INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP

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1 Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros de Eisestei.. INTEIROS DE GAUSS Defiimos o cojuto =[i] dos iteiros de Gauss como =[i] = {a + bi a, b =}, ode (i = ). A seguir veremos as duas coisas mais importates de sua aritmética, o teorema da fatoração úica e os primos.. Norma Vamos defiir uma fução N: =[i] = + chamada orma, tal que z =[i], N(z) = z z sedo z o cojugado complexo de z. Observe que como ab = a b, etão N ( a) N( = aa bb = a b a b = ab ab = N ( a, ou seja, a orma é multiplicativa... Uidades As uidades em =[i], aalogamete a =, são todos os elemetos z =[i] que possuem iverso, ou seja, que z ' = [ i] tal que z z'=. Segue que se z = a + bi é uma uidade, etão = N( z z' ) = N( z) N( z' ) N( z) = a + b = a = ±, b = 0 ou a = 0, b = ± = = ± ou = = ± i, e como esses quatro tem iverso, todas as uidades são ± e ± i. Observe etão que x =[i] é uidade N( x) =... Divisibilidade Dizemos que para a, b =[i], a b (lê-se a divide se c =[i] tal que b = ac..4. Divisão Euclidiaa Vamos ver como fucioa a divisão euclidiaa. A divisão Euclidiaa é a existêcia de q, r = [ i], a, b = [ i], b 0 tal que a = bq + r, sedo 0 N ( r) < N(. Para demostrá-la, basta dividir: a = x + yi, b = z + wi, ode x, y, z, w =.

2 a x + yi x + yi z wi xz xwi + yzi ywi xz + yw yz xw = = = + i b z + wi z + wi z wi z + w z + w z + w xz + yw yz xw Tomamos m e como os iteiros mais próximos de e, z + w z + w xz + yw yz xw respectivamete. Note que m, Se q = (m + i), z + w z + w etão: a yz xw yz xw r = a bq = b q = b m + i b z + w z + w N( N ( r) N( + = < N(.5. Lema de Euclides A partir da divisão euclidiaa podemos demostrar o lema de Euclides, ou seja, se p é um primo de Gauss (ou seja, ão pode ser escrito como o produto de dois iteiros de Gauss cujas ormas são maiores que ), etão sedo a, b =[i], p ab p a ou p b. Para demostrá-lo, vamos fazer sucessivas divisões euclidiaas, sedo a 0 = a e a = p. Seja a k + o resto da divisão euclidiaa de a k por a k+. Temos etão as divisões: a = q a + a a a 0 = q = q a a a = q a a = q a Observe que como a k 0 N( ak + ) < N( ak ), podemos tomar tal que N(a +) = 0, ou seja, a + = 0. Logo a a. Observe que a a k + e a ak a ak. Logo a a e a a, etão idutivamete, a ak, k 0 k, particularmete a a0 = a e a a = p. Tomado as j + primeiras equações e realizado substituições adequadas, temos que a j = x j a + y j a 0 = x j p +y j a; particularmete a = x p y a. + + a + a + a 4 + a +

3 Voltado ao lema, veja que se p a etão o lema está certo. Se p ão divide a, etão, como a p, a a e a = x p + y a, etão a {; ; i; i} e temos: a = x p + ya b = a demostração. ( px b + aby ) p b, pois p ab, o que coclui a.6. Fatoração úica A fatoração úica é uma das propriedades mais usadas em problemas evolvedo úmeros iteiros. Vamos prová-la para os iteiros de Gauss. Primeiramete provaremos que todo iteiro z de Gauss com orma maior que pode ser escrito como o produto de um ou mais primos de Gauss. Se N(z) =, como é primo e a orma é multiplicativa, etão z é primo, portato está provado. Cosidere N(z) >. Se z é primo a fatoração é imediata. Se z ão é primo, etão z = a b N(z) = N(a) N(, ode N(a), N( >, portato N(a), N( < N(z). Podemos supor, por idução, que se N(x) < N(z), etão x é fatorável. Logo a e b são fatoráveis, e portato z. Para provar que esta fatoração é uica, basta cosiderar as duas fatorações p p p e q q q m. Supoha, por idução, que p p p = εq q q m, sedo ε uma uidade, implica que a seqüêcia (p i ) é uma permutação (a meos que sejam multiplicações por uidades) da (q i ). Se max{; m} =, etão o resultado é imediato. Supodo que ele vale se max{'; m'}< max{; m}, pelo lema de Euclides, vemos que para algum i, p q i. Sem perda de geeralidade, i = m. Como p e q m são primos, etão q m = ε'p, ode ε' é uma uidade. Logo p p p = εq q q m p p p = εε ' qq... q m. Por idução, p, p,...,p - é uma permutação (a meos que sejam multiplicações por uidades) de q, q,, q m, portato a fatoração úica está provada..7. Números primos Vamos agora ver quem são os úmeros primos em Z[i]. Observe que se N(π) é primo em =, etão π é um primo de Gauss (pois se π fatora etão N(π) fatora). Observe que todo primo π divide N(π), portato ele deve dividir ao meos um fator primo em = de N(π). Se π dividir ao meos dois úmeros distitos (absolutamete) x e y primos em =, como sempre é possível tomar a, b = tal que ax + by =, teríamos π, um absurdo. Logo todo primo de Gauss divide exatamete um primo iteiro positivo (e seu oposto egativo) em =. Seja esse primo iteiro positivo p. Temos três casos: Se p é par, etão p =. Sedo π = a + bi, etão a + b = π = ± ± i, e obtemos os quatro primos + i, i, + i e i. Observe que eles são dois a dois um a multiplicação por uma uidade do outro.

4 Se p (mód. 4), como x = x 0 ou (mód. 4), etão, se existisse π = c + di, c, d Z, < N(π) < p tal que p = πϕ, é facil ver que, como p é um primo iteiro ϕ = c di, logo p = c + d 0, ou (mod.4), absurdo, pois p = 4k +. Logo p é um primo de Gauss. Se p (mód. 4), etão, sedo x = ( p )/, etão: ( p ) ( p ) x ( p ) ( p + ) ( p ) ( p ) ( p ) ( mód. p) Logo p x + = ( x + i)( x i). Como π é um primo de Gauss que divide p, etão π Z, π x + i ou π x i π, absurdo. Portato π =[i] tal que p = πϕ. Seja π = a + bi e ϕ = c + di, a, b, c, d Z. Como p é primo em z, etão mdc(a; = mdc(c;d) =. Temos p = (a + bi)(c + di) = ac bd + (bc + ad)i. Como p Z, etão bc = ad (a = c e b = d) ou (a = c e b = d) ϕ = ± π. Como p > 0, etão ϕ = π N ( π ) = p, logo π é primo (e π e seu cojugado são úicos primos de Gauss que dividem p). Portato vimos que os úmeros primos em =[i] são: () O primo + i e seus produtos pelas uidades. () Os primos p em = tal que p (mod. 4) e seus produtos pelas uidades. () Para cada primo p em = + tal que p (mod. 4), os primos a + bi, a bi e seus produtos pelas uidades, sedo a + b = p..8. Teras pitágoricas Agora que já vimos a aritmética básica dos iteiros de Gauss, vamos começar com um resultado simples e iteressate. Vamos achar as soluções da equação a + b = c, sedo a, b, c =. Seja m = mdc(a;, = a/m e b' = b/m. Temos etão m (a + b ) = c m c. Seja etão c' = c/m, temos = c', mdc(;b';c') =. Note que = c' (i)( b'i) = c'. Observe que se d = mdc( i; b'i), etão d e d b' d. Se d ão divide, etão d e b' são ímpares, o que é um absurdo, basta ver cogruêcia módulo 4. Portato d + b'i e i são primos etre si, logo ambos são quadrados perfeitos. Observe também que quaisquer e b' primos etre si tais que i e b'i são quadrados perfeitos são soluções da equação. Portato e b' formam uma solução se e somete se existem x, y, z, w = tal que:

5 ' i = ( x + yi) a i = ( x + yi) b' i = ( z + wi) i = ( x + yi) b' i = ( x yi) = x y b' = xy Veja etão que e b' são primos etre si se e só se x e y são primos etre si. Logo as soluções são a = (x y ) d, b = xy d, ou vice-versa, e coseqüetemete c = (x + y ) d, para x, y, d =, sedo x e y primos etre si..9. O úmero de represetações de um iteiro como a soma de dois quadrados Provaremos agora o seguite Teorema. Dado, o úmero de pares a, b = tais que = a + b é igual a quatro vezes a difereça etre o úmero de divisores da forma 4k + de e o úmero de divisores da forma 4k + de. Podemos expressar da forma: α α αk β β βm β m = p... pk q ( q i )... qm ( q m ) Sedo p i primos de Gauss iteiros (da forma 4k + ) e os pares de cojugados q i q i primos de Gauss (N(q i ) da forma 4k + ) e esses primos diferem dois a dois por mais do que uma multiplicação por uma uidade. Sedo = a + b = (a + bi)(a bi), etão, pelo teorema da fatoração úica e a multiplicidade do cojugado, temos: α α k γ α β γ γ m β m γ m a + bi = ε( + i) p... pk q ( q)... qm ( q m ), ode 0 γ i β i e ε é uma uidade. Portato o úmero de represetações de m como a soma de dois quadrados será 0 se algum α i for ímpar e será 4(β + ) (β m + ) se todos α i forem pares, sedo o fator 4 pois há 4 escolhas possíveis para a uidade. Observe agora que a fatoração de em primos iteiros será: α α α k β βm = p... pk N( q )... N( q m ) Ode p i serão primos da forma 4k + e N(q i ) serão primos da forma 4k +. Observe agora que um divisor ímpar de será da forma: a ak b b d = p... p ( )... ( ) m k N q N qm, ode a α,..., ak α k, b β,..., bm β m Note que se a + + a k é par, etão d é da forma 4k +, se for ímpar é da forma 4k +. Portato, coseguimos verificar que se algum α i for ímpar, o úmero de d s da forma 4k + será igual ao úmero de d s da forma 4k +, e se todos os α i forem pares, a difereça etre esses úmeros será (β + ) (β m + ), o que termia a demostração do teorema.

6 .0. Problemas Problema. Determie todos os pares x, y = tal que y = x + Problema. Sejam x, y, z tais que xy = z +. Prove que existem iteiros a, b, c, d tais que x = a + b, y = c + d e z = ac + bd. Problema. Prove que existem duas seqüêcias iteiras (a ) e (b ) ifiitas e estritamete crescetes tais que a k (a k + ) divide b para todo atural k.. INTEIROS DE EISENSTEIN Vamos agora ver os Iteiros de Eisestei. Defiimos o cojuto =[ω] dos iteiros de Eisestei como =[ω] = {a + bω a, b =}, sedo i ω = + k +, dode ω + ω + = 0. Para ζ = a + bω =[ω] defiiremos a orma como N(ζ) = ζ ζ = a ab + b. Observe que essa orma segue as mesmas propriedades da orma dos iteiros de Gauss (é iteira ão egativa e multiplicativa)... Uidades As uidades em =[ω] são defiidas como os seus elemetos que possuem iverso, ou seja u, tal que u tal que u u = N(u) = u = ±, ±ω, ±( + ω), e verificamos que esses quatro úmeros tem iverso, portato u é uidade se, e só se N(u) =. Obs. Note que ± ( + ω ) = ± ω... Divisão Euclidiaa Para provar a existêcia de divisão Euclidiaa etre a, b =[ω], b 0. Sejam α e a β tais que: =α + βω b Tomado q = c + dω, tais que c e d são respectivamete os iteiros mais próximos de α e β. Portato: r = a bq = b( α + βω q) N( r) = = N( (( α c) ( α c)( β d) + ( β d) ) N( + + < N( Portato existe a divisão Euclidiaa.

7 .. Teorema da fatoração Úica Note que, para os iteiros de Gauss, provamos o lema de Euclides e a fatoração úica, usado somete o fato de que existe divisão Euclidiaa, portato, seguido os mesmos passos para provar o lema de Euclides e a fatoração úica, provaremos a fatoração úica para os iteiros de Eisestei..4. Primos Tudo é muito parecido com os iteiros de Gauss: N(π) é primo em = π é primo em =[ω]; todo primo π em =[ω] divide exatamete um primo iteiro positivo. A demostração desses dois fatos é exatamete igual que foi dada a seção de iteiros de Gauss. Seja p o iteiro positivo primo que o primo, π em Z[ω] divide. Temos três casos: Se p é da forma k, etão p =, e obtemos π = ±( ω) ou ±( + ω). Se p é da forma k +, como a ab + b só é da forma k ou k + (verifique você mesmo), etão p é um primo de em Z[ω] tal que N(π) = p. Se p é da forma k +, pela lei da reprocidade quadrática*: p = ( ) p p = = p Portato existe x iteiro tal que p ( x ) + = x x + = ( x ω )( x ω ), e como p ão divide, etão p ão é primo em Z[ω] e existem π e ψ tal que πψ = p. Como p é um primo iteiro, etão ψ = π, logo π e π = ψ são primos em =[ω] e π π = p. Portato os primos em =[ω] são: () O primo ω e suas multiplicações por uidades. () Os primos iteiros da forma k + e seus produtos pelas uidades, que também são primos em =[ω]. () Para todo primo iteiro p da forma k +, os primos π e π tal que ππ = p e seus produtos pelas uidades são primos em =[ω]. *A lei de reciprocidade quadrática de Gauss diz o seguite: dados a = e p = primo que ão divide a, defiimos a, se a é resíduo quadrático mod. p. = Para p, q = primos ímpares com p 0, caso cotrário. p q p > 0 vale sempre p q = ( ). q p

8 .5. Exemplo * Ache todos os a, b, c = + lados de um triâgulo com um âgulo de 60 o. Vamos supor, sem perda de geeralidade, que o âgulo de 60 o é etre os lados de medidas a e b. Pela lei dos co-seos, temos: c = a + b ab cos(60 ) = a + b ab = ( a + bω)( a bω) Observe a semelhaça deste problema com o das teras pitagóricas. Seja m = mdc(a;, a = m, b = b'm. Segue que m c m c, e teremos c = c'm. Logo c = a + b ab c' = b ', e temos mdc(; b'; c') =. Seja d tal que d ω e d b' ω. Segue que d e d b', logo d. Se d ão divide, etão d b' e b ', absurdo, logo d, e portato: = x y ω = ( x + yω) = x y + (xy y ) ω b' = xy y Portato as soluções são a = ( x y ) m, b = (xy y ) m e c = ( x xy + y ) m, para todo x, y, m = + com x > y, e as permutações de a, b e c. Outro bom exemplo de aplicação dos iteiros de Eisestei é o problema 6 da IMO de 00: Sejam a, b, c, d iteiros com a > b > c > d > 0. Cosidere que ac + bd = ( b + d + a c)( b + d a + c) Prove que ab + cd ão é primo. Primeiramete vamos mostrar por que usar iteiros de Eisestei: ac + bd = ( b + d + a c)( b + d a + c) ac + bd = b b + bd + d + bd ab+ bc+ bd + d = a ac+ c ad + cd + ab+ ad a + ac bc cd + ac c Aí vemos por que usar iteiros de Eisestei. ( b dω)( b dω ) = ( a + cω)( a + cω ) Observe que como a, b, c >, etão mdc(b; d) > ab + cd ão é primo, logo podemos supor que b e d são primos etre si. Aalogamete supomos que mdc(a; c) = mdc(a; d) = mdc(b; c) =.

9 Seja π um primo em = [ω ] tal que π b dω. Vamos provar que π ão divide a + cω π ão divide a + cω, e segue que b dω a + cω. Supoha etão que π a + cω. Veja que N ( π ) ( b dω)( a + cω), e temos ( b dω )( a + cω) = ab + cd + ( bc + cd ad) ω Como N( π ) =, e N ( π ) ( b dω)( a + cω), etão N (π ) ab + cd e, supodo ab + cd primo, teríamos ab + cd = N(π ). Mas esse caso segue que k k b dω = επ b dω = ε π a + cω = ε ' π, sedo ε e ε ' uidades. Se µ = ε ' / ε, etão b + d + dω = b dω = µ ( a + cω). Cosiderado o fato de mdc(b; d) = mdc(a; c) = mdc(b; c) = e que a > b > c > d > 0, temos que isto é um absurdo (a verificação fica para o leitor, basta cosiderar as 6 possibilidades para µ ). Logo b dω a + cω, e aalogamete a + cω b dω. Portato b dω = υ( a + cω), ode υ é uma uidade. Novamete, basta verificar todas as possibilidades para υ e verificar que isto é um absurdo. Portato ab + cd ão é primo..6. Problemas Deixamos aqui mais algus problemas para o leitor: Problema. (a) Prove que, para cada iteiro, o úmero de soluções iteiras de x xy + y = é fiito e divisível por 6. ( Determie todas as soluções iteiras de x xy + y = 77. Problema. Mostre que a equação diofatia x + y + z = 0 só tem soluções triviais, ou seja, tais que xyz = 0. Problema. Prove que se é um iteiro positivo tal que a equação x xy + y = tem soluções em iteiros (x; y), etão ela tem pelo meos três soluções. k