Conceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa

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1 Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uiformes Daillo Touriho S. da Silva, M.Sc. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Coceito A resolução de problemas de matemática fiaceira tora-se muito mais fácil quado utilizamos o coceito de fluxo de caixa.um fluxo de caixa é uma represetação gráfica de uma série de etradas (recebimetos) e saídas (pagametos). As saídas são represetadas por uma seta para baixo e as etradas por uma seta para cima. Exercício: Represetar as seguites etradas e saídas um diagrama de fluxo de caixa: Período Saída ($) Etrada ($)

2 Métodos de avaliação de fluxos de caixa Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: (a) o método do valor presete líquido (VPL) e (b) o método da taxa itera de retoro (TIR), que veremos mais a frete, a seção avaliação de ivestimetos. Cálculo do valor de um fluxo de caixa São defiidas algumas regras básicas para o cálculo do valor umérico de um fluxo de caixa: (i) o fluxo deve ser iicialmete simplificado, (ii) o fluxo deve ser calculado em um determiado período de tempo, isto é, todas as etradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma data e (iii) as etradas e saídas devem ser trazidas para este período de tempo. Exercício Calcular o seguite fluxo de caixa, FC(), cosiderado-se uma taxa de juros de 5% a.p.: Descotado todas as saídas e etradas e trazedo para o mometo, temos: FC() = /(1+,5) 1 + 8/(1+,5) /(1+,5) /(1+,5) /(1+,5) 5 = , , , , ,93 = $ 3546,94 Exercício Avaliativo Calcular o seguite fluxo de caixa, FC(3), cosiderado-se uma taxa de juros de 1% a.p.:

3 SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXA UNIFORMES Diferidas com termos vecidos ou atecipados (Diferidas Postecipadas e Atecipadas) Séries Uiformes Cálculo de uma série uiforme postecipada Podemos eteder uma série uiforme de pagametos como uma série de pagametos que possui as seguites características: (i) os valores dos pagametos são todos iguais; e (ii) cosecutivos, como ilustrado abaixo: Série uiforme postecipada (a) e atecipada (b) (a) (b) Série postecipada e atecipada Numa série postecipada (a) o primeiro pagameto ocorre a partir do primeiro período, equato uma série atecipada (b) é caracterizada pelo fato do primeiro pagameto ocorrer o iício do período. Cálculo do motate S de uma série uiforme postecipada Cosideremos uma série uiforme postecipada, descotada mesalmete a uma taxa de 4%, como mostrado abaixo: É possível calcular o valor futuro da série com o uso de fórmulas já cohecidas: S = S1 = 1 x (1,4) 4 = 1 x 1,16986 = 116,98 S2 = 1 x (1,4) 3 = 1 x 1,12486 = 112,49 S3 = 1 x (1,4) 2 = 1 x 1,816 = 18,16 S4 = 1 x (1,4) 1 = 1 x 1,4 = 14, S5 = 1 x (1,4) = 1 x 1, = 1, St =... = 541,63 Assim, podemos cocluir que, o motate de 5 aplicações, mesais e cosecutivas aplicadas a um taxa de 4% a.m. acumula um motate de $ 541,63. 3

4 5. Séries uiformes: Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5, substituido S1, S2, S3..., por seus respectivos valores temos: St = 1 x (1,4) x (1,4) x (1,4) x (1,4) x (1,4). Como o fator 1 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima: St = 1 { (1,4) + (1,4) 1 + (1,4) 2 + (1,4) 3 + (1,4) 4 } (equação 1) Como a série etre chaves, acima, represeta a soma de uma progressão geométrica de razão 1,4, podemos aplicar a seguite fórmula, a1 q a1 q 1 que os forece a soma dos termos de uma PG, com a1= (1,4) =1, q = 1,4 e = 5. Trasformado a equação 1 com a iclusão da fórmula da soma de uma PG, como mostrado 5 acima, obtemos: 1 (1,4) 1 1 1,4 1 (equação 11) Cálculo do motate S de uma série uiforme postecipada Outra forma de cálculo seria: ( 1+ i) 1 F = A (equação 12) i ode: S = motate acumulado da série uiforme postecipada; A = valor das prestações; i = taxa de Juros e = úmero de períodos ou prestações. ( 1+ i) 1 A expressão i é chamada, também, de maeira aáloga, as séries simples, de fator de acumulação de capital, FAC. Assim, a série uiforme postecipada, mostrada o iício da seção 5.1 poderia, também, ser calculada da seguite forma: F = 1 x FAC(4%,5) = 1 x 5,41632 = $ 541,63 Cálculo do motate S de uma série uiforme postecipada Cálculo do valor das prestações A, cohecido o motate acumulado S Podemos trasformar a equação 12, colocado A em fução de S: A = F i ( 1+ i (equação 13) i A expressão ( 1+ i) 1 é deomiada de fator de formação de capital (FFC), ecotado-se tabelada, como aexo, a maioria dos livros de matemática fiaceira. ) 4

5 Cálculo do valor presete P de uma série uiforme postecipada Cosideremos uma série uiforme atecipada do tipo: A A A A A P = O valor presete P, pode ser calculado através da fórmula: 1 (equação 14) P = A ode: i P = valor presete das prestações da série postecipada; A = valor das prestações; = úmero das prestações. 1 O fator i é deomiado fator de valor atual, FVA, sedo ecotrado, como aexo, em tabelas em livros de matemática fiaceira. Exercício Calcular o valor atual de uma série de 12 prestações mesais, iguais e cosecutivas de $15, capitalizadas a uma taxa mesal de $ 5% ao mês. P = A x FVA(5%,12)= 15 x 8,86325 = $ 1.329,48 Cálculo do motate S de uma série uiforme atecipada Cosideremos uma série uiforme atecipada do tipo: A A A A A A F = O motate S pode ser calculado através da fórmula: (1 + i) 1 S = A i (equação 15) ode: S = motate acumulado o fial do período; A = valor das prestações; i = taxa de juros. 5

6 Exemplo Quato terei de aplicar mesamete, a partir de hoje, para acumular o fial de 36 meses, um motate de $ 1.,, sabedo-se que a taxa de juros cotratada é de 34,489% ao ao, que as prestações são iguais e cosecutivas e a primeira prestação é depositada o período. F=$ A = Vamos, iicialmete, trasformar a taxa aual em taxa mesal: i 12 (1,34489) 1 1, i 2,5% a. m m = + = => =. Exemplo Trasformado a equação 16, e colocado A (prestação) em fução de S (valor futuro acumulado das prestações) obtemos: 1 i 1 A = F = S FFC 1 ( i %, ) Aplicado a fórmula acima, com S = $ 1.,, i = 2,5% a.m. e = 36, obtemos: A = 1. x 1/(1+,25) x FFC(2,5%,36)= 1. x,9756 x,1745 = $ 1.72,42 Cálculo do valor presete P de uma série uiforme atecipada Cosideremos uma série uiforme atecipada do tipo: P = 6 35 A =$1 O valor presete P pode ser calculado através da expressão: P = A ( 1+ i) FVA( i %, ) (equação 17) 6

7 Exercicio Determiar o valor presete do fiaciameto de um bem fiaciado em 36 prestações iguais de $ 1,, sabedose que a taxa de juros cobrada é de 3,% a.m. e que a primeira prestação é paga o ato da assiatura do cotrato. Fazedo uso da equação 17: P = A x (1+i) x FVA(3,,%,36) = 1 x (1,3) x 21,83225 = $ 2248,72 Cálculo da prestação A, dado o valor presete P de uma série uiforme atecipada Nestas codições, o valor A da prestação pode ser calculado a partir da trasformação da equação 17: 1 i 1 A = P P FRC = (1 + i) 1 ( i%, ) (equação 18) Um terreo é colocado a veda por $ 5., a vista ou em 24 prestações mesais sedo a primeira prestação paga a data do cotrato. Determiar o valor de cada parcela, sabedo-se que o proprietário está cobrado uma taxa de 3,5 % a.a. pelo fiaciameto. P =$ 5., Exercicio 6 23 A =$ Aplicado a equação 18, obtemos: A 1 1 P FRC( i %, ) = 5.,6227 = $3.8,21 (1 +,35) = 7

8 Exercícios 1. Um ivestidor depositou, aualmete, $ 1, uma cota de poupaça, em ome de seu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito o dia em que seu filho completou 1 ao e o último quado este completou 18 aos. O diheiro ficou depositado até o dia em que completou 21 aos, quado o motate foi sacado. Quato recebeu seu filho. R: $ 36.89,24 2. Quato deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fudo de reda fixa, a taxa de 5% ao bimestre, durate 3 aos e meio, para que se obteha, o fial deste prazo, um motate de $ 175.,. R: $ 4.375, 3. Qual é o motate obtido o fial de 8 meses, referete a uma aplicação de $ 5, por mes, a taxa de 42,5776% ao ao. R: $ 4.446,17 Exercício Avaliativo 1. Quatas aplicações mesais de $ 5, são ecessárias para se obter um motate de $ ,, sabedo-se que a taxa é de 3,% a.m., e que a primeira aplicação é feita o ato da assiatura do cotrato e a última 3 dias ates do resgate daquele valor. R: 36 aplicações. 2. O Sr. Laerte resolveu fazer 12 aplicações mesais, como segue: a) 6 prestações iiciais de $ 1 cada uma; b) 6 prestações restates de $ 2, cada uma. Sabedo-se que esta aplicação está sedo remuerada a 3,% a.m., calcular o saldo acumulado de capital mais juros que estará a disposição do Sr. Laerte o fial do prazo de aplicação. R:2.66,4 8