Teorema Fundamental da Trigonometria

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1 Teorema Fudametal da Trigoometria Na ciêcia ada é sagrado, tudo é real deriva da experiêcia, da aálise e da lógica e a experiêcia é o criério da verdade. Prof. Grageiro. A relação etre o comprimeto da circuferêcia e o diâmetro determiado por ela é mesma, idepedete do raio da circuferêcia. Os povos atigos, mesopotâmicos e gregos perceberam esta relação e calcularam com a aproximação decimal e até cetesimal. O grego Arquimedes, usado polígoos regulares iscrito e circuscrito, com até 96 lados mostrou que < C D < 310. Os povos atigos usaram sempre polígoos regulares iscritos e/ ou circucrito para eco- 70 trar esta relação. Outros matemáticos posteriormete, utilizado polígoos regulares iscritos com o úmero de lados cada vez maior emcotrou esta relação com aproximação milesimal. Atualmete os matemáticos utilizam séries ifiitas para ecotrar o valor desta relação com a aproximação que desejar, com milhares e milhares de casas decimais. No século XVIII Euler esta relação por π (pi), pelo fato da circuferêcia represetar a periferia do círculo. Em 1884 mostro que o π é um úmero trascedetal, ou seja ão pode ser expresso em termos de úmeros iteiros, das operações fudametais e das operações de poteciação e radiciação. 1

2 O que é muito esquisito é que apesar de todo esse estudo sobre π, ehuma equação simples foi ecotrada para expressá-lo. Outro fato também esquisito é que a Aálise Matemática ão sabe ecotrá-lo, pois ão se pode utilizar séries ifiitas como meio de eocotrar o π, pois este já utiliza a relação set = 1, que por sua vez utiliza o valor de π. Fazer isto é cair uma retudâcia, um círculo vicioso. Algus escritores de livros de cálculo chamam set o ite = 1 como ite fudametal da trigoometria, descohecedo set que o ite fudametal da trigoometria é o próprio π e que o = 1 deriva facilmete do ite π. O livro de aálise do Professor Elo Lages também ão traz ada a respeito do ite π. Para corrigir esta deficiêcia da Aálise Matemática e para maior compreesão do estudo do círculo e da circuferêcia pelo aluos do esio médio é que eu resolvi publicar este trabalho. Demostrarei o Teorema Fudametal da trigoometria de forma rogorosa, segudo os padrões da aálise, e como corolário apresetarei uma série de resultados. Teorema 0.1 (Teorema Fudametal da Trigoometria) Dada uma circuferêcia de raio r, tem-se que a relação etre o comprimeto C da circuferêcia e o seu diâmetro D = r, idepede do raio r e é dada por C r = se. Demostração: Iicialmete tomemos um círculo de raio R e um polígoo regular iscrito o círculo com lados. Calculemos o perímetro do polígoo. Temos que P = l, ode P é o perímetro do polígoo, o úmero de lados do polígoo e l o comprimeto do lado do polígoo. Temos que l = r seθ = r se l = r se,

3 3 pois θ = 360. Etão P = r se. Observe que a medida que cresce o P também cresce, se aproximado cada vez mais do comprimeto da circuferêcia. Podemos etão aturalmete defiir o comprimeto da circuferêcia como sedo o P se este ite existir. De fato este ite existe pois P é uma sequêcia crescete e itada. Isto garate sua covergêcia. A observação que P é crescete e itada pode ser observada diretamete pela figura, porém demostrarei algebricamete em seguida. Sedo assim, temos: C = P = r se Portato Observe que π idepede de r. C r = π = se = r se ( ). ( ). Lema 0. A sequêcia P = rse é crescete. Demostração: Tomemos α = + 1 e β =. Temos etão que β = α+ 1 α. Tomemos os âgulos α 1 = 1 α, α = α,..., α k = k α,..., α = α = α e α +1 = + 1 α = α + 1 α = β. Observe que seα k+1 seα k < seα k seα k 1.

4 4 De fato pois αk+1 + α k 1 αk+1 α k 1 seα k+1 + seα k 1 = se cos seα k+1 + seα k 1 < seα k seα k+1 seα k < seα k seα k 1. Observe também que seα = (seα seα 1 )+(seα 1 seα )+...+(seα 1 se0)+se0. Logo seα > (seα seα 1 ) + (seα seα 1 ) (seα seα 1 ) = = (seα seα 1 ) > (seα +1 seα ). Portato seα > (seα +1 seα ) ( + 1) seα > seα +1 ( + 1) seα > seβ ( + 1) se > se. + 1 Portato r( + 1) se > r se + 1 ( Lema 0.3 A sequêcia P = r se é itada. ). Demostração: Observe que se = se90 cos 90 = 4 se45 cos 45 cos 90 < 4 se45, ou seja se < 4 se45.

5 5 No Lema 0. dividimos α em âgulos cogruetes etre si e mostramos que ( seα > seα se (α 1 )) α. Usado este resultado para α = 45 temos [ )] se45 > se45 se (45 45 Portato = se45 se45 cos 45 + cos 45 se 45 P = se45 > se45 se45 + cos 45 se 45 = cos 45 se 45. Etão Portato 1 > se 45. R se < 8r se45 < 8r ou P r < 4. Corolário 0.1 O valor de π também pode ser dado pela expressão π = k , k com k raízes. Demostração: Sedo π = se, tomemos = k+1. Sedo

6 6 cos θ 1 + cos θ =, temos cos k+1 = = com k raízes quadradas. Temos que se k+1 = Portato com k raízes. 1 + cos 1 + cos k 1 + k 1 = 1 + cos = ( ) = π = k + + k , Corolário 0. A área de um círculo de raio r é dada por A = πr. Demostração: Tomemos um polígoo regular iscrito de lados o círculo de raio r e calculemos sua área. Dividido o polígoo em triâgulos iguais temos A = A ode A = H l. Etão A = H l = H P. Defiido a área do círculo como A se este ite existir temos A = A = H P. P Observe que H = r e = πr = πr. Portato A = H P = r πr = πr A = πr.

7 7 Defiamos uma ova uidade de medida, o radiao, tal que πradiaos πrad 360. Portato πrad =. Esta ova uidade de medida é mais coveiete para o estudo da aálise que o grau. Para ecotrar o comprimeto de um arco da circuferêcia com o âgulo α em radiaos basta multiplicar α por r. Isto surgge do fato de o comprimeto do arco ser proporcioal ao âgulo. set Corolário 0.3 Sedo t medido em radiao tem-se Demostração: Se 0 < t < 1 etão N tal que 0 < π + 1 < t < π π ( π 0 < se < set < se + 1 ) e Logo Sedo e pois π se + 1 π > 1 t > π π < 1 t < + 1 π. π π se < set + 1 t π = π + 1 < + 1 ( π ) π se. ( + 1)se π + 1 = 1 π 1 π = π seπ = 1 π + 1 seπ = 1 π 1 π = 1, seπ = se = 1 e + 1 Etão pelo teorema do cofroto temos set t

8 8 Mas t 0 +. Logo set t Se t 0 tomemos u = t. Etão set t 0 t = u 0 + se( u) u = t 0 + set t = u 0 + seu u Portato pelo teorema dos ites laterais temos set = u 0 + seu u