4 Capitalização e Amortização Compostas

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1 4.1 Itrodução Quado queremos fazer um vestmeto, podemos depostar todos os meses uma certa quata em uma cadereta de poupaça; quado queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mesalmete. Podemos, portato, costtur um captal ou resgatar uma dívda depostado ou pagado certa quata, em épocas dsttas. No prmero caso temos uma captalzação e o segudo, uma amortzação. Estudaremos a segur, como calcular os juros, as parcelas e os motates (ou valores atuas) evolvdos as operações de captalzação e de amortzação. 4.2 Redas A sucessão de depóstos ou de prestações, em épocas dferetes, destados a formar um captal ou pagar uma dívda é deomada reda. Os termos da sucessão de depóstos ou de prestações são deomados termos da reda e o tervalo de tempo que decorre etre os vecmetos de dos termos cosecutvos é chamado período da reda. Exemplo: No caso da compra de uma TV em cores em 7 prestações mesas de R$ 41,00, cada uma das prestações é um termo da reda e o período é mesal. As redas podem ser de dos tpos: certas ou aleatóras. a) Redas certas ou audades: ocorrem quado o úmero de termos, seus vecmetos e seus respectvos valores podem ser prefxados. Exemplo: Compra de bes a prazo. b) Redas aleatóras: ocorrem quado pelo meos um dos elemetos ão pode ser prevamete determado. Exemplo: Pagameto de um seguro de vda (o úmero de termos é determado). Quado o período da reda é sempre o mesmo, dzemos que ela é peródca; caso cotráro, é ão-peródca. Nas redas peródcas, se o período é o mês, o trmestre ou o ao, temos, respectvamete, reda mesal, trmestral ou aual, e assm por date. Se todos os termos da reda são guas, ela é deomada costate; caso cotráro, é varável. Quato à data do vecmeto do prmero termo, uma reda certa pode ser medata, atecpada ou dferda. a) Imedata: Ocorre quado o vecmeto do prmero termo se dá o fm do prmero período a cotar da data zero, sto é, a data da assatura do cotrato. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mesas, pagado a prmera prestação um mês após a assatura do cotrato. 1

2 b) Atecpada: Ocorre quado o vecmeto do prmero termo se dá a data zero. Exemplo: Depósto mesal de uma mesma quata em cadereta de poupaça, durate um prazo determado. c) Dferda: Ocorre quado o vecmeto do prmero termo se dá o fm de um determado úmero de períodos, a cotar da data zero. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mesas, pagado a prmera prestação o fm de um determado úmero de meses. Notas: - Sempre que o tpo de reda ão for especfcado, deveremos supor que se trata de reda medata, por ser o tpo mas comum; - Neste texto, por seu caráter elemetar, abordaremos apeas as redas certas costates e peródcas. 4.3 Captalzação composta Neste tem vamos estudar a determação do motate costtuído por depóstos peródcos de quatas costates sobre as quas cde a mesma taxa Reda medata Cosderemos o segute problema: Uma pessoa deposta em uma facera, o fm de cada mês, durate 5 meses, a quata de R$ 100,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa facera paga juros compostos de 2% ao mês. C 100,00 2% a.m. 0,02 a.m. 5 meses O gráfco abaxo esquematza a stuação: Assm, cada prestação (T = 100,00) represeta o valor futuro dvdual de um valor atual que ão cohecemos, aplcado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5 meses. O que se pede o problema é a determação do motate desses depóstos a data fal. Sedo: M C 1 a fórmula que os dá o motate, e, como o últmo depósto ão terá redmeto, por ser aplcado exatamete o da em que se pede o motate, resulta: 2

3 Como, por defção, o valor do motate de uma reda S dos valores dos motates de seus termos, podemos escrever: *é gual à soma Daí: S , , , , , ,02 1,02 1,02 1, ,02 1,0404 1,0612 1, ,204 S 520,40, 5 0,02 sto é, o motate da reda é de R$ 520,40. Pelo exemplo dado, podemos comprovar como é peoso realzar o cálculo para obtermos o motate de uma veda. Vamos, etão, obter uma fórmula que mmze esse esforço. Sedo: T o valor dos depóstos peródcos o úmero de períodos a taxa de juro usado um racocío aálogo ao do exemplo dado, temos: Logo: S T T1 T1... T1 T 1 T 1 3

4 ou : S T Note, que a expressão que se ecotra detro dos colchetes é a soma dos termos de uma P.G. (progressão geométrca), a qual: * Lê-se: S, catoera, ou smplesmete, s,,. a1 1 1 a 1 q 1 Lembrado que: S a q a q 1 1 podemos escrever: S Daí: S 1 1 O fator 1 1 é um fator de captalzação, comumete dcado por S. Assm, S 1 1 Temos, falmete, a fórmula que os dá o motate de uma reda medata (dcado por F): F T S Para facltar ossa compreesão, usaremos T = A, logo: F A S (1) 4

5 Sedo: F o motate de uma reda medata valor futuro A o valor dos depóstos peródcos valor atual Exercícos resolvdos 1. Deposto em uma sttução facera, o fm de cada mês, a mportâca de R$ 150,00, a 1% ao mês. Quato tere o fm de 10 meses? Resolução: A 150,00 10 meses 1% a.m. 0,01 a.m. Substtudo esses valores em (1), vem: ,01 1 F A S F A F 150 0,01 sto é, tere um motate de R$ 1.569,33. F , ,33 2. Calcular o valor das prestações mesas que, aplcadas por 1 ao e à taxa de 2% a.m., geram um total captalzado de R$ ,00. Resolução: Substtudo esses valores em (1), vem: F ,00 12 meses 2% a.m. 0,02 a.m A S A 13,4121 A 3727, ,02 sto é, o valor das prestações é de R$ 3.727,98. 5

6 Exercícos propostos 4.1 Uma pessoa deposta em uma facera, o fm de cada mês, durate 5 meses, a quata de R$ 100,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa facera paga juros compostos de 2% ao mês. 4.2 Deposto em uma sttução facera, o fm de cada mês, a mportâca de R$ 800,00 a 0,5% ao mês. Quato tere o fm de 1 ao? 4.3 Qual a mportâca costate a ser depostada em um baco, ao fal de cada ao, à taxa de 6% ao ao, captalzados aualmete, de tal modo que, ao fazer o décmo depósto, forme o captal de R$ ,00? 4.4 Quatas prestações mesas medatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fm de se costtur o motate de R$ 6.706,00? Reda atecpada Seja: T o valor dos depóstos peródcos o úmero de períodos a taxa de juro Como vmos, a reda atecpada depostamos, o íco do período, parcelas guas a T, a uma taxa utára, referda à mesma udade do período costate. Como, este caso, o depósto é feto o íco do período, ao fal deste período ele já estará dado orgem a um motate. Etão, usado um racocío aálogo ao empregado a dedução da fórmula da reda medata, temos: escrever: Represetado o motate de uma reda atecpada por S, podemos S T 1 T 1 T 1... T 1 T 1 T 1 Somado T a ambos os membros, vem: 6

7 S T T T 1 T 1 T 1... T 1 T 1 T 1 Examado o segudo membro dessa gualdade, vemos que ele ada mas é do que o motate de uma reda medata de + 1 termos, sto é: Daí, S T T S 1 S T S T 1 Temos, falmete, a fórmula que os dá o motate de uma reda atecpada (dcado por S ): 1 S T S 1 Para facltar ossa compreesão, usaremos a fórmula: F A 1 S (2) Sedo: F o motate de uma reda atecpada valor futuro A o valor dos depóstos peródcos valor atual 1 1 S Exercícos resolvdos 1. Calcular o motate produzdo por 12 parcelas de R$ 1.000,00 colocados mesalmete a juros de 3% ao mês, sedo a prmera parcela atecpada. Resolução: Substtudo em (2), vem: A 1.000,00 12 meses 3% a.m. 0,03 a.m. 10, F ,03 0,03 F ,03 14,192 F 14617,76 sto é, o motate da reda é de R$ ,76. 7

8 2. Quato se deve depostar o íco de cada semestre, uma sttução facera que paga 18% ao ao, para costtur o motate de R$ ,00 o fm de 3 aos, sedo os juros captalzados semestralmete? Resolução: 3 aos 6 semestres 18 18% a.a. % a.s. 9% a.s. 0,09 a.s. 2 F ,00 Substtudo em (2), vem: 10, A 1 0,09 0,09 0,09 1, A 1 0, A 1 0,09 7, A = 6097,26. 8,2004 Exercícos propostos 4.5 Uma pessoa deposta em uma facera, o íco de cada mês, durate 5 meses, a quata de R$ 100,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa facera paga juro de 2% ao mês, captalzados mesalmete. 4.6 Qual o motate de uma reda atecpada de 10 termos mesas de R$ 500,00, à taxa de 1,5% ao mês? 4.7 Uma pessoa deseja depostar bmestralmete uma mesma mportâca uma sttução facera, à taxa de 1,5% ao bmestre, captalzados bmestralmete, de modo que com 8 depóstos atecpados costtua o captal de R$ ,00. Calcule a mportâca. Referêca bblográfca: CRESPO, Atôo Arot. (2012) Matemátca Facera Fácl. 14ª ed. São Paulo: Sarava. 8