U.C Matemática Finita. 8 de junho de 2016

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1 Miistério da Ciêcia, Tecologia e Esio Superior U.C Matemática Fiita 8 de juho de 2016 Questões de Escolha Múltipla: Critérios de avaliação Na prova de Exame, cada questão de escolha múltipla tem a cotação de 1 valor. Por cada resposta icorrecta será descotado 1 de valor. É cosiderada errada uma questão com mais de uma resposta. A classificação míima destas 4 questões de escolha múltipla é de 0 valores. No P-fólio, cada questão de escolha múltipla tem a cotação de 1 valor. Por cada resposta icorrecta será descotado 1 de valor. É cosiderada errada uma questão com mais de uma resposta. A classificação míima destas questões de escolha múltipla é de 0 valores. Restates Questões: Para a correcção destas questões costituem critérios de primordial importâcia, além da óbvia correcção cietífica das respostas, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamete, de estruturar logicamete as respostas e de desevolver e de apresetar os cálculos e o raciocíio matemático correctos, utilizado otação apropriada. Todos os cálculos, raciocíios e afirmações efectuados devem estar cuidadosa e detalhadamete justificados. Não é atribuída classificação a uma resposta ão justificada. Serão pealizados raciocíios cotraditórios. De acordo com o grau de gravidade serão aida pealizadas afirmações erradas. Correcção Sumária Nas págias seguites, a sugestão de uma sequêcia de resolução para uma determiada questão deve ser iterpretada como uma das sequêcias possíveis. Será atribuída cotação aáloga se, em alterativa, for apresetada outra, igualmete correcta.

2 As justificações apresetadas são em geral muito mais breves do que é exigido uma prova de avaliação. Exame: Grelha de correcção das respostas de escolha múltipla: b) d) a) d) P-fólio: Grelha de correcção das respostas de escolha múltipla: 5. (Exame: 2.50 valores) b) a) d) 5.1. (Exame: 1.0 valor) Esta questão é semelhate ao Exercício 1b) do Texto de Apoio (Exame e P-fólio 1 : 1.50 valor) Cosideremos os dois idivíduos específicos como um úico idivíduo. Há etão 6 idivíduos, que podem dispor-se ao redor da mesa de 5! maeiras possíveis, cf. alíea aterior. Mas os dois idivíduos especificados podem dispor-se etre eles de duas maeiras distitas. Assim sedo, o úmero pedido é 2 5!. 6. (Exame: 2.0 valores) Comece-se por observar que Logo, com (2)! (!) 2 (( )!) 2 = (2)! (!) 2 (( )!) 2 = ( ) 2 = cf. Exercício 19 da Actividade Formativa (Exame:.50 valores) ( 2 ( (Exame: 1.70 valor; P-fólio 2 : 1.50 valor) Supodo que existem x, y Z tais que 1 Perguta 4 do P-fólio. 2 Perguta 5 do P-fólio. ( ) 2, ax + by = 1, )( ) ) 2. ( ) 2, 2

3 etão acx + bcy = c, c Z. Assim sedo, como a (ac), resulta da hipótese a (bc) que a ((ac)x + (bc)y), }{{} =c cf. Lema 1.1 alíea (i) do texto sobre Divisibilidade (Exame: 1.80 valor) Supohamos que p a. Etão, como p é primo, mdc(p, a) = 1. Logo, pelo Teorema 1.7 (Bachet-Bézout) existem x, y Z tais que px + ay = 1. Assim sedo, resulta da alíea aterior que p (ab) = p b. Um raciocíio semelhate aplica-se se se suposer que p b. 8. (Exame:.0 valores) 8.1. (Exame: 1.50 valor) Esta alíea é equivalete a provar que 9 é um divisor de Pelo critério de divisibilidade por 9 tem-se, com efeito, = 27, com 27 divisível por 9, pelo que o úmero é divisível por (Exame e P-fólio : 1.50 valor) Como 7 é um úmero primo, 7 ão tem outros divisores além do próprio 7 e do 1. Assim sedo, se se verificar que ão é divisível por 7 podemos etão cocluir que mdc(72684, 7) = 1. Neste setido, por recurso ao critério de divisibilidade por 7 (Perguta 4 da folha de exercícios sobre Cogruêcias) tem-se = = = 60 em que 60 ão é divisível por 7 (60 = ). Deste modo coclui-se que Perguta 6 do P-fólio.

4 9. (Exame: 5.0 valores; P-fólio 4 : 4.50 valores) 9.1. (Exame: 1.80 valor; P-fólio: 1.50 valor) Case Base: = 0. a 0 b 0 = 4 = 1 = 0, o que prova o caso base. Hipótese de idução: Dado N, qualquer, supohamos que a b =. Tese de idução: a +1 b +1 = +1. Atededo ao modo como as sucessões a, b estão defiidas, { a + 2a 1 4b 1 = 0 (1) b + 5a 1 7b 1 = 0 (2), tem-se que a +1 b +1 = (4b 2a ) (7b 5a ) = (a b ) em que, pela hipótese de idução, a b =. Logo, a +1 b +1 = (a b ) = +1, como pretedido. Pelo método de idução matemática, podemos assim cocluir que para qualquer N tem-se a b = (Exame: 1.60 valor; P-fólio: 1.50 valor) Pela equação (1), b 1 = 1 4 (a + 2a 1 ) que, substituido a equação (2), coduz a ou, equivaletemete, 1 4 (a a ) + 5a (a + 2a 1 ), a +1 5a + 6a 1 = 0, 1. O poliómio característico associado a esta última equação é p(t) = t 2 5t + 6 cujas raízes são 2 e. Assim sedo, tem-se que a = α2 + β para α + β = a 0 = 4. Mas, pela equação (1), a 1 = 4b 0 2a 0 = 4 = 2α + β = a 1 = 4. Como cosequêcia, α = 8, β = 4 e, por coseguite, 4 Grupo 7 do P-fólio. a = = 2 + 4, N. 4

5 9.. (Exame: 1.60 valor; P-fólio: 1.50 valor) Pelas duas alíeas ateriores, b = a (a b ) = = 2 + 5, N. Para cada N fixo, seja m um divisor de a e de b. Vejamos que m = 1. Por liearidade, m a m b = m (a b }{{ ) } = Como é primo, é uma factorização em úmeros primos. Logo, m = = 0, 1,..., : m = Mas por liearidade tem-se também m a m b = m (5a 4b }{{ ), } =2 + o que permite cocluir por um raciocíio semelhate que m = 2 para algum = 0, 1,..., +. Assim sedo, resulta de mdc(2, ) = 1 que = = 0, ou seja, m = 1. Cosequetemete, mdc(a, b ) = 1, o que é equivalete a a e b serem primos etre si. 5