Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 28 de Junho de 2012 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

Transcrição

1 Versão A Acesso de Maiores de 3 aos Prova escrita de Matemática 8 de Jho de 0 Dração da prova: 50 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Primeira Parte As oito qestões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada ma delas são idicadas qatro alterativas, das qais só ma está correta. Escreva a folha de resposta a letra correspodete à alterativa qe seleccioar para respoder a cada qestão. Se apresetar mais do qe ma resposta, a qestão será alada, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Não apresete cálclos.. No laçameto de dois dados qal é a probabilidade da soma dos potos ser 0? A) 8 B) 36 C) D) Seja Ω o espaço de resltados associado a ma determiada eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe: - A e B são acotecimetos idepedetes - P (A) = 0. - P (B) = 0. Qal o valor de P (A B)? A) 0.8 B) 0.9 C) 0.3 D) Cosidere dez potos do plao escolhidos de forma qe ão haja, etre os dez potos, três qe sejam colieares. Qatos triâglos diferetes podemos defiir com estes potos? A) 70 B) 30 C) 7 D) 0 4. Cosidere a fção real, de variável real, defiida por ϕ() = se(cos()). A epressão de ϕ () é igal a A) cos(cos()) B) se() cos(cos()) C) (cos()) D) se() (cos())

2 5. A figra represeta parte do gráfico de ma fção f, real de variável real. f e f são, respetivamete, a primeira e a segda derivada de f. Qal das segites afirmações pode ser verdadeira? A) f (a) f (b) > 0 B) f (a) f (c) < 0 C) f (a) f (b) < 0 D) f (b) f (c) < 0 6. Cosidere as scessões de úmeros reais defiidas por = ( ), v = Qal dos segites úmeros é igal a lim( v )? A) 3 B) 3 e C) 0 D) 3e 7. Na figra estão represetadas, o plao compleo, as images geométricas de cico úmeros compleos: w, z, z, z 3 e z 4. Qal o úmero compleo qe pode ser igal a w i? A) z B) z C) z 3 D) z 4 ( π ) 8. Se z = i e z = cis, etão z z é igal a: 4 A) B) cis ( ) 3π 4 C) i D) cis ( ) 3π

3 Segda Parte Nas qestões desta segda parte, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. 9. Cosidere os úmeros compleos z = + i e z = 4 + 8i. + i a) Resolva a eqação z 3 = z 3 + z, sem recorrer à calcladora. Apresete os resltados a forma trigoométrica. b) Calcle z + z. 0. Uma aposta simples do cocrso Eromilhões cosiste em iscrever cico úmeros do cojto N = {,,..., 50} e das estrelas do cojto E = {,,..., } m boletim de apostas. Em cada cocrso são sorteados cico úmeros do cojto N e das estrelas do cojto E, gahado o o Prémio qalqer aposta qe coteha estes úmeros e estas estrelas. Qal a probabilidade de m apostador gahar m o Prémio com ma aposta simples?. Cosideremos o cojto P = {A, B, C, D, E, F }. Formamos seqêcias com todas as letras do cojto P, sem repetições. Qatas destas seqêcias diferetes podemos formar qe têm: a) a letra A em primeiro lgar? b) a letra A em primeiro lgar o a letra F em último? c) as letras A, B jtas em qalqer ordem? d) a letra E em qalqer lgar eceto o último?. Seja a R. Cosidere a fção real de variável real defiida por cos( + a), se < 0 f() = + l( + ), se 0. a) Determie a de modo qe f seja cotía em = 0. b) Determie a eqação redzida da reta tagete ao gráfico da fção f o poto de abcissa =. 3. Cosidere a fção real de variável real defiida por g() = 3 e. a) Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, mostre qe g tem pelo meos m zero pertecete ao itervalo ]0, [. b) Mostre qe qe g tem m úico zero em R. c) Determie as assítotas de g.

4 4. O qadrilátero ] [ABCD] da figra é m trapézio isósceles, sedo AB = AD = CD = e α 0, π ] a) Mostre qe BC = + cos(α). b) Nas codições da figra, etre qe valores poderá variar BC? ] c) Mostre qe para cada α 0, π ], a área do trapézio é igal a se(α) + se( α). A D B C 5. Um objeto é laçado ao ar, a partir do solo. A fção h(t) = 4 t t represeta a altra (medida em metros) a qe o objeto se ecotra o istate t (medido em segdos). Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, calcle a) a altra máima qe o objeto atige; b) o istate t > 0 em qe o objeto atige ovamete o solo.

5 Cotações Primeira parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada qestão ão respodida o alada Segda parte a) b) a) b) c) d) a) b) a) b) c) a) b) c) a) b) Total

6 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 3 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 3 α r tg a + tg b tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., } Probabilidades µ = p + + p lim + = e se lim = 0 l( + ) lim = 0 l lim = 0 + lim + e lim = 0 e p σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 635.V Págia 4/