Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina

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1 Tabela Price - verdades que icomodam Por Edso Rovia matemático Mestrado em programação matemática pela UFPR (métodos uméricos de egeharia) Este texto aborda os seguites aspectos: A capitalização dos juros a tabela Price; O falso argumeto que a tabela Price é um regime de juros simples; Comprovação dos juros capitalizados a Tabela Price fluxo de caixa; Comprovação dos juros capitalizados a Tabela Price progressão Geométrica; Comprovação do regime de juros simples Gauss fluxo de caixa; Comprovação do regime de juros simples Gauss progressão aritmética Praticamete a totalidade dos livros de matemática fiaceira, os autores apresetam iformações de como costruir o Sistema Fracês de Amortização, ou Tabela Price Para facilitar a compreesão, vejamos o cotido VIEIRA (997, pg 22): A parcela de juros é obtida multiplicado-se a taxa de juros (mesal, trimestral, semestral ou aual) pelo saldo devedor existete o período imediatamete aterior (mês, trimestre, semestre ou ao); a parcela de amortização é determiada pela difereça etre o valor da prestação e o valor da parcela de juros Assim, o valor da parcela de juros referete à primeira prestação de uma série de pagametos mesais é igual à taxa mesal multiplicada pelo valor do capital emprestado ou fiaciado (que é o saldo devedor iicial) Para facilitar a compreesão vejamos um exemplo, cosiderado um capital de $000,00, taxa de juros de 0% ao mês, e prazo de 0 meses e utilizado as iformações acima, elaboramos a evolução a seguir:

2 Quadro : Exemplo Evolução Tabela Price º saldo devedor juros amortização prestação , ,55 000,00 627,45 627, ,35 937,25 690,20 627, ,3 868,23 759,22 627, ,99 792,3 835,4 627, ,33 708,80 98,66 627, ,8 66,93 00,52 627, ,24 55,88,57 627, ,5 404,72 222,73 627, ,50 282,45 345,00 627,45 0 0,00 47,95 479,50 627,45 O primeiro destaque a ser dado é que muitos profissioais utilizam as iformações para a costrução da Tabela Price para afirmar que esta ão capitaliza os juros e justificam tal fato pelo simples argumeto de que os juros são calculados multiplicado-se a taxa de juros pelo saldo devedor imediatamete aterior Ocorre, porém, que tais iformações, para a matemática são somete um algoritmo e ão expressam ehum coceito Vou afirmar, a descrição de como costruir a Tabela Price, como a da citação aterior, é apeas um algoritmo e ão represeta ehum, absolutamete ehum coceito detro da matemática fiaceira E para que ão reste a meor dúvida vejamos: Defiição de Algoritmo Para a Álgebra - seqüêcia fiita de regras, raciocíios ou operações que, aplicada a um úmero fiito de dados, permite solucioar classes semelhates de problemas (pex: algoritmo para a extração de uma raiz cúbica); Para o processo de cálculo - ecadeameto das ações ecessárias ao cumprimeto de uma tarefa; processo efetivo, que produz uma solução para um problema um úmero fiito de etapas, (pex: o a que permite obter o seo de x com uma certa precisão), Na matemática - mecaismo que utiliza represetações aálogas para resolver problemas ou atigir um fim, outros campos do raciocíio e da lógica Na iformática - cojuto das regras e procedimetos lógicos perfeitamete defiidos que levam à solução de um problema em um úmero fiito de etapas Defiição de Coceito

3 Expressão sitética, sítese Vamos agora aalisar um pouco mais profudamete o argumeto Coforme mecioamos ateriormete, os defesores que a tabela Price ão capitaliza os juros utilizam o argumeto que o saldo devedor imediatamete aterior multiplicado pela taxa de juros produz o valor do juro Assim tomado com exemplo o sexto período, temos a seguite situação: $ 669,33 x 0% = $66,93 Ocorre porém que esta operação ão represeta ehum coceito da matemática fiaceira Primeiramete, a matemática fiaceira é a ciêcia que tem como objetivo estudar as relações etre valores datados, e o calculo efetuado acima ão temos ehum referecial de data Talvez algus arrisquem em querer justificar que o referecial de data está represetado pelo período e pelo período aterior, porém esta situação, a utilização da tabela price, isso ão é possível Vejamos o porque Caso A: Juros Capitalizados Na matemática fiaceira, juros capitalizados são determiados através da equação: INT=PVx[(+i) -], ode, PV represeta o capital, o presete caso o saldo devedor, i, represeta a taxa de juros, represeta o prazo Tomado como base o saldo devedor o quito período, para o calculo dos juros referete ao sexto período, temos etão que PV=saldo devedor quito período =68,99, a taxa de juros i=0% ao mês, e o prazo =, resultado da operação 6 (referete ao período em que se quer determiar juros) - 5 ( referete ao período utilizado como base para o calculo), temos: INT = PVx[(+i) -] INT =669,33x[(+0%) -] INT = 669,33x[,0 ] INT 669,33x [,0-] INT = 669,33x 0,0 INT = 66,93

4 Caso B: Juros simples Num outro diapasão, a matemática fiaceira juros simples são determiados através da equação INT=PVxix, ode, PV represeta o capital, o presete caso o saldo devedor, i, represeta a taxa de juros, represeta o prazo Tomado como base o saldo devedor o quito período, para o calculo dos juros referete ao sexto período, temos etão que PV=saldo devedor quito período =669,33, a taxa de juros i=0% ao mês, e o prazo =, resultado da operação 6 (referete ao período em que se quer determiar juros) - 5 ( referete ao período utilizado como base para o calculo), temos: INT = PV x I x INT =669,33x 0% x INT = 669,33x 0,0 INT = 66,93 Caso A x Caso B Ao efetuar os cálculos dos juros, diretamete sobre o saldo devedor do período aterior pela taxa ão podemos afirmar ada, pois como pode ser observado as lihas destacadas os cálculos acima, verifica-se que ambos os coceitos, ou seja tato juros simples como juros compostos, produzem o mesmo resultado quado apeas lidamos com um úico poto Ocorre que para o caso específico do prazo igual a, os juros determiados pelo regime de capitalização composta são exatamete iguais aos juros simples, vejamos porquê tal situação ocorre

5 lim PV Juros Compostos [( + i) ] = PV [( + i) ] PV PV PV i [( + i) ] [ + i ] lim PV Juros Simples [( + i) ] = PV [( + i) ] PV PV PV i [( + i) ] [ + i ] Afirmamos que a multiplicação da taxa de juros pelo saldo devedor imediatamete aterior, ão represeta ehum coceito detro da matemática fiaceira e embasa-se essa afirmativa pelo simples fato que um dos pricipais objetivos da matemática fiaceira é o estudo do capital ao logo do tempo, sedo que esse fator, o tempo, ão se fazedo presete a referida expressão Aida, a Matemática Fiaceira é um cojuto de coceitos elemetares utilizados a aálise do diheiro ao logo do tempo Dessa feita para a Matemática Fiaceira é importate o cohecimeto de quato e quado são efetuadas as operações com diheiro, ão fazedo ehum setido olhar somete um úico poto Para realizar qualquer aálise sob a ótica dessa ciêcia, deve-se cohecer com absoluta clareza, importates iformações de qual valor iicialmete despedido (o qual chama-se de capital) qual a data em que tal eveto ocorreu (que deomia-se data focal zero), as datas em que ocorrem os pagametos e os valores pagos, e outras iformações A Tabela Price recebe iúmeras deomiações, e etre tatos omes destaca-se Sistema Fracês de Amortização Porém é importate coceituá-la detro da Matemática Fiaceira, e a maioria das obras publicadas dessa ciêcia ecotra-se como explicação que a Tabela Price, ou Sistema Fracês de Amortização é um sistema de pagametos costituído de um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas detro do coceito de termos vecidos Destacou-se a palavra sistema pelo fato que tal palavra tem profuda relevâcia, pois como se pode verificar em qualquer dicioário da lígua portuguesa sistema sigifica cojuto de elemetos, cocretos ou

6 abstratos, itelectualmete orgaizados, ou aida, cojuto de idéias logicamete solidárias, cosideradas as suas relações Pelo que até aqui se cometou, verifica-se que de um lado a Matemática Fiaceira estuda um cojuto de iformações como um todo e que a Tabela Price, é um cojuto e por essas simples cosiderações ão faz setido e ão apreseta respaldo técico querer aalisar apeas um úico poto detro de todo o sistema Não se procededo à aálise como um todo coforme coceituado acotecem iverídicas coclusões sobre o regime de juros do Sistema Fracês de Amortização ou Tabela Price Aida, em relação ao exemplo iicial, supohamos que ão cohecemos a equação que determia a prestação, e que cosiderado o capital de R$ 0000,00, emprestado a uma taxa de juros de 0% ao mês, a ser pago em 0 prestações mesais e cosecutivas, cosiderado a capitalização mesal dos juros Pela suposição que fizemos ão cohecemos a equação, assim, aplicado os coceitos de fluxo de caixa, temos: PMT PV=0000,00 Calculado o valor de cada uma das prestações a data focal 0 (prazo) tem-se que a primeira prestação capitaliza os juros durate 9 meses, e aplicado o coceito de capitalização composta podemos escrever: FV=PMTx(+0%) 9 FV= PMTx,0 9 FV=2,357948x PMT A seguda prestação capitaliza os juros por 8 meses, e aplicado o coceito de capitalização composta podemos escrever: FV=PMTx(+0%) 8 FV= PMTx,0 8 FV=2,43589x PMT E assim procededo para cada uma das 0 prestações temos o quadro a seguir

7 Quadro 2: Determiação da prestação com juros capitalizados º da prestação prazo de capitalização 9 FV=PMTx(+0%)^9 -> 2,357948xPMT 2 8 FV=PMTx(+0%)^8 -> 2,43589xPMT 3 7 FV=PMTx(+0%)^7 ->,94877xPMT 4 6 FV=PMTx(+0%)^6 ->,7756xPMT 5 5 FV=PMTx(+0%)^5 ->,605xPMT 6 4 FV=PMTx(+0%)^4 ->,464xPMT 7 3 FV=PMTx(+0%)^3 ->,33xPMT 8 2 FV=PMTx(+0%)^2 ->,2xPMT 9 FV=PMTx(+0%)^ ->,xpmt 0 0 FV=PMTx(+0%)^0 -> xpmt Total 5,937425xPMT Agora, como uma das características ecessárias as prestações, devem ser todas do mesmo valor, assim podemos somá-las, e o fial do período, ou seja, o prazo 0, temos, FV = 5,397425xPMT () De outro lado o valor emprestado de R$ 0000,00, também pode ser calculado o fial do período, ou seja o prazo 0, pelo coceito de capitalização mesal, temos, FV=000,00x(+0%) 0 FV= 000,00x,0 0 FV=0000,00x 2, FV= 25937,42 (2) Como todos os valores estão o fial do cotrato, ou seja, o prazo 0, podemos substituir o valor de FV obtido a equação 2, a equação, assim temos, FV = 5,937425xPMT 25937,42 = 5,937425xPMT E isolado o valor de PMT, temos, 5, ,42 PMT = PMT = 627,45

8 Destacamos que somete utilizado os coceitos de capitalização compostas obtivemos o mesmo valor da prestação utilizada o Sistema fracês de amortização ou tabela Price E justamete para que tais procedimetos ão fossem efetuados a cada vez que desejássemos determiar a prestação, foi deduzida a equação PMT = PV i ( + i ) ( + i ) Portato, ão há que se falar, que a prestação ão guarda vículo com a tabela Price, muito meos dizer que tal procedimeto ão carrega a capitalização mesal dos juros, isto fica evidete o exemplo acima No outro extremo, vamos supor, cosiderado os mesmos dados do exemplo, que comprovamos umericamete que capitaliza os juros, fosse agora desevolvido detro dos coceitos de juros simples Etão cosiderado o capital de R$ 0000,00, emprestado a uma taxa de juros de 0% ao mês, a ser pago em 0 prestações mesais e cosecutivas, detro do coceito de juros simples Pela suposição que fizemos ão cohecemos a equação, assim, aplicado os coceitos de fluxo de caixa, temos: PMT PV=0000,00 Calculado o valor de cada uma das prestações a data focal 0 (prazo) tem-se que a primeira prestação com juros simples calculados por 9 períodos, pode ser escrita: FV=PMTx(+ 0% x 9) FV= PMTx(+0,0x9) FV=,90x PMT A seguda prestação com juros simples calculados por 8 períodos, pode ser escrita: FV=PMTx(+ 0% x 8) FV= PMTx(+0,0x8) FV=,80x PMT

9 quadro a seguir E assim procededo para cada uma das 0 prestações temos o Quadro 3: Calculo da prestação a juros simples prazo de º juros simples 9 FV=PMTx(+0%x9) ->,9xPMT 2 8 FV=PMTx(+0%x8) ->,8xPMT 3 7 FV=PMTx(+0%x7) ->,7xPMT 4 6 FV=PMTx(+0%x6) ->,6xPMT 5 5 FV=PMTx(+0%x5) ->,5xPMT 6 4 FV=PMTx(+0%x4) ->,4xPMT 7 3 FV=PMTx(+0%x3) ->,3xPMT 8 2 FV=PMTx(+0%x2) ->,2xPMT 9 FV=PMTx(+0%x) ->,xpmt 0 0 FV=PMTx(+0%x0) -> xpmt Total 4,5xPMT Agora, como uma das características ecessárias as prestações, devem ser todas do mesmo valor, assim podemos somá-las, e o fial do período, ou seja, o prazo 0, temos, FV = 4,50xPMT (3) De outro lado o valor emprestado de R$ 0000,00, também pode ser calculado o fial do período, ou seja, o prazo 0, pelo coceito de juros simples temos, FV=0000,00x(+0%x0) FV=0000,00x(+0,0x0) FV=0000,00x 2,000 FV=20000,00 (4) Como todos os valores estão o fial do cotrato, ou seja, o prazo 0, podemos substituir o valor de FV obtido a equação 4, a equação 3, assim temos, FV = 4,50xPMT 20000,00= 4,50xPMT E isolado o valor de PMT, temos,

10 20000,00 PMT = 4,50 PMT = 379,3 Resta agora verificar se o Método de Juros Amortização a Juros Simples (Gauss) irá produzir o mesmo resultado, dessa forma aplicado a equação PMT = k (i% ) + k i% ( ) + 2 Ode PMT, represeta a Prestação, k represeta o capital, i represeta a taxa de juro mesal e represeta o prazo, e cosiderado os dados do exemplo, com k=0000,00, i=0% am, =0, temos: 0000,00 (0% 0 ) ,00 PMT = = 379,3 0% (0 ) Ou seja, a equação que determia a prestação detro do Regime de Amortização a Juros Simples (Gauss) retora exatamete o mesmo valor da prestação calculada a juros simples Qualquer plao de amortização é costruído tomado-se como base o fracioameto do capital, podedo ser em parcelas iguais ou ão, e sobre cada uma das frações do capital são calculados juros, que pode ser simples ou composto, até o último recebimeto O campo da MATEMÁTICA que lida com esse processo, é deomiado de ÁLGEBRA, e como estamos lidado com prestações fixas, os coceitos de Progressão Geométrica - PG e Progressão Aritmética PA são pleamete aplicáveis o exemplo dado Para compreedermos completamete como ocorre o processo detro de um sistema de amortização quer seja ele à regime de juros simples, ou à regime de juros compostos, vamos cotiuar aalisado o exemplo

11 aterior, ou seja, um capital de $000,00, taxa de juros de 0% ao mês, e prazo de 0 meses Iicialmete vamos cosiderar os coceitos de Progressão Geométrica PG, e para efetuarmos os cálculos vamos cosiderar que o capital de $ 0000,00, passa a ser a soma dos termos da PG, o prazo de 0 de meses passa a ser a quatidade de termos e obviamete que a taxa de juros de 0% deve ter alguma relação com a razão A parcela iicial de amortização pode ser obtida pela fórmula da soma dos teros de uma PG, coforme demostrado a seguir: S = ( q ) a q Ode, S = soma das amortizações, ou seja, valor total fiaciado; A = Primeira parcela de amortização, q = razão de crescimeto represetada, o caso de aalise, pelo fator (+taxa de juros) e = prazo de reembolso de capital, e substituido os valores, temos: a 0000,00 = [ ] 0 ( + 0% ) ( + 0% ) ( 2, ) a 0000,00 = 0, ,00 0, 0 a =, a = 627,45 Destaca-se que o valor da primeira cota de amortização obtida através do cálculo acima é exatamete igual ao valor da cota de amortização do exemplo (quadro ) A razão da progressão geométrica utilizada é dada em fução da taxa de juro defiida de 0,00% ao mês, expressa a equação acima pelo termo ( + 0%), e do coceito de juros compostos, tem-se:

12 Juros compostos: expresso pela equação ( ) FV = PV + i, ode FV represeta o valor futuro, PV represeta o valor presete ou valor fiaciado, i represeta a taxa de juros e represeta o prazo; Agora comparado as equações, tem-se: 0000,00 = a 0 [( + 0,00% ) ] ( + 0% ) Este é o coceito de juros compostos basta comparar o termo com a equação FV = PV ( + i ) que é a equação característica dos regimes de juros capitalizados Portato, o cálculo apresetado, faz meção a taxa de juros, e como pode-se observar acima, o coceito adotado é de juros compostos De posse do valor da primeira parcela de amortização pode-se mesurar as demais mediamete a aplicação de técicas de progressão geométrica coforme demostrado a seguir: a a a t 2 0 = a q = 627,45 = a t ( + 0% ) 2 = 627,45, 0 = 690, a9 = a ( + 0% ) = 627,45, 0 = 345, a = a ( + 0% ) = 627,45,03 = 479, 50 Coceito de capitalização composta, para o icremeto das parcelas de Observa-se o detalhe que a razão da progressão geométrica q, o presete caso é expressa por (+0%), e a da aálise dos termos (+0%) 2-,,

13 (+0%) 9- e (+0%) 0- podemos facilmete idetificar a expressão de juros capitalizados, que é dada por FV PV ( + i) = Agora, tomado como base as parcelas de amortização, calculam-se os juros de forma capitalizada para o prazo fial, assim tem-se: j j j j i 9 0 = a i = 627,45 i + [( + i ) ] ( + 0% ) [ ] = 627,45 [, 0 ] = 000, = 345,00 [( + 0% ) ] = 345,00 [, 0 ] = 282, = 479,50 ( + 0% ) = 479,50, 0 [ ] [ ] = 47, 95 Este coceito é de capitalização composta Idetificam-se facilmete os juros capitalizados de cada uma das parcelas de amortização, o presete caso, para tato basta comparar cada um dos cálculos de juros com a expressão de juros compostos ( i) FV = PV + Aida destacamos que os valores obtidos são exatamete iguais aqueles obtidos o exemplo iicial (quadro ) Agora, o valor de cada prestação paga o Sistema Fracês de Amortização ou tabela Price é dado pela soma de cada parcela de amortização com a sua respectiva parcela de juros, assim tem-se: PMT = a +j = 627, ,00 = 627,45 PMT 9 = a 9 +j 9 = 345, ,45 = 627,45 PMT 0 = a 0 +j 0 = 479, ,95 = 627,45 Obviamete que o valor igual de cada uma das prestações ão é mera coicidêcia, isso é a característica do Sistema Fracês de Amortização ou Tabela Price, e por esse procedimeto fica claro e cristalio como são cobrados os juros capitalizados

14 Vamos agora cosiderar os coceitos de Progressão Aritmética PA, e para efetuarmos os cálculos vamos cosiderar que o capital de $ 0000,00, passa a ser a soma dos termos da PG, o prazo de 0 de meses passa a ser a quatidade de termos e obviamete que a taxa de juros de 0% deve ter alguma relação com a razão A parcela iicial de amortização pode ser obtida pela fórmula da soma dos teros de uma PA coforme demostrado a seguir: S = ( a + a ) 2 Ode, S = soma das amortizações, ou seja, valor total fiaciado; a = Primeira parcela de amortização, a = última parcela de amortização e = prazo de reembolso de capital, e aida a equação a =a +(-)r Ode, a = Primeira parcela de amortização, a = última parcela de amortização e = prazo de reembolso de capital, e r = a razão da progressão aritmética, substituido os valores, temos: S a = = a ( a + a ) ( a + a ) ,00 = ,00 = a ( ) r a = a + ( 0 ) r a = a + 9r a 0 que produz o sistema de equações 2000,00 = a a 0 = a + 9r a 0 que apreseta ifiitas soluções, com 9 9 = 000,00 r,a = r,r = r 2 2 a 0 Seguido o mesmo processo observado para o caso de juros compostos, e como queremos trabalhar com juros simples, podemos escrever a relação

15 r=a x[(+ix)-], cosiderado =(somete um período) e i= 0%, taxa de juros (ela tiha de aparecer em algum lugar) Assim reescrevedo a equação, obtemos: r=a x[(+ix)-] r=a x[(+0%x)-] r=0,0xa dessa forma o sistema de equações passa a ser: 2000,00 = a a 0 = a r = 0, 0a + 9r a 0 que agora somete apreseta uma solução com { 689,66,a = 30,34,r 68,97} a 0 = = De posse do valor da primeira parcela de amortização e da razão, pode-se mesurar as demais mediamete a aplicação de técicas de progressão aritmética coforme demostrado a seguir: a =689,66 a =a +(-)r a 9 =689,66+(9-)x68,97 a 9 =24,42 a 0 =689,66+(0-)x68,97 a 0 =30,39 Agora, tomado como base as parcelas de amortização, calculam-se os juros de forma simples para o prazo fial, assim tem-se: j j t = a i = 689,66 [( + ix( t + ) ] [( + 0% ( 0 + ) ) ] = 689,66 [ 2,00 ] = 689, 66 Ocorre que para mater a estabilidade do sistema, os juros obrigatoriamete passam a ser determiados através da mesma razão da progressão aritmética,

16 ou seja, r=68,97, porém cosiderado agora uma PA decrescete, assim reescrevedo a razão, temos r=-68,97, e os juros passam a ser: j =689,66 ; j 9 = j +(-)r = 689,66 + (9-)(-68,97) = 689,66-8x68,97 = 37,90 j 0 = j +(-)r =689,66 + (0-)(-68,97) = 689,66 9x68,97 = 68,93 Idetificam-se facilmete os juros simples de cada uma das parcelas de amortização, o presete caso, para tato basta comparar, cada um dos cálculos de juros com a expressão de juros compostos FV = PV i Resta saber se a soma de cada uma das parcelas vai gerar uma prestação costate, assim somado a parcela de juros com a parcela de amortização, tem-se: PMT = a +j =689, ,66 = 379,32 PMT 9 = a 9 +j 9 = 24, ,90 = 379,32 PMT 0 = a 0 +j 0 = 30, ,93 = 379,32 Agora, verificado se tal distribuição de amortização e juros, e cosequetemete prestação, correspodem a algum método de amortização Assim para o exemplo proposto, ou seja, um capital de $000,00, taxa de juros de 0% ao mês, e prazo de 0 meses, vamos costruir um sistema de amortização a juros simples, que ultimamete tem também gahado a deomiação de Gauss Quadro 4: Gauss º saldo juros amort Prest , ,34 689,65 689,66 379, ,72 620,69 758,62 379, ,3 55,72 827,59 379, ,58 482,76 896,55 379, ,06 43,79 965,52 379, ,58 344,83 034,48 379, ,3 275,86 03,45 379,3

17 8 255,72 206,90 72,4 379,3 9 30,34 37,93 24,38 379,3 0 0,00 68,97 30,34 379,3 A pequea difereça verificadas os resultados apresetados o quadro 4 e cálculos ateriormete efetuados é decorrete da precisão adotadas em cada um dos procedimetos, sedo que para o presete caso, os valores podem ser cosiderados iguais Fialmete, o quadro a seguir, resume os diversos aspectos discutidos o presete

18 Bobages A equação que determia a prestação a Tabela Price é somete utilizada uma vez, e ão guarda vículo com a mesma Os juros a tabela Price são calculados multiplicado-se o saldo devedor imediatamete aterior pela taxa de juros e esse é coceito de juros simples As prestações descotadas das cotas de juros represetam a amortização, portato ão há juros sobre juros juros sobre juros ão são a mesma coisa que capitalizam composta, pois se os juros foram pagos ão há capitalização A divisão de uma expoecial por outra expoecial aula o efeito da capitalização composta É um sistema mudialmete utilizado Verdades - A prestação é utilizada em todas as parcelas - Determia-se também o valor da prestação através da soma de uma PG - A prestação é determiada pela equação, para evitar que todas as vezes precisamos efetuar as cosiderações coforme um fluxo de caixa ou PG - cofudem algoritmo com coceito de juros simples - o saldo devedor imediatamete aterior multiplicado pela taxa de juros ão é coceito de juros simples ou de juros compostos, é apeas uma relação matemática - ão pode ser cosiderado como argumeto para firmar ada - somete podemos aalisar uma série de pagametos detro do coceito de fluxo de caixa - ão se pode aalisar somete um período, deve-se aalisar todo o sistema de amortização detro dos coceitos de matemática fiaceira - ão se pode aalisar somete um período, deve-se aalisar todo o sistema de amortização detro dos coceitos de matemática fiaceira - sem cometários - quem fala isso em sequer cohece os coceitos básicos da matemática - é mudialmete utilizado, mas quem deve prevalecer é a legislação

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