TABELA PRICE NÃO EXISTE *

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1 TABELA PRICE NÃO EXISTE * Rio, Novembro / 203 * Matéria elaborada por Pedro Schubert. Admiistrador, Sócio Fudador da BMA Iformática & Assessorameto Empresarial Ltda.

2 TABELA PRICE NÃO EXISTE ÍNDICE Págia - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO Cálculo do Valor do Juro (Juro Composto e Aatocismo) Itrodução... 5 Prazo Fiaceiro Juro Simples Cálculo do Valor do Juro, a períodos meores do que 2 meses, é acrescido ao valor do empréstimo Aatocismo Juro Composto Defiição Iicial Mercado Fiaceiro o Brasil... 7 Trasformação a Partir de Coceito de Taxa Equivalete Taxa Proporcioal e Taxa Equivalete Defiição da taxa de juro o Cotrato Taxa Nomial e Taxa Efetiva Solução Material para o Aatocismo... Regime de Juro Composto com o Coceito de Taxa Equivalete... Exemplos Ocorre o aatocismo mas ão favorece ao doo do capital... 2 Para Períodos Cotratuais maiores de 2 meses ( ao) Descoto Descoto Simples... 3 Descoto Comercial... 3 Descoto Bacário... 3 Valor Atual Comercial Descoto Composto... 4 Defiição... 4 Cálculo do Descoto Composto... 5 Cálculo do Valor Atual Composto... 5 Exemplo... 6 Comparação etre os custos fiaceiros do descoto bacário e o descoto composto Exemplo do Descoto Composto Modalidades de Pagametos ( Amortizações)... 8 o Método Hamburguês... 9 o Sistema Fracês de Amortização O que é o Sistema Fracês de Amortização Plao de Amortização pelo Sistema Fracês de Amortização Exemplos Quadro Pela Taxa Proporcioal Quadro 2 Pela Taxa Equivalete

3 3- OBJETIVOS DOS ESTUDOS DO SR. RICHARD PRICE O Terrorismo sobre o Juro Composto Do livro PERICIAS JUDICIAIS do Autor Pedro Schubert O autor iglês Richard Price publicou em 77, trabalhos para ateder a dois fatos da época I. a Valor Futuro de uma Série Uiforme I. b Valor presete de Uma Auidade de Uma Série Uiforme II. Juro Composto Resumo Tábuas do Sr. Price x Tábuas Atuais Pagameto Simples Juro Composto Série Uiforme de Pagametos Método do Custo Atual Uiforme Tábuas Fiaceiras ão Estudadas pelo Sr. Richard Price... 3 Fator de Fudo de Amortização Fudo de Recuperação de Capital Quadro A Quadro B A TABELA PRICE E OS CONTRATOS DE FINANCIAMENTOS DO SISTEMA FINANCEIRO DA HABITAÇÃO SFH Do livro PERICIAS JUDICIAIS Capitulo II Partes 4 a 7 do Autor Pedro Schubert 7- TABELA PRICE Wikipédia, a Eciclopédia Livre Texto baixado da Iteret Para o leitor realizar uma aálise comparada etre os ites de a 6 e este item 7 3

4 - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO () (2) Neste texto temos : Cálculo do valor do juro (aatocismo) Juro Composto Descoto Composto e Descoto Bacário Sistema Fracês de Amortização Empréstimos e Redas Importate : Deve fixar que : O Sistema Fracês de Amortização ão tem : Juro Composto O aatocismo proibido pela SÚMULA 2 do STF E QUE NOS CONTRATOS ASSINADOS ENTRE AS PARTES SEJA EXPRESSO QUE a taxa de juro do cotrato é a taxa aual real e por cosequêcia, a taxa mesal será a TAXA EQUIVALENTE. Pedro Schubert CRA-RJ bmaiformatica@ig.com.br () Este Plao de Amortização fucioa com fudameto o Descoto Composto e ão com fudameto o Juro Composto. Ref. Matemática Comercial e Fiaceira Thales Mello Carvalho FENAME (2) O Autor, citado a Ref., afirma que o Sistema Fracês de Amortização é vulgar e erroeamete deomiado TABELA PRICE 4

5 2- Cálculo do Valor do Juro (Juro Composto e Aatocismo) 2.- Itrodução Prazo Fiaceiro Por coveção o prazo fiaceiro para o cálculo do valor do juro é de (um) ao. Esta coveção permite calcular e comparar o custo fiaceiro etre cotratos. Assim, a prática do cálculo do valor do juro é de ao a ao, quado o seu valor era pago ou acrescido ao saldo devedor (acrescido ao valor do empréstimo de ao a ao) Juro Simples Este é o modo de calcular o valor do juro pelo regime de juro simples, cuja fórmula é : c.i. t ao ou taxa aual de juro expressa em decimal c.i. t 00 divide por 00 quado a taxa aual de juro estiver expressa em úmero iteiro No ao seguite será feito o cálculo do valor do juro sobre o valor do empréstimo, mais o valor do juro do ao aterior. Há a capitalização do juro de ao a ao e é legal e é aceito como ormal. Esta figura do aatocismo ão é questioada Cálculo do Valor do Juro, a períodos meores do que 2 meses, é acrescido ao valor do empréstimo A diâmica do mercado levou a realizar empréstimos a períodos meores de 2 meses, mês a mês por exemplo e a fórmula para o cálculo do valor do juro simples ajustou-se para : c.i. t 2 00 taxa aual de juro expressa em úmero iteiro o tempo está expresso em meses divide por 00 quado a taxa aual de juro estiver expressa em úmero iteiro divide por 2 quado a taxa de juro estiver expressa em ao e o tempo t estiver expresso em meses e o modo de calcular cotiua pelo regime de juros simples e com o coceito de taxa proporcioal, taxa mesal (taxa aual 2), podedo ser trimestral (taxa aual 4), etc. Esta diâmica do mercado também levou a realizar empréstimos a períodos diferetes de mês, com o prazo em dias e ovamete a fórmula para o cálculo do valor do juro, pelo regime de juro simples ajustou-se para : c.i. ti 360 x 00 taxa aual de juro expressa em úmero iteiro o tempo está expresso em dias divide por 00 quado a taxa de juro estiver expressa em úmero iteiro divide por 360 quado a taxa de juro estiver expressa em ao e o tempo t estiver expresso em dias 5

6 Com este procedimeto o valor do juro é pago ou acrescido ao saldo devedor (acrescido ao valor do empréstimo), de dia a dia, de mês a mês, de ao a ao e, sobre o valor do juro o dia seguite do mês seguite, aualmete icide o cálculo do valor do juro. Aparece a figura do juro sobre juro deomiado de aatocismo capitalização de juro sobre o juro, a períodos meores de 2 meses. Houve a reação e este aatocismo é proibido por lei. O aatocismo favorece ao doo do diheiro Aatocismo 2.3- Juro Composto 3 O aatocismo é ierete a quaisquer operações fiaceiras. É como o ascer e o por do sol; ele existe idepedete da votade das pessoas e das leis. A lei proíbe (e a SÚMULA 2 do STF cosolida) o acréscimo do valor do juro ao saldo devedor (ao empréstimo / fiaciameto) a períodos meores de 2 meses. Aqui o Brasil, o aatocismo está proibido desde Código Comercial Artigo 253. E o Decreto de , cohecido como Lei da Usura, o seu artigo 4º, repetiu o Código Comercial quado diz : É proibido cotar juros dos juros;... Cometário : Não pode acrescetar ao saldo do empréstimo o valor do juro do dia, do mês vecido, por que, o dia, o mês seguite, será calculado o valor do juro sobre o valor do empréstimo, acrescido do juro dos dias, de meses ateriores. Importate : Se a cotabilidade registrar os valores dos juros em cota distita da cota do saldo devedor do empréstimo (e ão calcular também o juro sobre o saldo da cota de juros) ão haverá juros dos juros. A razão desta proibição é que a acumulação de juros vecidos aos saldos líquidos, de mês a mês, irá gerar, o fial de 2 meses, um valor maior de juros, a favor do doo do capital. Este é o aatocismo proibido, iclusive, com o reforço da SÚMULA 2 do STF, de 963 que diz : É vedada a capitalização de juros, aida que expressamete covecioada. e cotiuado o texto do artigo 4º : Defiição Iicial... ; esta proibição ão compreede a acumulação de juros vecidos aos saldos líquidos em cota correte, de ao a ao. Diz-se que um capital está colocado a juros compostos ou o regime de capitalização composta se, o fim de cada período fiaceiro (este período fiaceiro é de ao), previamete estipulado, o juro produzido é adicioado ao capital e passa a reder juro. 3 Ver Matemática Comercial e Fiaceira Thales Mello Carvalho FENAME 975 3ª Edição de ode foi retirado o extrato a seguir, com adaptações. 6

7 Seja etão, C um capital, colocado a juros compostos, a taxa uitária i relativo a um certo período. Sedo C. i o juro produzido por C, o fial do primeiro período. O motate do fim desse período será : C = C + C. i = C ( + i ) Mostra que se obtém o motate C, o fim do período fiaceiro, multiplicado-se o capital C o iício deste período, pelo fator de capitalização ( + i ) O Motate o fim de um período tora-se o capital a ser aplicado, o período imediato Etão, o fim do período C 2 temos : temos : No termo teremos : 2.4- Mercado Fiaceiro o Brasil C 2 = C ( + i ) Substituido C por seu valor C ( + i ) C 2 = C ( + i ) ( + i ) ou C ( + i ) 2 C = C ( + i ) Trasformação a Partir de 970 Houve grade trasformação a partir da Lei da Reforma Bacária Lei de ; e da Lei de Mercado de Capitais Lei de Novembro / 965. O mercado fiaceiro moderizou-se e juto, a matemática fiaceira passou a ser usada itesamete, com as aálises de retabilidade de projetos e especialmete, as práticas do mercado fiaceiro, a partir de 970, com as operações do mercado aberto, com destaque para as operações de overight (aplicações de sobras de caixa das empresas e das pessoas por períodos de a dias), ode os bacos, lastreados com títulos adquiridos do Govero (destaque para as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacioal ORTN), fiaciavam o Govero, adquirido estes títulos com correção moetária + juros e alugavam os recursos de seus corretistas, deomiados de doadores, de suas sobras de caixa, por, 2, dias. Os corretistas passaram a ter uma receita fiaceira até etão iexistete e, a maioria das vezes, pelas suas hipossuficiêcias técicas (ão coheciam a operação), ficavam felizes por esta receita extra e ão questioavam a taxa de juro da aplicação. Coceito de Taxa Equivalete Os bacos para estas operações calculavam estas taxas de juros por a dias, pelo regime de juro composto e com o coceito da taxa equivalete, para ão ter erros a determiação do cálculo de seus lucros pois, a taxa de retabilidade de um dia, por ser míima, tem aproximação acima de 5 casas decimais. E como é aalisado aqui, a taxa equivalete é eutra e o baco ão iria alugar o diheiro de seus corretistas pelo regime de juro simples com o coceito de taxa proporcioal que favorece ao doo do diheiro. Veja a difereça da taxa de juro de 2% a.a. etre o regime de juro simples e o regime de juro composto, para um dia : 7

8 - pelo regime de juro simples : 0, % a.d. - pelo regime de juro composto : 0, % a.d. O que muito cotribuiu para este aperfeiçoameto foi o aparecimeto das máquias calculadoras fiaceiras que, em questão de segudos, determia a taxa de juro a ser paga ao doador pelo regime de juro composto, com o coceito de taxa equivalete, para a captação dos seus recursos a cada operação de overight Taxa Proporcioal e Taxa Equivalete 4 Já vimos que, se i é a taxa relativa a um período t, a taxa proporcioal a i e t i relativa ao período é i (m) = m m Seja i t (m) uma taxa relativa ao período e tal que, todo capital, colocado a juros m t compostos a taxa i (m), capitalizados o fim de cada período, produza, o fim do m período t, o mesmo motate que produziria se estivesse colocado a juros compostos à taxa i, capitalizados o fim do período t. A matemática fiaceira explica isto provado a igualdade : ( + i ( m ) ) m =,2 Esta comparação (ou igualdade) é verdadeira : Nesta hipótese sedo C um capital qualquer temos : C [ + i ( m ) ] m = C ( + i ) (cacelado C os dois termos) ou [ + i ( m ) ] m = ( + i ) ( ) m i ( m ) = ( + i ) m - ( taxa equivalete a períodos meores ) i ( 2 ) = ( + 0,2 ) 2 - taxa de juro aual real taxa de juro a períodos meores de 2 meses Diz etão que as taxas i e i ( m ) são equivaletes. Para períodos meores : (sedo ( m ) = diário, mesal, bimestral, trimestral, aual) A igualdade ( ) acima, utilizado a radiciação pode ser escrita : Exemplo : + i ( m ) = ( + i ) ou, i ( 2 ) =, A taxa equivalete mesal é : i ( 2 ) = 0, ou 0, % a.m. Esta fórmula dá a taxa equivalete a período os meores de 2 meses. 4 Ver o Livro Perícia Judicial Capítulo I Partes - Juro Composto e 2- Aatocismo Autor: Pedro Schubert 8

9 Para períodos maiores : Retorado a fórmula ( ) e ivertedo os termos : + i = [ + i ( m ) ] m ou i = [ + i ( m ) ] m - (taxa equivalete a períodos maiores) Esta fórmula dá a taxa equivalete a períodos maiores. Exemplo : Tedo a taxa i ( m ) de,00% a.m., pelos mesmos processos citados, para períodos maiores, este caso 2 meses, será ecotrada a taxa de 2,6825 % a.a. i = ( + 0,0 ) 2 - i =, ou 2,6825 % a.a Defiição da taxa de juro aual o Cotrato Fato importate que deve ser destacado os cotratos de empréstimo / fiaciameto é a defiição da taxa aual de juro do cotrato, se é : taxa efetiva ou taxa omial Sedo defiido a taxa efetiva aual ou real (de 2,00% a.a. ou qualquer outra) a taxa equivalete mesal será calculada pela fórmula : m i ( m ) = ( + i ) - i ( 2 ) = ( + 0,2) 2 - = 0, % a.m. m i i = ( + m ) - sedo i = taxa aual efetiva de 2,00 % i ( m ) = a taxa equivalete mesal Sedo defiido a taxa omial aual (de 2,00% a.a. ou qualquer outra) a taxa efetiva aual será calculada pela fórmula : 2 i = ( + 0,0 ) - = 2,6825 sedo i = taxa efetiva aual de 2,6825 % a.a = a taxa omial mesal m = o caso 2 vezes Neste caso a taxa mesal será a taxa proporcioal de,00% a. m. ( 2,00% 2 ). O fiaciado fica prejudicado este caso. i m 9

10 Como está demostrado em outra parte, o Sistema Fracês de Amortização (vulgar e erroeamete deomiado Tabela Price) ão tem aatocismo e tão pouco, juro composto mas, o cotrato, deve ser defiida que a taxa aual é a efetiva. Acolhimeto de Processos pela Justiça Varas Cíveis O cliete da istituição fiaceira ao peticioar uma reclamação cotra o seu agete fiaciador, esta petição deve ser acolhida para ser examiada, por perito qualificado, para cofirmar se a taxa do cotrato, embora mecioe que é taxa efetiva mas, a cobraça do valor do juro mesal é omial Taxa Nomial e Taxa Efetiva 5 Seja, etão, i ( m ) uma taxa omial coversível m vezes ao ao e seja i a taxa efetiva aual correspodete. Do que foi dito resulta que i é a taxa aual, equivalete à taxa período m do ao. m i = i (m) m relativa ao Etão, de acordo com a fórmula i = [ + i ( m ) ] m ode que dá a taxa equivalete a períodos maiores e i ( m ) = (+ i ) equivalete a períodos meores, podemos escrever respectivamete : i (m) m, fórmula que dá a taxa i m (m) i = + m - ( a ) ( taxa efetiva i cohecida a taxa omial i m ) Processado temos : i (m) m = ( + i ) m - ou i (m) = m. ( + i ) m - ( b ) ( taxa omial i m cohecida taxa efetiva i ) As fórmulas ( a ) e ( b ) que dão, respectivamete, a taxa efetiva i, cohecida a taxa omial i (m) e a taxa omial i (m), cohecida a taxa efetiva i. Exemplos : Taxa Nomial ao Ao Baco paga juros efetivos de 4,50% a.a., capitalizado semestralmete. Qual é a taxa omial ao ao? i (m) m = m. ( + i ) ( taxa omial i ( m ) ) cotedo a taxa efetiva i 5 Ver Ref. 0

11 Juro efetivo de 4,50 % a.a. pago semestralmete 2 i ( m ) = 2. [ ( + 0,045 ) ] i ( m ) = 2. [, ] = 2. [ 0, ] ou 4,450 % a.a. Taxa Efetiva ao Ao Baco paga juros omiais de 4,50% a.a., capitalizado semestralmete. Qual é a taxa efetiva aual? m i (m) i = + m [ taxa efetiva i, cohecida a taxa omial i ( m ) ] Juro omial i de 4,50 % a.a pago semestralmete Ao ao será a seguite taxa efetiva : 0, i = + =, = 0, ou 4,550% a.a. (taxa efetiva) 2.7- Solução Material para o Aatocismo 6 A matemática fiaceira tem solução para elimiar o valor maior de juros quado o seu valor é calculado a períodos meores de ao. Ficaremos com o cálculo do valor do juro mês a mês, mas pode ser qualquer outro período múltiplo de 2 meses, semestre, quadrimestre, trimestre, bimestre ou o prazo em dias. Regime de Juro Composto com o coceito de Taxa Equivalete Ao aplicar este regime, o cálculo do valor do juro será realizado de modo que, ao fial de 2 meses, o seu valor será igual ao valor calculado pelo regime de juros simples de ao a ao. Demostraremos que a taxa de juro, em vez de ser,00% ao mês, será a sua taxa equivalete de 0, % ao mês Será aplicada a seguite fórmula para o cálculo mesal : i ( m ) = ( + i ) m sedo i = 2,00% a.a. e = 2 i ( m ) = (,0 ) 2 0, ou 0, % a.m. Em 24 meses teremos : ( + 0, ) 24 = 25,44 6 Livro Perícia Judicial Capítulo I Partes e 2 Autor: Pedro Schubert

12 Exemplo : Empréstimo $ 00,00 a juro de 2,00% a.a. - Cálculo de Juro Simples de ao a ao 00 x 2 x 00 = 00 x 0,2 x = $ 2,00 2- Cálculo de Juro Simples de mês a mês No Primeiro mês 00 x 2 x 00 x 2 =,00 No Segudo mês 0 x 2 x 00 x 2 =,0 ; total 2,0 e assim até o 2º mês ( ao) que ecotrará o valor de $ 2,6825 em vez de $ 2,00 Este valor 0,6825 é o juro dos juros é o aatocismo, proibido a períodos meores de 2 meses. 3- Cálculo do valor do juro pelo regime de Juro Composto com o coceito de Taxa Equivalete No Primeiro mês 00 x (, ) = $ 0,948 (em vez de,00) No Segudo mês, teremos : No 2º mês 00 x (, ) 2 = $,90676 (em vez de 2,0) 00 x (, ) 2 = $ 2,00 e ão $ 2,6825 Ocorre o aatocismo mas ão favorece ao doo do capital. O lado material da coisa fica resolvido. A parte jurídica fica para questão de mérito porque a legislação proíbe mas, materialmete, aplicado a taxa equivalete, está elimiada a distorção. Para Períodos Cotratuais maiores de 2 meses ( ao) DE ANO A ANO O ANATOCISMO NÃO É PROIBIDO. Vejamos o Exemplo : Empréstimo $ 00,00 a taxa de juro de 2,00% a.a. - Cálculo pelo Juro Simples No Primeiro ao 00 x 2 x 00 = $ 2,00 ; somado ao capital iicial = $ 2,00 2

13 No Segudo ao 2 x 2 x 00 = $ 3,44 ; somado ao capital iicial de R$ 00,00 = $ 25,44 Coclusão : 2- Cálculo pelo Juro Composto a Taxa Equivalete No Primeiro ao 00 x [ (, ) ] 2 - = $ 2,00 ; somado ao capital de $ 00,00 = $ 2,00 No Segudo ao 2.8- DESCONTO (ver ota de rodapé ) 2 x [ (, ) ] 2 - = $ 25,44 ; somado ao capital de $ 00,00 = $ 25,44 ou 00 x [ (, ) ] 24 - = $ 25,44 ; somado ao capital de $ 00,00 = $ 25,44 De ao a ao, tato faz ser pelo regime de juro simples, ao a ao, como pelo regime de juro composto, mês a mês, por 2 meses, por 24 meses, etc. A solução jurídica tem que ser dada para períodos meores de 2 meses ou seja, utilizar o regime de juro composto que é NEUTRO, com o coceito de Taxa Equivalete. Um documeto de crédito (ota promissória, duplicata, etc.) cujo vecimeto ocorrerá detro de um certo prazo mas o seu proprietário ecessite, ates desse prazo, da importâcia ele fixado. Levado a uma Istituição Fiaceira, a qual trasferirá por edosso, a propriedade do título, recebedo, em troca, aquela importâcia, dimiuído de um certo ágio. Diz-se etão, que o título foi descotado pela Istituição Fiaceira. Este ágio ou descoto pode ser calculado de diferetes modos: Descoto Simples Descoto Composto Descoto Comercial Descoto racioal (ão aalisaremos) Descoto Simples Ou descoto comercial ou por fora, também deomiado descoto bacário, visto ser o preferido pelas Istituições Fiaceiras. Descoto Bacário O descoto bacário é o juro do valor omial do título à taxa estipulada pela Istituição Fiaceira, durate o tempo que decorre, da data da assiatura do cotrato ao vecimeto do mesmo. 3

14 A fórmula do descoto comercial (ou juro) é: D = cii 360 Exemplo: quado o tempo for cotado em dias e a taxa de juro estiver expressa em ao. Um título de valor comercial $ ,00 sofre um descoto bacário, à taxa de 6,00 % a.a, 90 dias ates do seu vecimeto; esse descoto é, de acordo com a fórmula D = cii 360 e também : ,00 x 0,06 x = $ 365,40 D = D = cii 2 ci, em meses e taxa de juro, em ao., em ao e taxa de juro, em ao. Nos três casos a taxa de juro está expressa em ao e em decimal. Valor Atual Comercial A difereça etre o valor omial C e o descoto D deomia-se valor atual comercial (ou bacário) do título descotado ( do Capital C ). Represetado o valor atual comercial (valor liquido recebido) por A podemos escrever: A = C D e D = cii, logo 360 A = C. ii Descoto Composto - Defiições No regime de capitalização composta, - o valor atual de um capital C, - dispoível o fim de períodos, a taxa i, relativo a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos, a taxa i produz, o fim de períodos, o motate C Temos pois, em virtude desta defiição A ( + i) = C ou A = i C i( + i) i 4

15 O valor A deomia-se também : Valor atual composto do capital C A difereça C A deomia-se : Descoto composto do mesmo capital Vamos represetar esta difereça C A por D Assim, podemos escrever : (descoto composto) D = C A Como A é C i ; substituido a igualdade acima i( + i) D = C A, substituido A por C temos : i( + i) D = C i C i( + i) Reduzido ao deomiador comum, temos : i i D = C ( + i) C C [ ( + i) ] = ( + i) ( + i) Cotiuado com o Descoto Composto 2- Cálculo do Descoto Composto Tomado a igualdade D = C [ ( + i) ] ( + i) e multiplicado o umerador e o deomiador por i temos : D = C. i. [( + i) ] (ver ota de rodapé ) i ( + i) fator de descoto composto Deste modo, a expressão : ( + i) i ( + i) fator de valor atual ou fator de descoto de uma série uiforme em fução de i e de pode ser tabulada e é ecotrada a Tábua Fiaceira (Tábua V) como : Valor atual da auidade de R$,00 paga durate um certo úmero de períodos ( ) Na aálise da modalidade de amortização deomiada Sistema Fracês de Amortização (ode se quer saber o valor da prestação) o iverso deste fator de descoto composto será examiado. 3- Cálculo do Valor Atual Composto ( A ou simbolicamete PV Ver o item 2.0 ) Para realizar este cálculo precisa-se cohecer o motate FV (ou C ), a taxa ( i ) e o tempo ( ). (, i, PV, PMT, FV) teclas da máquia calculadora fiaceira HP-2C). 5

16 Exemplo : - Calcular o Descoto Composto a taxa de 5,00% a.a do capital de $ 0.000,00, dispoível o fim de 8 aos. Procurado a Tábua V do livro citado, Fator de Valor Atual FVA, ecotramos para i = 5,00% a.a. e = 8 aos o fator 6, Aplicado a fórmula do Descoto Composto : D = 0.000,00 x 0,05 x 6, temos : $ 3.23,60 0,3236 e o Valor Atual - A (PV) - será : $ 6.768,40 : 0.000, ,60 A = C D 2- Descoto Simples ( ou Descoto Bacário ) Neste caso, o exemplo acima terá o seguite cálculo : = 8 a i = 0, ,00 x 0,05 x 8 = $ 4.000,00 C = 0.000,00 0,40 e o Valor Líquido A = C D será : $ 0.000,00 $ 4.000,00 = $ 6.000,00 Coclusão O Descoto Bacário (juros simples) é mais oeroso para o fiaciado do que o Descoto Composto. Porque isto? Por que o Descoto Composto a taxa de juro icide, mesalmete, sobre o Saldo Devedor e o Descoto Bacário a taxa de juro icide sobre o Valor do Empréstimo, a data do empréstimo. O Sistema Fracês de Amortização está fudametado o Descoto Composto que ão tem, em Juro Composto e tão pouco, o Aatocismo. A discussão que deve existir sobre o Sistema Fracês de Amortização está a aplicação da taxa mesal de juro, se proporcioal ou equivalete. Comparação etre os custos fiaceiros do descoto bacário e do descoto composto O autor citado faz um ilustrado estudo matemático comparado o custo fiaceiro etre: descoto bacário e o descoto simples descoto bacário e o descoto composto descoto composto e o descoto racioal e coclui que matematicamete o descoto bacário é superior ao descoto racioal o descoto bacário é sempre superior ao descoto composto o descoto composto é:.. iferior ao descoto racioal se <.. é igual ao descoto racioal se =.. é superior ao descoto racioal se > ode = ao (2 meses) 6

17 Graficamete estas comparações ficam assim: Para o osso estudo a comparação etre o descoto bacário e o descoto composto é a escolhida pois estamos estudado a modalidade de pagameto que utiliza o coceito do descoto composto para o cálculo do valor mesal do juro; [ a taxa de juro do período (geralmete mês) icide sobre o Saldo Devedor ]. Recomedamos que seja utilizada a taxa equivalete. Exemplo de Descoto Composto : - Vou emprestar $ 0.000,00 por oito aos, a taxa de 5,00% a.a, a modalidade de descoto composto, em vez do descoto bacário; pagameto atecipado do juro. Qual o valor do juro (do descoto composto atecipado)? Obs :Pode também ser euciado : Prazo de 8 m e taxa de juro de 5,00% a.a. De acordo com a fórmula do Descoto Composto aqui deduzida : D (descoto composto) = C. i. [ ( + i) ] i ( + i) O valor do Descoto Composto será : D = 0.000,00 x 0,05 x f D = 0.000,00 x 0,05 x 6, D = $ 3.23,60 fator f ecotrado em tabela, em fução de i e de Em tempo : No fial do período = 8 o credor receberá $ 0.000,00 Obs : Esta modalidade de amortização : Pagar o Valor dos Juros a data da assiatura do cotrato e o Valor do Pricipal a data do vecimeto estabelecido o cotrato é deomiado de Sistema Alemão. 2- O problema acima também pode ser euciado : Vou emprestar $ 0.000,00 por oito meses, a taxa de juro de 5,00% a.m, para ser pago em 8 parcelas iguais, mesais e cosecutivas. Qual o valor da prestação? Neste caso temos : A (PV) = 8 i = valor atual = 5,0% a.m. 7

18 Vl. da Parcela = T ou pmt A = T. ( + i) ode T = A. i ( + i) i.. i ( + i) ( + i) T = 0.000,00 x 0, T = $.547,28 fator f da Tabela 3 dos livros em fução de i e de Em tempo : Esta é a modalidade de amortização deomiada de Sistema Fracês de Amortização que está fudametado o Descoto Composto Modalidades de Pagametos (Amortizações) Ambos os métodos de pagametos (amortizações), a seguir detalhados, estão fudametados o DESCONTO COMPOSTO : a taxa de juro icide sobre o saldo devedor as datas dos pagametos das parcelas do pricipal, coforme defiidos os cotratos assiados etre as partes. Aalisaremos aqui a ª modalidade paga periodicamete, mesal, etc, aual uma soma da qual : uma parte se destia ao pagameto do juro do capital emprestado o período a outra parte, é a amortização gradativa do empréstimo / fiaciameto, de modo que fique liquidado imediatamete após o último pagameto 8

19 Equadram-se esta modalidade o Método Hamburguês o qual, periodicamete (mesal, trimestral, etc) amortiza o empréstimo / fiaciameto em parcelas iguais e sucessivas paga o valor do juro do período, aplicado a taxa de juro aual do cotrato, calculada para o período (mesal, trimestral, etc) sobre o saldo devedor O mercado, tradicioalmete, aplica a taxa proporcioal do período (mesal, trimestral) sobre o saldo devedor Da explicação citada temos : Valor do empréstimo : $ 00,00 Taxa de Juro : Pago em duas parcelas iguais : Cálculo do Valor do Juro : 5% o período - após 30 dias $ 50,00 + $ 5,00 = $ 55,00 - após 60 dias $ 50,00 + $ 2,25 = $ 52,25 $ 00,00 $ 7,25 No º pagameto : $ 00,00 x 5,0% a.m. (0,05) = $ 5,00 No 2º pagameto : $ 50,00 x 5,0% a.m. (0,05) = $ 2,25 Total : $ 7,25 ESTE É O MÉTODO HAMBURGUÊS mudial e secularmete aceito pelas Partes (Istituições Fiaceiras e Empresas de Grade Porte, podedo ser também de Médio Porte), geralmete Empréstimos de Logo Prazo. o Sistema Fracês de Amortização (vulgar e erroeamete deomiado de Tabela Price) o qual, periodicamete (mesalmete, etc, aualmete), o devedor paga, a partir da realização do empréstimo / fiaciameto, (mês vecido) e durate um úmero estabelecidos de períodos (meses, etc, aos) uma soma costate (deomiada de auidade) que popularizou-se como prestação que pode ser mesal, etc, aual [ prestações (mesais, etc) iguais e sucessivas ] que reembolsará o capital emprestado e os juros de cada período ( que é calculado do mesmo modo que é aplicado o Método Hamburguês ) A taxa de juro, a cada período, icide sobre o Saldo Devedor 9

20 2.0- O que é o Sistema Fracês de Amortização? O detetor (possuidor) do capital A, hoje, pode trocá-lo (emprestá-lo) por um cojuto de termos T (parcelas, prestações) a serem recebidas o futuro, a períodos defiidos (mês a mês, etc). Isto equivale a dizer que o capital A poderá ser cedido, por empréstimo / fiaciameto e reembolsado à taxa i, mediate os pagametos T iguais que se deomiam de auidades (prestações). Assim se costitui o Sistema Fracês de Amortização. Podemos estabelecer esta idetidade etre os problemas fudametais sobre a reda e os problemas sobre empréstimos / fiaciametos, destacado a seguite correspodêcia de termos : Símbolos o (s) Quem Empresta Quem Toma Emprestado Sigificado o estudo Sigificado o estudo de Livros Maual da HP-2C de redas (aplicações) empréstimos / fiaciametos A PV Valor Atual Capital Emprestado T pmt Termo de Reda Auidade (valor da prestação) i i Taxa de Avaliação Taxa de Juro do Período ( de oportuidade ) º de Termos Número de auidades (prestações) ou prazo do empréstimo Assim, as aálises a seguir estudadas são as mesmas, quer como matéria sobre redas, quer como matéria sobre empréstimos / fiaciametos. Do Poto de Vista do Aplicador que quer aplicar um capital para receber $ 2.000,00 por mês a taxa i, em meses. Exercício Qual o valor atual de uma reda aual imediata de 25 termos iguais a $ 2.000,00 cada, a taxa de juro de 5,0% a.a. / a.m. Euciado equivalete : Do Poto de Vista do Fiaciado que quer comprar um bem Que dívida pode ser amortizada por 25 prestações (auais / mesais) de $ 2.000,00 cada, sedo a taxa de juro de 5,0% a.a. / a.m. - Cálculo do valor atual de uma reda A = T. ( + i) Ver o item Descoto Composto i ( + i) que deduziu esta fórmula fator que varia com e i Solução : A = ( + 0,05) 24 0,05 ( + 0,05) 24 procurado a Tabela 5 = 24 e i = 5,0% ecotramos o fator 4, A = 2000 x 4, = $ 28.87,90 20

21 2- Fudameto do Sistema Fracês de Amortização Você quer adquirir um bem (Valor Atual A ou PV) o período a taxa de juro i. Qual é o valor do termo T (da prestação). Cálculo do valor do Termo (prestação, auidade) cohecido o valor atual (valor do empréstimo / fiaciameto), o úmero de termos (parcelas, auidade e a taxa de juro). É o cálculo do valor da prestação (parcela, auidade) ecessária para amortizar um empréstimo / fiaciameto, cohecidos : A- o valor do empréstimo / fiaciameto i- a taxa de juro T- o úmero de termos (prestações, auidades) suposto que a primeira prestação seja paga o fim de cada período, a cotar da data da realização do empréstimo (reda imediata) Temos do DESCONTO COMPOSTO : A = T. ( + i) i ( + i) Processado esta fórmula, ode T é o valor da prestação : T = A. i ( + i) ( + i) Exemplo : f - equivale a Tabela III das Tabelas atuais, sem qualquer relação com as Tabelas estudadas pelo Sr. Richard Price Calcular o valor dos termos (prestações) de um empréstimo de R$ 28.87,90 pagos (amortizado) em 25 prestações mesais, iguais e sucessivas, cuja taxa de juro é de 5,0% a.m. : T (prestação) = 28.87,90 x 0, f - procurado a Tabela III = 25 i = 5,0% ecotramos : 0, T (prestação) = $ 2.000,00 ou i : 0, i4, Plao de Amortização pelo Sistema Fracês de Amortização Quadros e 2 - Calcula o valor da prestação coforme já mostrado. 2- Calcula para cada período, a partir do primeiro, o valor do juro icidido a taxa de juro sobre o saldo devedor o fim do período aterior. 3- E subtrai este valor, do juro, do valor da prestação, obtedo-se o valor da amortização. 2

22 4- Cada valor mesal da amortização subtrai do Saldo Devedor do mês aterior e ecotra o Saldo Devedor do mês. O cálculo do valor do juro é mesal e a taxa de juro do mês icide sobre o Saldo Devedor do mês aterior. Isto caracteriza o cálculo do Descoto Composto. Recomedamos que, o cotrato de empréstimo / fiaciameto assiado etre o tomador e a Istituição Fiaceira, seja egociada a taxa de juro aual efetiva (ou real) e que a taxa mesal egociada seja a taxa equivalete EXEMPLOS QUADRO PLANO DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Erroeamete Deomiado de Tabela Price) Cálculo do Valor do Juro pela Taxa Proporcioal - Taxa de Juro Nomial do Cotrato Vara: Processo º: Autora: Reu: Tx. de Juros (% a.a.) do Cotrato: 2,00 Tx de Juros (% a.m.) Proporcioal:, Taxa de Juros (% a.a.) real: 2, Cotrato. Data: 2//203 Taxa de Juros: 2,00000 % a.a. (Simples) 2,68250 % a.a. (Composto) Valor Fiaciado:.000,00 Baco: Agêcia: C/C: Nº Prestações : 2 Recebidas : 0 À Receber : 2 Nº Prestação Vecimeto Prestação Amortização do Pricipal Iserido pelo Perito Juros U: R$,00 Saldo à Pagar 2/2/203 88,85 78,85 0,00 92,5 2 2/0/204 88,85 79,64 9,2 84,5 3 2/02/204 88,85 80,43 8,42 76,08 4 2/03/204 88,85 8,24 7,6 679,84 5 2/04/204 88,85 82,05 6,80 597,79 6 2/05/204 88,85 82,87 5,98 54,92 7 2/06/204 88,85 83,70 5,5 43,22 8 2/07/204 88,85 84,54 4,3 346,68 9 2/08/204 88,85 85,38 3,47 26,30 0 2/09/204 88,85 86,24 2,6 75,07 2/0/204 88,85 87,0,75 87,97 2 2//204 88,85 87,97 0,88 0,00 TOTAL.066,9.000,00 66,9 - Ver o Total do Juros : R$ 66,9 - Cálculo do Valor do Juro, mês a mês : A taxa de juro do mês icide sob o saldo devedor : Na ª prestação :.000,00 x 0,0 = R$ 0,00 Na 2ª prestação : 92,5 x 0,0 = R$ 9,2 e segue, mês a mês, o mesmo cálculo. 22

23 QUADRO 2 PLANO DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Erroeamete Deomiado de Tabela Price) Cálculo do Valor do Juro pela Taxa Equivalete - Taxa Real do Cotrato Vara: Processo º: Autor: Reu: Iserido pelo Perito Tx. de Juros (% a.a.) Real: 2,00 Tx. de Juros (% a.m.) Equivalete: 0, Taxa de Juros (% a.a.) Real: 2,00 Cotrato º: Data: 2//203 Taxa de Juros:,38655 % a.a. (Simples) 2, % a.a. (Composto) Valor Fiaciado:.000,00 Baco: Agêcia: C/C: Nº Prestações : 2 Recebidas : 0 À Receber : 2 U: R$,00 Nº Prestação Vecimeto Prestação Amortização Saldo à Juros do Pricipal Pagar 2/2/203 88,56 79,07 9,49 920,93 2 2/0/204 88,56 79,82 8,74 84,0 3 2/02/204 88,56 80,58 7,98 760,52 4 2/03/204 88,56 8,35 7,22 679,8 5 2/04/204 88,56 82,2 6,44 597,06 6 2/05/204 88,56 82,90 5,67 54,6 7 2/06/204 88,56 83,68 4,88 430,48 8 2/07/204 88,56 84,48 4,08 346,00 9 2/08/204 88,56 85,28 3,28 260,72 0 2/09/204 88,56 86,09 2,47 74,63 2/0/204 88,56 86,90,66 87,73 2 2//204 88,56 87,73 0,83 0,00 TOTAL.062,74.000,00 62,74 - Ver o Total do Juros : R$ 62,74 - Cálculo do Valor do Juro, mês a mês : A taxa de juro do mês icide sob o saldo devedor : Na ª prestação :.000,00 x 0, = R$ 9,488 Na 2ª prestação : 920,93 x 0, = R$ 8,738 e segue, mês a mês, o mesmo cálculo. Ver que o QUADRO 2 a taxa de juro mesal é a taxa equivalete. Neste caso ficou estabelecido, a assiatura do cotrato que a taxa de juro aual será a taxa real e, deste modo, automaticamete, a taxa de juro mesal será a taxa equivalete. 23

24 3- Objetivos dos Estudos do Sr. Richard Price Os estudos do Sr. Richard Price, publicados em 77, desevolvidos para ateder as seguradoras com dificuldades relacioadas à formação do fudo para pagameto de pecúlios (e mesmo de redas vitalícias), para viúvas e idosos Tabelas II e IV (hoje aposetados e pesioistas), bem como estudos referetes à Dívida Pública da Coroa Iglesa para calcular quais os valores futuros de suas dívidas por empréstimos tomados Tabelas I e III mostram : Nas suas Tabelas I e II - ( Valor Atual P ) Fator do Valor Atual (+ i) Tabela I ( Fudameto do método do Fluxo de Caixa Descotado ) Tem uma série de pagametos R s (termos, prestações). Quado R s forem diferetes (Dados R s achar P). Obs : A Tabela I do Sr. Price está relacioada à Juro Composto. ( + i) - Fator do Valor Atual i (+ i) Tabela II Quado R s forem iguais (Dado R achar P). Nas suas Tabelas III e IV - Tem uma série de depósitos R s (termos, prestações). Motate S Calcular um motate S, capaz de pagar um valor o fial ( Capitalização ) de depósitos. ( + i) Fator de Acumulação de Capital Motate Tabela III Fatorde Acumulação ( + i) - de Capital Motate i Tabela IV Quado R s forem diferetes (Dado R = P achar S). Obs : A Tabela III do Sr. Price está relacioada à Juro Composto. Cálculo do motate de um empréstimo, a data de seu pagameto, com os valores dos juros acumulados ao Saldo Devedor. Quado R s forem iguais (Dado R achar S). Obs : Pelas aálises históricas destes seus trabalhos, o caso as Tabelas II e IV, o objetivo do seu estudo, para as seguradoras, foi para calcular a formação do fudo para PECÚLIO POR MORTE, daí os seus outros estudos relacioados à TÁBUAS DE MORTALIDADE. É a origem para os cálculos atuariais, de hoje, para os Fudos de Pesões. Sedo, aquela época, para pagametos de Pecúlios que era o produto das seguradoras. Hoje para os FUNDOS DE PENSÕES, para aposetados e pesioistas, é ecessário o acréscimo da TABELA SEM NUMERAÇÃO (ver o QUADRO A o Livro PERÍCIA JUDICIAL do Autor Pedro Schubert) que é o iverso da Tabela IV do Sr. Price, só dispoível aqui o Brasil depois de 970, deomiada de FATOR DE AMORTIZAÇÃO, quado tem o motate S acumulado durate a fase laborativa do cidadão e quer pagar R provetos mesais a fase de aposetado,também calculado atuarialmete. Em Resumo Que motate S devo acumular durate um período (cotribuições mesais) sedo um tempo decorrete de cálculos atuariais fudametados a expectativa de vida do grupo participate e aplicado a uma taxa de redimeto mesal i defiida os cálculos atuariais, para pagar, após certo úmero de períodos, um motate S, o caso de Pecúlio. 24

25 Para a formação da Reserva Técica, o caso de aposetadoria e de pesioista, qual o valor R que deve ser depositado durate períodos, a taxa i de juros para acumular um motate S que deverá ser utilizado para pagar R beefícios durate períodos, sedo o Saldo Decrescete e aplicado a taxa de juro i. Os valores R, e i também são fudametados em cálculos atuariais. Para o cálculo de R, o caso de Beefício Defiido, ver a Tabela sem umeração. 4- O Terrorismo sobre o Juro Composto (ou como está expresso o livro Perícia Judicial do Autor Pedro Schubert Capítulo I Parte Juro Composto fl s. a 6) Do Livro Tabela Price Editora Servada Campias 2002 Na fl. 59 temos : Na fl. 80 temos : Um xelim desembolsado o da do ascimeto de Jesus Cristo a juros de 6% a.a. teria se torado massa de ouro maior que a que se poderia coter em todo o sistema solar, se trasformado uma esfera de diâmetro igual ao da órbita de Saturo. Um cetavo de libra emprestado a data do ascimeto de osso Salvador a um juro composto de cico por ceto ao ao teria, o presete ao de 78, resultado em um motate maior do que o cotido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele estivesse sido emprestado a juro simples ele teria, o mesmo período, totalizado ão mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS. Todo o govero que aliea FUNDOS destiados a reembolsos, (osso cometário : toma diheiro emprestado) opta pelo cultivo de diheiro do segudo modo, ao ivés do primeiro. Temos iicialmete duas fatasias : Niguém fica devedo 78 aos O govero ão ecotrará capitalista para emprestar diheiro Naquela época a comparação podia ser esta. Ocorre que, o século seguite, os sábios colocaram ordem a casa; defiiram o que seria período fiaceiro e colocado regra para comparar os custos fiaceiros dos cotratos e podedo compará-los. Assim, de ao a ao, os juros são calculados e acumulados aos saldos devedores. Ver o texto do artigo 4º do Decreto º de (Lei da Usura). Ver o item Deste modo, foi elimiado este fatasma do juro composto. Tato faz fazer o cálculo pelo juro simples como pelo juro composto que o motate ao fial de qualquer período é o mesmo Ver o livro Perícia Judicial Capítulo I Partes a 3, fl s. a

26 5- Do livro PERÍCIAS JUDICIAIS do Autor Pedro Schubert Parte 3 Tabela Price 5 O autor iglês Richard Price publicou em 77, trabalhos para ateder a dois fatos da época. I.a Valor futuro de uma Serie Uiforme Para as seguradoras, a obra Observações Reversíveis sobre Devolução de Pagametos relacioadas à Provisão de Auidades a Viúvas e Idosos; assutos a doutrias de redas vitalícias. Nesta obra, Price expõe seu coceito e método utilizado o Sistema de Pagametos periódicos com direito à remueração e beefícios ou seja, para se calcular o valor de uma série uiforme de pagametos cosecutivos (para acumular um motate de recursos) e durate um certo tempo, para receber uma remueração futura, pelo pagameto de redas certas, em aposetadorias e seguros. Pelo texto vê-se que correspode aquela época ao pecúlio e hoje, às aposetadorias. Para este estudo de acumulação (motate) Price elaborou a Tábua IV: para acumular os recursos (motate) correspode hoje a Tábua II (ver Quadro A) Para cofirmar esta relação é só comparar as duas Tábuas, o mesmo percetual e o mesmo período. Esta Tábua IV do Sr. Price é utilizada os depósitos ou pagametos de uma série uiforme (por exemplo a cotribuição mesal, igual e sucessiva de um peculista ou de um participate do fudo de pesão). Calcula o valor futuro de uma série uiforme. Não tem qualquer relação com o fiaciameto da casa própria ou de fiaciametos de bes ou de empréstimos, bem como o Sistema Fracês de Amortização erroeamete deomiado de Tabela Price. A elaboração desta Tábua utiliza o pricípio da soma dos termos de uma progressão geométrica como demostrado a seguir: 6 5 Ver o livro Tabela Price da Editora Servada Campias Ver o livro Maual de Implatação de Projetos Capítulo 2 Fase de Aálise pg. 30 Autor Pedro Schubert Editora LTC 26

27 i P ( ) ( + i ) ( + i) 2 ( + i) O parâmetro acima correspode a uma progressão geométrica, cujo termo é a e a razão a é ( + i). Pela defiição de motate, aplicado a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, teremos: S = q S = a substituido q teremos: a por e q por ( + i) S = ( + ) = + i ( + ) i i Este fator é chamado de Fator de (, i). Acumulação de Capital FAC de uma serie uiforme ou FRS (i, ) Ver Quadro A Tábua IV do Sr. Price e Tábua II dos Autores atuais Se chamarmos de R o termo (depósito mesal, cotribuição mesal), teremos: S = R ( + i ) - i Esta fórmula permite calcular o valor fial de termos iguais, capitalizados, sem ecessidade de se efetuar a soma dos termos Tem, também, dois estudos importates: The Philosophical Trasactios of the Royal Society cohecido hoje como teorema de Bayes, cotribuido de forma coclusiva para desevolvimeto da estatística modera produzido aplicação pratica do teorema de Bayes o campo atuarial. Matéria de 763. Em 769 a pedido da Equitable Society da Iglaterra, publica sua famosa obra de estatística, voltada para o ramo de seguros Northampto MortalityTables (Tábuas de Mortalidade de Northampto). 27

28 I.b Valor Presete de uma Auidade de uma Série Uiforme A Tábua II do Sr. Price ao comparar os seus fatores, correspode a Tábua V utilizada atualmete pela matemática fiaceira calcula o valor atual de uma reda uiforme. Esta Tábua II do Sr. Price (Tábua V os tempos atuais) calcula o valor atual de um fluxo de caixa descotado de termos iguais. Método do Fluxo de Caixa Descotado quado as parcelas (termos), proveiete de um projeto, de uma reda, etc., são iguais. Série Uiforme. R R2 R3 R 2 R R (+i) (+i) - (+i ) 2 ( + i ) 3 ( + i ) 2 ( + i ) O parâmetro acima correspode a uma progressão geométrica cujo primeiro termo a é e a razão q é ( + i ) ( + i ) Sabedo-se, por defiição que o valor atual de uma reda de termos é a soma dos valores atuais dos termos desta reda logo, aplicado-se a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, temos: P = a q q que, substituido a = ( + i) e q = ( + i) temos: P = P = ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) i( + i) teremos: ( ) + i i( + i) = ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i), multiplicado os termos por- = ( + i) ( + i) ( + i) = ( + i) ( + i) ( + i) = i ( + i) = i 28

29 Este fator é chamado de Fator de Valor Atual FVA de uma Série Uiforme ou FRP (i, ). Ver Quadro A Tábua II do Sr. Richard Price e Tábua V dos Autores atuais. Esta fórmula, sabedo-se o valor R (termo) uiforme (igual), pode-se calcular o valor atual de uma série,como vemos: P = R. ( + ) i( + i) II Juro Composto (Tábuas III e I do Sr. Price) As tábuas de juro composto, Price elaborou a pedido da Society for Equitable Assurace o Live que deomiou de Tables of Compoud Iterest Ver Juro Composto Parte I. Examiado as tábuas de juro composto do Sr. Price podemos compará-las com as tábuas atuais utilizadas pela matemática fiaceira: Tábua III (do Sr. Price) Fator de capitalização de um termo ( + i) Tábua I (do Sr. Price) Valor Presete de um valor a ser recebido o fial de qualquer úmero de períodos (mês,ao) ( + i) - correspode a Tábua Motate a juro composto o fim de um certo úmero de períodos (meses, etc). Ver o Quadro A (Fator de Capitalização) - correspode a Tábua IV Valor Presete (Atual) dispoível o fim de um certo úmero de período. É o iverso da Tábua III do Sr. Price. Esta tábua é utilizada o estudo do Fluxo de Caixa Descotado de termos diferetes. Como vemos é o iverso da Tábua dos livros de Matemática Fiaceira. Ver o Quadro A (Fator de Descoto) Estas duas tábuas de juro composto ão têm qualquer relação com o fiaciameto da casa própria ou de fiaciametos de bes ou de empréstimos, bem como com o Sistema Fracês de Amortização erroeamete deomiado de Tabela Price. Estas são as quatro tábuas estudadas pelo Sr. Richard Price. 29

30 No Sistema Fracês de Amortização a taxa de juro icide sobre o Saldo Devedor. Não gera o aatocismo de modo direto e ão é juro composto. Tem fudameto o descoto composto. Recomedamos que a taxa de juro mesal seja a taxa equivalete. Por razões que descohecemos esta Tábua III é vulgar e erroeamete titulada de Tabela Price. Por isso que o autor Thales Mello Carvalho, falecido em 96, o seu livro Matemática Comercial e Fiaceira - FENAME 975 3ª edição diz a fl 357: As Tábuas de amortização para empréstimos pelo sistema fracês de amortização dos istitutos de crédito (vulgar e erroeamete deomiadas Tabela Price...) RESUMO Richard Price Motate ( + i) Tábua III Tábuas Fiaceiras dos Autores Atuais Juro Composto Termos Diferetes Tábua I Acumulação do valor iicial mais os valores dos juros de cada período. Motate S Tábua IV = ( + i) i Valor Futuro Motate Termos iguais Tábua II Soma dos Termos da Progressão Geométrica razão ( + i). Cotribuição do participate para a formação de poupaça para fudos de pesão, pecúlio. Valor Presete ( ) Tábua I + i ( ) + i Valor Presete i( + i) Tábua II Termos diferetes Tábua IV Estudo do Fluxode Caixa Descotado Termos iguais Série Uiforme Estudo do Fluxo de Caixa Descotado Tábua V Soma dos Termos da Progressão Geométrica de razão ( + i) 30

31 Tábuas Fiaceiras ão Estudadas pelo Sr. Richard Price Sistema Fracês de Amortização Não tem o estudo do Sr. Price (Descoto Composto) cálculo das prestações de empréstimos/ fiaciametos Tábua III Fator de Fudo de Amortização Calcula o valor da aposetadoria mesal i Tábua Sem Numeração ( ) - Tábua Sem Numeração tem a partir de + i No livro Matemática Comercial e Fiaceira - Não tem o estudo do Sr. Price. já citado o Autor diz ão ser ecessária a costrução desta Tábua, pela razão a seguir: fl. 38 Elaboração da Tábua Sem Numeração Verificamos o Quadro B Colua sem umeração que: a = S + i Desevolvedo o segudo termo, ecotramos: S + i = ou = i S a a Como a Tábua III dá os valores de para diferete valores de i e de, pode-se, a com o auxilio desta relação, calcular facilmete os valores de costrução de uma Tábua desses valores, o que tora desecessária, a S Ex: com = 3 e i = 0%, temos a Tábua III = 0, a Assim = 0, , = 0, S Este foi a explicação do Autor, já citado, para ão costruir esta Tábua Sem Numeração. Na ossa opiião é o fato de, em 960, aida ão existir o Fudo de Pesão e assim, esta Tábua ão tiha uso. A metodologia do cálculo apresetado para elaborar a Tábua Sem Numeração até 970 do Quadro B pode ser substituída pela metodologia a seguir: 3

32 S Temos a Tábua II = com = 3 e i = 0% ecotramos o fator 3,30000 Logo = = 0, ,30000 S Esta Tábua Sem Numeração é iversa de Ver Quadro B Fator de Fudo de Amortização FFA ou FSR (i, ). Já se ecotra calculada e é utilizada para cálculos dos pagametos de aposetadorias os Fudos de Pesão e os Plaos de Reda Certa das Seguradoras. Há sesseta aos atrás, estas atividades eram praticamete ulas e, por isso, esta Tábua ão era importate. S Naquele tempo, cofeccioar estas tábuas fiaceiras era laborioso, por serem feitas maualmete. Hoje, com as plailhas eletrôicas, com os seus bacos de dados, coveietemete programados, estas tábuas fiaceiras, por taxa de juro, são calculadas os períodos, de modo automático e istatâeo. Para obter as tábuas fiaceiras, de seu iteresse, ver o osso site S 32

33 QUADRO A Harmoização das Tábuas Fiaceiras Nesta sítese observa-se que a matemática fiaceira é a mesma. O que diferecia é o seu desevolvimeto de explicações teóricas e a relação de sua aplicação o mercado fiaceiro. Sitetizamos esta Tábua Fiaceira, composta de 6 Tábuas, estes dois tempos, represetado os autores até 970 e após 970. TÁBUA FINANCEIRA Tábua III - Price Tábua I - Price Tábua IV - Price Tábua II - Price Tábua I Tábua IV Sem Numeração até 970 Tábua II Tábua V Tábua III Até 970 Motate de $,00 a juro composto o fim de um certo úmero de período Valor Atual de $,00 dispoível o fim de um certo úmero de períodos Por ser o iverso da Tábua II, o Autor sugere motar esta Tábua dividido cada fator da Tábua II pelo seu iverso: Motate de uma reda uitária e periódica. Valor Atual da auidade de $,00 paga durate um certo período de tempo. Auidade capaz de amortizar o capital de $,00 um certo úmero de período. É o iverso da Tábua I:,20000 = 0, ,00000 = 0, Reda Certa: Uma sucessão de pgtos T, T2, T realizados, respectivamete, as épocas t, t2, t deomiase RedaCerta Valor Atual de uma Reda é a soma dos valores atuais de seus termos. Sistema Fracês de Amortização Erroeamete chamado Tabela Price Não publicada até 970 Fator de Capitalização Fator de Descoto Juro Composto Pagameto Simples R R2 R Progressão Geométrica S = a q q Série Uiforme de Pagametos R = R2 = R Descoto Composto i ( + i) ( + i) Após 970 Fator de Acumulação de Capital - FAC Fator de Valor Atual - FVA Fator de Amortização - FFA Fator de Acumulação de Capital - FAC Fator de Valor Atual - FVA Fator de Recuperação de Capital - FRC Dado P Dado S Dado S Dado R Dado R Dado P Achar S Achar P Achar R Achar S Achar P Achar R Taxa de Juro: 0,00% a.a., , , , , , , , , , , , , , , , , , ( + i) ( + i) i ( i) + ( + i) i ( + i) ( + i) i i( + i) ( + i) Motate (Valor Futuro) de Termo Valor Atual ou Fluxo de Caixa Descotado de Termos Diferetes. Cálculo do Valor do Beefício Mesal (Fudo de Pesão) Equivale à Tábua II Equivale à Tábua V É o iverso da Tábua II Valor Futuro de uma Serie Uiforme Motate (para Fudo de Pesão) Formação de Poupaça Valor Atual ou Fluxo de Caixa Descotado de Termos Iguais Cálculo do valor da prestação de uma dívida Obs.:Sempre tem de compatibilizar = mês,..., ao P = Valor Presete; Valor Atual,PV i= mês,..., ao T ou R = Prestação, Parcela, Auidade, Mesalidade, Termo, Cotribuição, Aposetadoria, pmt T= R = mês,..., ao S = Motate,Valor Fial, FV 33