OPERAÇÃO 1 OPERAÇÃO 2 OPERAÇÃO 3 OPERAÇÃO mês 10% a.m. 100,00 110,00 121,00

Transcrição

1 Módulo 7 J uros Compostos Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 7.1 Itrodução: Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são icorporados ao capital, gerado um ovo capital, sobre o qual serão calculados os redimetos do período seguite. 110,00 121,00 133,10 OPERAÇÃO 1 OPERAÇÃO 2 OPERAÇÃO 3 OPERAÇÃO ,00 110,00 121,00 133, Fórmulas de Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum o sistema fiaceiro e portato, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são icorporados ao pricipal para o cálculo dos juros do período seguite. Chamamos de capitalização o mometo em que os juros são icorporados ao pricipal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =C (1 + i) 2º mês: o pricipal é igual ao motate do mês aterior: M = C (1 + i) (1 + i) 3º mês: o pricipal é igual ao motate do mês aterior: M = C (1 + i) (1 + i) (1 + i) Simplificado, obtemos a fórmula: M = C (1 + i)

2 Importate: a taxa i tem que ser expressa a mesma medida de tempo de, ou seja, taxa de juros ao mês para meses. Para calcularmos apeas os juros basta dimiuir o pricipal do motate ao fial do período: J = M P A seguir são apresetados algus exemplos sobre juros compostos. 7.3 Aplicações 3.1 Calcule o motate acumulado pela aplicação de um capital de R$ 6.000,00 aplicado a juros compostos, durate 1 ao, à taxa de 3,5% ao mês. Solução: C = R$ 6.000,00 t = 1 ao = 12 meses i = 3,5 % ao mês = 0,035 M =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: M = 6000 (1+ 0,035) 12 M = 6000 (1,035) 12 M = ,5111 = 9066,41 Portato, o motate é R$ 9.066,41. A taxa de juros está expressa ao mês e o prazo está ao ao, portato devemos coverter o prazo da operação para a mesma uidade de tempo Determiar o valor atual de um cotrato de R$ ,00 com vecimeto para 4 meses e através de uma taxa de juros de 3% ao mês, capitalizados mesalmete. Solução: M = R$ ,00 t = 4 meses

3 i = 3 % a.m. = 0,03 C =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: = C (1+ 0,03) 4 C = ,03 4 C = 26654,82 Portato, o valor atual do cotrato é: R$ , Uma loja fiacia um bem, o valor e R$ 4.200,00, sem etrada, para pagameto em uma úica prestação de R$ 4.866,61 o fial de 5 meses. Qual a taxa mesal cobrada pela loja? C = R$ 4.200,00 M = R$ 4.866,61 t = 5 meses i =? mesal Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: 4866,61 = (1 + i ) , ,00 = (1 + i ) 5 1,1587 = (1 + i) 5 5 1, 1587 = 1 + i 1,0299 = 1 + i i = 0,0299 = 2,99 % ao mês A taxa mesal de juros cobrada pela loja é 2,99% Normalmete em fatores ou ídices calculados as fórmulas são colocadas de quatro a seis casas decimais e os demais casos duas casas decimais! Determie em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um úico pagameto de R$ ,62, sabedo que a taxa cotratada é de 2% ao mês. C = R$ ,00

4 M = R$ ,62 i = 2% ao mês = 0,02 =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: 11261,62 = 10000,00. (1 + 0,02) 11261, ,00 = 1,02 1,1262 = 1,02 Aplicado logaritmo de base 10 em ambos os membros e com o uso de uma calculadora cietifica, temos: log (1,1262) = log (1.02) 0,0516 =. log (1,02) 0,0516 =. 0,0086 = 6 meses O prazo cotratado foi de 6 meses. Em algus livros de Matemática Fiaceira são colocadas Tabuas Fiaceiras com valores de expoeciais e logaritmos, apesar de hoje em dia ser muito comum o uso da calculadora HP 12C. 7.4 Fórmulas a HP 12C Na fórmula M = C (1 + i), o pricipal C é também cohecido como Valor Presete (PV = preset value) e o motate M é também cohecido como Valor Futuro (FV = future value). Etão essa fórmula pode ser escrita como: FV = PV (1 + i) Isolado PV a fórmula temos: PV = FV / (1+i) Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presete. Na seqüêcia mais fórmulas que podemos obter diretamete cada elemeto a partir dos dados iiciais do problema. Na HP 12C, o valor presete é represetado pela tecla PV e o valor futuro é repr esetado pela tecla FV.

5 Valor Futu ro Valor Pr esete PV = Juros J = PV ( 1 + i ) ( 1 + i ) Taxa i = Taxa Efetiva Taxa Equivalet e FV l PV Pr azo = l 1.[( 1 + ) i 1 ] Fator de PV para FV ( capitaliza ção ) Fator de FV para PV ( atualizaçã o ) FV 1 PV i f FV = i q ( + i ) = 1 + = PV. ( 1 + i) ( 1 i FV + ) i om i J uro Exato e J uro Comercial É comum as operações de curto prazo, ode predomiam as aplicações com taxas refereciadas em juros simples, ter se o prazo defiido em úmero de dias. Nestes casos, o úmero de dias pode ser calculado de duas maeiras: a) pelo tempo exato: utilizado se efetivamete o caledário do ao civil (365 dias). O juro apurado desta maeira deomia se juro exato; b) pelo ao comercial: o qual admite o mês com 30 dias e o ao com 360 dias. Tem se, por este critério, a apuração do deomiado juro comercial ou ordiário. Exemplo: 12% a.a. equivale, pelos critérios euciados, à taxa diária de: a) Juro Exato: 12/365 = 0,032877% ao dia. b) Juro Comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia.