UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PRODUTO DA DISSERTAÇÃO

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1 UNIVRSIDAD FDRAL DO RIO GRAND DO SUL INSTITUTO D MATMÁTIA PROGRAMA D PÓS-GRADUAÇÃO M NSINO D MATMÁTIA PRODUTO DA DISSRTAÇÃO MATMÁTIA PARA LTRÔNIA: UMA PROPOSTA PARA O NSINO TÉNIO Simoe Lovatel Porto Alegre 7

2 5 APÊNDI A DMONSTRAÇÃO DA RPRSNTAÇÃO D UM NÚMRO OMPLXO NA FORMA TRIGONOMÉTRIA osiderado as séries de potêcia, o itervalo < φ <, das fuções: (-) (i) seφ (ii) cosφ φ ( )! φ (- ) ( )! φ! (iii) eφ φ! φ φ3 φ φ! 3! φ3 3! φ4 4! φ5 5! φ4 4! φ6 6! φ7 7! φ5 5!... Substituido em (iii) φ por jφ, sedo j a uidade imagiária, temos: e jφ ( jφ ) (jφ ) (jφ ) (jφ ) (jφ ) 4 (jφ )5 (jφ ) 6 (jφ ) 7!!!! 4! 5! 6! 7!... jφ φ! φ φ4! 4! jφ 3 φ 4 jφ 5 φ 6 jφ ! 4! 5! 6! 7! j φ 3 jφ 5 jφ 7 φ6... jφ... 6! 3! 5! 7! φ φ4 φ6 φ3 φ5 φ7... j φ...! 4! 6! 3! 5! 7! cosφ j.seφ [ por (i) e(ii)] Logo, e jφ cosφ j.seφ sta última expressão é cohecida como fórmula de uler. Na matemática, e é cohecido como o úmero de uler, em homeagem ao matemático suíço Leohard uler (77 783). O úmero e vale aproximadamete

3 6, 78 8 e é o resultado de um processo de limite da fórmula para tededo a valores muito grades. A maeira de expressar matematicamete esse processo de limite é: e lim ste limite está ilustrado uméricamete a tabela abaixo a qual foi gerada usado uma calculadora. ompare os resultados da tabela com o valor meciado acima,,,5374,,7484.,,764.,,7846.,,7868..,,788 Leohard uler começou a usar a letra e para represetar a costate em 77, e o primeiro uso de e foi a publicação uler s Mechaica (736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são descohecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra expoecial. O úmero e é um úmero irracioal, como π (pi). A irracioalidade de e foi demostrada por Lambert em 76 e mais tarde por uler. O úmero e é usado também como a base dos logaritmos aturais, isto é, log e x l x.

4 6 APÊNDI B - DMONSTRAÇÃO DA MULTIPLIAÇÃO D NÚMROS OMPLXOS Números complexos a forma polar. i) Sedo z z e jφ e z z e jφ, úmeros complexos a forma expoecial, etão: zz z e jφ. z e jφ z z e jφ e jφ Da regra de multiplicação de potêcias de mesma base, temos que: e jφ e jφ e jφ jφ e j(φ φ ) Logo, zz z z e j(φ φ ) φ ii) omo, e j cosφ j.seφ e zz z z e j(φ φ ) etão, para multiplicar úmeros complexos a forma trigoométrica temos: ( zz z z cos(φ φ j ) j.se(φ φ ) Números complexos a forma cartesiaa. Sedo z a jb e z c jd úmeros complexos a forma cartesiaa, etão: zz (a jb)(c jd) ac jad jbc jbd ac jad jbc bd (ac bd) j(ad bc) Logo, zz (ac bd) j(ad bc)

5 6 APÊNDI - DMONSTRAÇÃO DA DIVISÃO D NÚMROS OMPLXOS Números complexos a forma polar. i) Sedo z z e jφ e z z e jφ, úmeros complexos a forma expoecial, etão: z e jφ z z z e jφ z e jφ z e jφ Da regra de divisão de potêcias de mesma base, temos que: e jφ e jφ e jφ jφ e j(φ φ ) Logo, z j(φ φ ) z e z z ii) omo, φ e j cosφ jseφ e zz z z e j(φ φ ) etão, para dividir úmeros complexos a forma trigoométrica temos: z z (cos(φ φ ) j.se(φ φ )) z z Números complexos a forma cartesiaa. Sedo z a jb e z c jd úmeros complexos a forma cartesiaa, etão: z a jb z c jd Para obter as partes real e imagiária deste quociete, multiplicamos umerador e deomiador por c jd e simplificamos:

6 63 z a jb c - jd (ac bd) j(bc - ad) z c jd c - jd c j d (ac bd) j(bc - ad) c d Logo, z (ac bd) j(bc - ad) z c d

7 64 APÊNDI D - DMONSTRAÇÃO DA POTNIAÇÃO D NÚMROS OMPLXOS i) Sedo z z e j φ um úmero complexo a forma expoecial. tão: z z x z x z x... ( vezes) z e jφ x z e jφ x z e jφ x... ( vezes) z x z x z x...( vezes) x e jφ x e jφ x e jφ x... ( vezes) ( ) z e jφ Da regra de potêcia de uma potêcia, temos que: (e jφ ) e j(φ ) Logo, z z e j(φ ), com Ν ii) omo, e jφ cosφ jseφ e z z e j(φ ) etão, para elevar úmeros complexos a forma trigoométrica a uma potêcia, com Ν, temos: z z (cos φ jse φ ) Observação: O âgulo φ é chamado argumeto de z e ão é defiido de forma úica porque podemos adicioar ou subtrair qualquer múltiplo de π, produzido outro valor do argumeto. Os múltiplos valores do argumeto de z são úteis para ecotrar as raízes -ésimas dos úmeros complexos. ada uma dessa raízes possuem o mesmo módulo, isto é, z e os argumetos diferirão de π radiaos. Isto implica que as raízes -ésimas de z estão igualmete espaçadas em toro de um círculo de raio z e que se cohecemos a -ésima

8 65 raiz, etão as demais raízes podem ser obtidas girado essa raiz através de icremetos sucessivos de π radiaos, coforme apresetado o texto (págia ).

9 66 ANXO A - RSPOSTAS RLATIVAS AO PRÉ-TST Questão : Realize as operações abaixo, apresete os resultados em otação cietifica com três casas decimais, observado regras de arredodameto. ( ) a) 4,5678 x 7.,567 x 3 67,8 x 6 (345,785x ) b) x 8,78765x8

10 67 Questão : Qual(is) o(s) critério(s) que você utilizou para arredodar os resultados dos ites a) e b) da questão? ite-os. Questão 3: O úmero 675,47x- escrito a forma de otação cietífica é e escrito a forma de otação de egeharia é. Qual a difereça etre as duas otações? Questão 4: Sedo Vr valor de Vr? (R R )VH R, com VH 5 mv, R 8 Ω e R k Ω. Qual o

11 68. Questão 5: Sedo L N d A µ r x 6, com N, d mm, c 5 mm, µ r 5.3,46 d c e A. Determie L. Observação: Os valores de d mm e c 5 mm, a fórmula devem estar em metros.

12 6 Questão 6: Dado que a voltagem V em um capacitor de capacidade carregado com uma carga Q é V V Q Q. É possível dizer que V? Ou seja esta implicação é Q verdadeira? Justifique.

13 7 Questão 7: Tedo dois capacitores e associados em série, sabe-se que V o mesmo que escrever Q Q.É V? Você cocorda? Demostre. Q Questão 8: Se o iverso do capacitor equivalete ( eq ) é igual ao somatório do iverso de cada capacitor (, ), ou seja, isso implica em eq? Mostre. eq.

14 7 Questão : No cálculo do eq, sabedo que 33 x F e 47 x F, etão eq,4f? Demostre detalhadamete o cálculo.

15 7 Questão : osiderado uma fote de tesão V e usado eq calculado o item aterior, e lembrado que Q V.eq, qual a carga? oclusões dos aluos, descritas o verso da folha do pré-teste, o que diz respeito as suas percepções sobre o questioário e sua autocrítica.

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19 76 ANXO B TABULAÇAO DOS DADOS DO PRÉ-TST Tabela 7 - Tabulação dos dados do Pré-teste Questão Aluo Acertos por questão % de acertos ,4, 7,4 7,4 3,7 3,7,,,, Acertos Qtde % 8 3,%

20 77 ANXO TABULAÇAO DOS DADOS DO PÓS-TST Tabela 8 - Tabulação dos dados do Pós-teste Questão Aluo Acertos por questão % de acertos , 8,5 Acertos % Qtde ,% 8,5,6 85,,6