestral Baual Quadrmestral Trmestral Mesal Dára Cotíua Formuláro t m = t m m = = e r m ( ) ( ) m = m EXEMPLO 6 Determar: a) a taxa statâea equvalete a taxa efetva de 2% aa b) a taxa efetva mesal e aual correspodetes à taxa de 24% aa com captalzação semestral c) a taxa efetva aual correspodete a 30% aa com captalzação trmestral d) a taxa statâea mesal correspodete a taxa de 5 % aa com captalzação trmestral EXEMPLO 7 Qual a taxa de juros postecpada equvalete à taxa de 0% ao mês, captalzada mesalmete e cobrada de forma atecpada? EXEMPLO 8 Qual a taxa efetvamete cobrada em um empréstmo de R$ 0000,00, durate 5 meses, sabedo-se que é cobrado atecpadamete 30% de juros?

30 Matemátca Facera 30 EXEMPLO 9 Qual a flação mesal ocorrda etre set/93 (URV = CR$98,5) e março/94 (URV=CR$647,50)? EXEMPLO 20 Um dado vestmeto pré-fxado, paga 20% ao ao de taxa global, equato outro pós-fxado pagará 0% ao ao de taxa real mas a ocorrda flação do período Sabedo-se que a captalzação é aual para as duas oportudades pede-se, escolher qual o melhor vestmeto em fução da taxa de flação: EXEMPLO 2 Qual a taxa real de juros obtda pela aplcação de um captal de R$000,00 por trmestre, sedo R$47,00 o captal recebdo pela aplcação, para uma flação mesal de 3% am? EXEMPLO 22 Uma empresa obteve, em feverero de 995, um empréstmo sujeto a correção moetára pelo IGP-DI a ser devolvdo em feverero de 998 Qual a flação o período sabedo-se que: IGP-DI em ja/95 = 08,785 IGP-DI em fev/98 = 46,038 EXEMPLO 23 Calcular o motate a ser obtdo em uma aplcação de R$ 35000,00 durate 2 aos e 3 meses, à uma taxa aual de 2,6825% aa cosderado: a) captalzação composta, método lear e taxa de juros aual, b) captalzação composto, método expoecal e taxa de juros aual e, c) captalzação composta e taxa de juros mesal

31 Equvalêca de Captas 3 4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A metodologa de equvalêca de captas, tema abordado este capítulo, tem mportâca fudametal para a compreesão do coceto de valor de dhero o tempo, das equações dspoblzadas pela matemátca facera, dos sstemas de amortzação de dívdas e crtéros de avalação de projetos de vestmetos de alteratvas operacoas 4 CAPITAIS EQUIVALENTES Dos ou mas cojutos de captas (fluxos de caxas) são dtos equvaletes quado trasferdos para uma mesma data de referêca, através da mesma taxa de juros se obtém valores guas Date do coceto apresetado, qualquer cojuto de captas, expresso através de fluxos de caxa ode são laçados gressos e saídas faceras ocorredo em dferetes tempos, pode ser covertdo em outro cojuto de valores equvaletes, mas ocorredo em outros períodos de tempo 42 ANUIDADES: CONCEITO E MODELOS GENÉRICOS Os dferetes valores laçados ao logo da escala de tempo de um fluxo de caxa são deomados de Audades Estes valores são assm deomados, pos é freqüete a subdvsão da escala de tempo de um fluxo de caxa usar como referêca o período aual O 2 t- t A t fluxo de caxa = A t A Audade (At) é o somatóro de valores moetáros que ocorrem em um determado período de tempo, em um Um fluxo de caxa pode ser costtuído de uma ou mas Audades que são represetadas através de algus modelos geércos equvaletes: Audade solada, Sére 42 ANUIDADE ISOLADA Audade Isolada é o valor moetáro que ocorre soladamete em um determado período de tempo do fluxo de caxa Duas audades soladas são referêcas em matemátca facera: Valor presete: represetado pela letra P Valor futuro: represetado pela letra F 42 VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL(P) O Valor Presete de um fluxo de caxa correspode ao somatóro dos valores equvaletes a data zero (orgem do fluxo de caxa) de todas as audades exstetes ao logo do mesmo 422 MONTANTE OU VALOR FUTURO (F): O Valor Futuro, ou Motate, correspode ao captal total acumulado, formado pelo captal cal mas os juros produzdos, durate um período de tempo cosderado

32 Equvalêca de Captas SÉRIE Sére é todo o cojuto de audades que, sob padrões determados, ocorrem de forma sucessva e ao logo de um período de tempo em um fluxo de caxa 422 SÉRIE UNIFORME Em um fluxo de caxa, uma sére é dta uforme quado as audades (recebmetos ou desembolsos) sucessvas são de mesmo valor moetáro (A=A= =A=A) e ocorrem em tervalos regulares de tempo A represetação das audades de uma sére uforme é feta através da letra A, ou a sére (o cojuto das audades da sére) através de A, A A A A A A A A As séres uformes se classfcam quato à data de alocação em um fluxo de caxa em: Sére uforme postecpada Sére uforme atecpada Sére uforme dferda a) Sére Uforme Postecpada: Uma sére é dta postecpada quado os pagametos (A) são efetuados o fm de cada tervalo de tempo da sére Neste tpo de sére uforme ão exste pagameto (audade) a data de orgem (tempo zero) da sére (A0 = 0) A A A A A A A A Os formuláros de Egehara Ecoômca são desevolvdos para sére uforme postecpada ou seja, valores sucessvos guas a A e ode A0=0 b) Sére Uforme Atecpada: Uma sére uforme é dta Atecpada quado as audades da sére ocorrem o íco de cada período, este caso, o prmero pagameto ocorre a data de orgem do fluxo de caxa (A0) e é gual a audade padrão ( A) A A A A A A A A c) Sére Uforme Dferda: Uma sére uforme é dta Dferda quado esta ocorre a qualquer tempo do fluxo de caxa, ou seja, quado os pagametos da sére uforme só se cam após a passagem de determado úmero de períodos do fluxo de caxa O prmero

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