S S S S 5. Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. 1,05 1

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1 CopyMarket.com Todos os dretos reservados. ehuma parte desta publcação poderá ser reproduzda sem a autorzação da Edtora. Título: Matemátca Facera e Comercal utores: Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht Edtora: CopyMarket.com, 0 5. Captalzação e mortzação Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht. Itrodução Quado queremos costtur um captal, para aqusção de um bem qualquer, devemos depostar perodcamete uma quata fxa, em uma sttução facera. Este exemplo é de captalzação. Por amortzação etedemos a ação de pagar uma dívda, em épocas dsttas. sucessão de pagametos para costtur um captal ou para amortzar uma dvda é deomada de reda. s redas podem ser classfcadas da segute forma: a quato ao prazo: s redas são deomadas temporáras quado o úmero de termos ou parcelas é fto e perpétuas quado o úmero de termos é fto. b quato a perodcdade: s redas são deomadas peródcas quado o tervalo de tempo etre dos pagametos cosecutvos são guas e ão peródcas quado esses tervalos são dferetes. c quato ao valor dos termos: s redas são cosderadas costates quado todos os pagametos são guas. Em caso cotráro, ou seja, quado os pagametos são dferetes etre s, são chamadas de redas varáves.. Captalzação composta.. Redas medatas s redas medatas estão classfcadas em atecpadas e postecpadas. Uma reda é medata postecpada quado os pagametos ou recebmetos ocorrem o fal de cada período. Um fluxo de caxa sera: T T T T- T CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht Cosdere o problema abaxo: Uma pessoa deposta em um baco, o fm de cada mês, durate 5 meses, a quata de R$,00. Determe o motate da reda, sabedo que essa sttução facera paga juros compostos de % a.m. captalzados mesalmete. Calculado o motate teremos: M = + ( + 0,0 + ( + 0,0 + ( + 0,0 + ( + 0,0 4 M = + [ + ( + 0,0 + ( + 0,0 + ( + 0,0 + ( + 0,0 4 ] soma dos termos etre colchetes é uma PG ode: a = q = ( + 0,0 e a = ( +0,0 4 Calculado a soma teremos: a.( q q 5 5 0,0 (,0,05 5. ( ( 0,0 Calculado o motate:,0 0,0 0,05 0,0 M = C M = 5 M = Fórmula do motate de uma reda medata O motate M de uma reda certa é a soma dos motates compostos de dversos pagametos. M = C + C ( + + C ( C (+ M = C [ + (+ + ( ( + ] soma dos termos acma formam uma PG, ode: a = e q = + e a = ( + a. ( q q ( ( CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 7

2 O motate será calculado pela fórmula: ( M C. ( fator de acumulação de captal de uma sére de pagametos. Idcamos por Portato a fórmula do motate va fcar: M = C Exercícos resolvdos Uma pessoa deposta R$ 600,00 mesalmete. abedo-se que esse captal fo aplcado a uma taxa de % a.m., quato possurá o fal de um ao e meo? C = R$ 600,00 = % a.m. = 0,0 a.m. = 8 meses M = C M = ,0 M = 600 9,647 M =.768,8 Qual a mportâca que uma pessoa deve depostar em um baco, o fal de cada semestre, a taxa de 5% a.s., captalzados semestralmete, de tal modo que ao fazer o sexto depósto forme o captal de R$.000,00? C =? = 5% a.s. = 0,05 a.s. M = R$.000,00 M = C 0 = C 6 0, = C 6, C C 6,809 94,04 CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 8 Calcule a taxa em que uma pessoa efetuado depóstos mesas o valor de R$ 00,00 forma o motate de R$ 50,9, ao fazer o quto depósto. C = R$ 00,00 M = R$ 50,9 = 5 meses =? M = C. 50,9 = 00 5 = 5 50,9 00 =5,09 5 Cosultado a tabela facera, para = 5, = 5,09, teremos = % a.m. 5 4 Quatas prestações mesas medatas de R$ 50,00 devem ser colocadas a taxa de % a.m., a fm de se formar um motate de R$ 9,80? C = R$ 50,00 =? = % a.m. M = R$ 9,80 M = C 9,80 = 50 = 0,0 9,80 50 = 6,50 0,0 Cosultado a tabela facera para = 6,50 e = % a.m. teremos: 6,50 = 6 Logo serão ecessáras 6 prestações mesas. Exercícos de fxação CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 9

3 Determar o valor da prestação que deverá ser captalzada mesalmete, a % a.m. para que se teha, o fal de meses, um motate de R$ 4.000,00. Qual o motate de 5 aplcações mesas de R$ 800,00 cada uma, a taxa mesal de,5%? Quatos pagametos de R$.4, serão ecessáros, cosderado uma taxa de % a.m. para costtur um captal de R$ 6.500,00? 4 Uma pessoa que faz uma aplcação de R$.000,00 em 0 meses, gera um motate de R$.578,00. Calcular a respectva taxa mesal... Redas atecpadas Deomamos de redas atecpadas, quado os pagametos ou recebmetos dos termos ocorrem o íco de cada mês respectvo. o caso de captalzação atecpada começa a ocorrer, a partr do cotrato, como mostra o fluxo de caxa abaxo; T T T T4... T Cosdere o problema abaxo: Uma pessoa deposta em uma cadereta de poupaça R$,00, o íco de cada mês, durate 5 meses. Calcule o motate da reda, sabedo que essa sttução paga juros compostos de % a.m., captalzados mesalmete. C = R$,00 = 5 meses = % a.m. = 0,0 a.m. M =? M é o motate de uma reda atecpada. M = (+ 0,0+ (+ 0,0 +(+ 0,0 +(+ 0,0 4 +(+ 0,0 5 omado a ambos os membros: M+=+(+0,0+(+0,0 +(+0,0 +(+0,0 4 +(+0,0 5 Observado o segudo membro da gualdade, teremos o motate de uma reda medata de + termos: CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 0 M + = + M = - 5+ M = ( - 5+ M = ( ,0 M = ( - 6 0,0 M = (6,50 - M = 5,50 M =.00,40... Fórmula de um motate de uma reda atecpada. M = C ( + + C ( C ( + omado C a ambos os membros: M + C = C + C ( + + C ( C ( + M + C = C [ + ( + + ( ( + ] Observado o segudo membro da gualdade temos o motate de uma reda medata de + termos. M + C = C + M = C - C + M = C ( - + Exercícos resolvdos Determe o motate produzdo por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mesalmete a juros de,5% a.m. sedo a prmera parcela atecpada. CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht

4 C = R$ 500,00 = 8 =,5% a.m. M = C ( - + M = 500 ( ,05 M = 500 ( - 9 0,05 M = 500 (9,559 - M = 500 8,559 M = 4.79,65 Uma pessoa deseja fazer depóstos o íco de cada bmestre, em um baco que paga % a.a. para costtur o motate de R$.500,00 o fm de ao sedo os juros captalzados bmestralmete. C =? M R$.500 = ao = meses = 6 bm. = % ao bmestre M = C.( = C.( ,0.500 = C.( - 7 0,0.500 = C.(7, = C. 6, C= C, 6,448 Uma empresa realzou 6 depóstos trmestras atecpados de R$ 405,74 e obteve o motate de R$.000,00. Qual fo a taxa de juro? = 6 trmestres C = R$ 405,74 M = R$.000,00 =? M = C ( = 405,74. ( - 6+ CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht.000 = 405,74 ( ,74-7 7,9 = - 7 7,9 + = 7 8,9 = 7 Cosultado a tabela facera para = 8,9 e = 7, teremos = 6% a.t. 7 4 Quatos depóstos mesas atecpados de R$ 50,00 são ecessáros para costtur um motate de R$.80, a taxa de,5% a.m. captalzados mesalmete? =? C = R$ 50,00 M = R$.80, =,5% a.m. = 0,05 a.m. M = C ( , = 50 ( - + 0,05.80, ,05-0,86 = + 0,05 0,86 + = + 0,05,86 = + 0,05 Cosultado a tabela facera para =,86 e =,5% a.m., teremos = 0. + = = - = 0 CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht

5 Exercícos de fxação 5 Uma pessoa deseja captalzar de uma forma atecpada 5 prestações mesas de R$ 50,00 a % a.m. Qual o motate ao fal da aplcação? 6 Um motate de R$.,00 fo captalzado em 6 parcelas mesas, a taxa de %a.m., sedo a prmera captalzada atecpadamete. Calcule o valor da prestação. 7 Calcule o úmero de termos de uma reda aual atecpada de termo R$ 50,00, cujo motate, a taxa de % a.a. é de R$.88,00.. mortzação composta.. Reda medata Cosdere o problema: Uma pessoa tem uma dívda e deseja amortzar em 4 prestações mesas de R$,00, sedo % a.m. a taxa de juros. Qual é o valor da dívda amortzada? = R$,00 = % a.m. = 0,0 a.m. = 4 meses O problema pede para calcular o valor atual das prestações a época zero. (o ato da compra e assatura de cotrato. ( O valor atual da prmera prestação é de: = 98, 0 ( I ( 0,0,0 0,0 (,0,0 = 96, 08 ( I ( 0,0 (,0.0 = 94, 7 ( I ( CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 4 0,0 (,0,04 4 = 9, ( I ( O valor atual de uma reda é calculado pela soma dos valores atuas dos seus termos, assm sedo teremos; = = 98,0 + 96, ,7 + 9, = 780,58... Fórmula do valor atual de uma reda medata eja o valor atual de uma reda e ;... valores atuas dos seus termos. Calculado a soma teremos: = ( ( ( ( (... Os termos etre os colchetes formam uma PG ode: a = ( ; q = e a = ( Calculado a soma dos termos teremos: a q q ( ( é deomado de fator de amortzação e dcamos por a. = a CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 5

6 Exercícos resolvdos Calcule o valor de uma dívda que pode ser amortzada em 6 prestações mesas de R$ 0,00 cada uma, sedo % a.m. a taxa de juros? = R$ 0,00 = % a.m. = 0,0 a.m. = 6 meses =. a = 0. a 6 0,0 = 0 5,79548 = 695,46 Qual o valor da prestação mesal para amortzar, com 6 prestações, um empréstmo de R$.000,00 a juros de % a.m.? = R$.000,00 =? = % a.m. = 6 meses a = 5,604 = a.000 = a 6 0,0.000 = 5, = 55, 58 5,604 Uma moto custa a vsta, R$.000,00. Para compra a prazo, é dado o segute plao de pagameto: 0% de etrada e o restate em 5 prestações mesas de R$.494,5. Calcule a taxa de facameto. =.000 0,9 = =.494,5 = 5 meses =? = a =.494,5 a a = 5 a = 4, ,5 5 Cosultado a tabela facera para a = 4, e = 5, teremos = 5% a.m. 5 CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 6 Exercícos de fxação 8 Calcule o valor atual de uma audade peródca de R$.,00, os segutes casos: taxa de juros prazo a% a.m. 8 meses b 5% a.t. 6 trmestres 9 Pague 0 prestações de R$ 50,00 um facameto feto a base de % a.m. Qual o valor da dívda amortzada? 0 Compre uma geladera que à vsta sara por R$.,00, pagado em 6 prestações mesas de R$,5. Qual fo a taxa mesal de juros cobrada o facameto? Calcule o úmero de prestações mesas de R$ 45, pagare uma dívda de R$.500,00, se o facameto fo feto a base de,5% a.m.? Uma chácara é colocada a veda por R$ ,00 a vsta ou a prazo as segutes codções: 0% de etrada e o restate em 5 meses com juros de % a.m. Qual é o valor da prestação?.. Reda tecpada Cosdere o segute problema: Uma pessoa deseja amortzar uma dívda com 4 prestações mesas atecpadas de R$ 50,00, sedo % ao mês a taxa de juros? = R$ 50,00 = % a.m. = 0,0 a.m. = 4 meses prmera prestação va ser paga o ato da compra, portato seu valor é gual a 50. CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 7

7 4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( 50 0,0 50 0,0 50 0,0 50 0,0 0 50,0 50,0 50 (,0 50 (,0 50,5 48,5 50,0 50,0 47,06 45,6 é o valor atual de uma reda atecpada assm sedo: 50 59,0 48,5 4 47,06 45,6... Fórmula do valor atual de uma reda atecpada ( (... ( ubtrado ( a ambos os membros:... ( ( ( ( ( ( (... (... ( Os termos etre colchetes formam uma PG ode: a ; a e q ( ( CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 8 a q q ( (. a Em reda atecpada ocorre um pagameto o ato da compra e teremos - prestações, a pagar: - = a - a = + a - = (a + - Exercícos resolvdos Determe o valor atual de uma audade atecpada de 8 termos mesas de R$ 50,00, sedo a taxa de % ao mês.? =. (a + R$50,00-8 % meses am.. = 50.(a + 8-0,0 = 50.(a + 7 0,0 = 50.(6,4799+ = 50.7,4799 =.0,80 CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 9

8 Calcule o valor da prestação mesal atecpada para amortzar, com 5 pagametos, realzado uma compra de R$ 600,00 sedo a taxa de juros de,5% a.m. olução R$600,00 =.(a + 5meses -,5% am.. 600=.(a + 5-0,05? 600 =. (a + 4 0, =. (,8548+ = 600, 60 4,8548 Quatas prestações semestras atecpadas de R$ 0,00 serão ecessáras para amortzar uma dívda o valor de R$ 857,5 com taxa de 0% ao semestre? =? = 0% ao semestre = R$ 0,00 R$857,5 = (a ,5=0.(a + - 0, 857,5 0 a + - 0, 7,4 = a + - 0, a = 7, , a = 6,4-0, Cosultado a tabela facera a = 6,4 e = 0% teremos - = 0-0, = Exercícos de fxação Calcule o valor atual de uma reda atecpada de 6 parcelas guas de R$,00 sedo a taxa de juro de % a.m. 4 Uma pessoa realzou um facameto de R$ 6.000,00 feto em 8 parcelas mesas guas com taxa de % ao mês. Calcular a parcela atecpada do facameto. CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 40 5 Quatos pagametos mesas atecpados de R$.000,00 são ecessáros para se amortzar uma dívda de R$ 6.795,50 sedo a taxa de % ao ao, captalzados mesalmete? 6 Uma televsão é vedda em 4 prestações mesas e guas a R$ 00,00, sedo a prmera paga como etrada. e a taxa de juros do facameto é de 8% ao mês, calcule o preço a vsta?.. Redas dferdas Em redas dferdas o prmero pagameto ocorre após um período de carêca. O úmero de períodos que atecede o prmero vecmeto é deomado de dfermeto de reda. Cosderemos uma reda medata de termos e que apreseta um período de carêca m, como mostra o esquema abaxo: T T T...T 0...m m + m+...m+- m+ O valor atual de uma reda dferda de termos com m períodos de carêca é gual ao valor atual de uma reda de m+ termos meos o valor atual da reda de m termos. m/ = (a - a m+ m Cosdere o problema abaxo: Qual o valor de uma dívda amortzada em 4 prestações mesas de R$,00, sedo a taxa de juros de % a.m., com uma carêca de meses? Idcamos reda dferda por m/ = R$,00 = 4 meses m = meses = % a.m. = 0,0 a.m. m/ =? m/ = (a - a m+ m m/ = (a - a 4+ 0,0 0,0 m/ = (a - a 4+ 0,0 0,0 m/ = (5, ,97040 m/ =,8508 m/ = 765,0 CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 4

9 Exercícos resolvdos Calcule o valor atual de uma reda de 6 termos mesas de R$ 80,00 com meses de carêca, sedo a taxa de juro de % a.m. m/ =? = R$ 80,00 = 6 meses m = meses = % a.m. = 0,0 a.m. m/ = (a - a m+ m m/ = 80 (a - a 6+ 0,0 0,0 m/ = 80 (a - a 6+ 0,0 0,0 m/ = 80 (7,548 -,9456 m/ = 80 5,8 m/ = 969,0 Uma pessoa deseja amortzar uma dívda de R$.000,00 com 5 prestações mesas. Qual o valor dessas prestações, sedo a taxa de juros gual a % ao mês e a carêca de meses? m/ = R$.000,00 =? = % a.m. = 0,0 a.m. = 5 meses m = meses m/ = (a - a m+ m.000 =. (a - a 5+ 0,0 0,0.000 = (a - a 6+ 0,0 0,0.000 = (6,789 -, =. 4, = 60, Exercícos de fxação 7 Qual o valor de uma dívda assumda por uma empresa que pagou 8 prestações mesas de R$ 850,00, a taxa de juros de % ao mês, com um período de carêca de meses? 8 Qual o valor atual de uma dívda que deve ser amortzada em 5 prestações mesas de R$ 00,00, sedo de % ao mês a taxa de juros e pagado a prmera prestação meses depos de realzado o empréstmo? 9 Uma loja em promoção auca: compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqu a meses. e a taxa de facameto é de,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma secadora de roupa cujo preço a vsta é de R$.,00? CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 4 Exercícos propostos Uma empresa deposta em uma cadereta de poupaça R$ ,00, o íco de cada bmestre. edo a taxa de 8% a.a., captalzada bmestralmete, calcular o motate o fm de ao. Uma pessoa deseja formar um fudo de provsões de forma que, depos do 8o depósto, possua o motate de R$ ,00. Quato deve depostar o fm de cada ao, em um baco que paga juros compostos de 9% a.a.? Determe o motate de uma reda trmestral, atecpada, de R$ 0,00 a taxa de % ao ao, durate aos? 4 Uma aplcação mesal de R$ 00,00 em 8 meses, gera um motate de R$ 958,00. Calcular a taxa mesal. 5 preço de uma moto à vsta é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 0% de etrada e o restate é facado a uma taxa de juros de % ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mesal. 6 Um terreo é veddo com R$.500,00 de etrada e o restate em 4 prestações mesas de R$ 00,00 cada. Calcular o valor à vsta desse terreo, sedo usado a taxa de 4% ao ao, captalzada mesalmete. 7 Calcule o valor de 6 prestações mesas a compra de um eletrodoméstco cujo preço à vsta é de R$ 900,00, sabedo-se que o juro cobrado é de % ao mês e as prestações são atecpadas? 8 Quatos pagametos mesas atecpados de R$ 50,00 são ecessáros para uma dívda de R$.59,, com taxa de juros de % ao ao, captalzados mesalmete? 9 Uma televsão fo comprada com R$ 600,00 de etrada e 6 prestações mesas de R$ 00,00, dferdas de meses. edo os juros de % a.m., qual o preço a vsta da televsão? 0 Determar o valor atual de uma reda mesal de 7 termos guas a R$,00 com carêca de meses, sedo de % a.m. a taxa de juros. Uma agêca vede um automóvel por R$.000,00 e oferece dos plaos de pagametos: Plao : 0% de etrada e 0 prestações mesas guas a R$.40,9. Plao B: 0% de etrada e 8 prestações mesas guas de R$.0,49. Qual dos dos plaos tem a meor taxa de juros mesas? Dos automóves guas são veddos por agêcas dferetes, de acordo com os plaos abaxo: gêca : R$ 5.000,00 de etrada e 0 prestações mesas de R$ 400,00; gêca : R$.000,00 de etrada e 0 prestações mesas de R$ 500,00; e a taxa de juros mesas de mercado for de %, qual das agêcas terá o meor preço à vsta? CopyMarket.com Matemátca Facera e Comercal - Roberto Domgos Mello e Carlos Eduardo Epprecht 4