Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres-
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- Gabriella Azeredo Belo
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1 MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Geométrica I) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Progressão Geométrica é uma sequêcia de elemetos (a, a 2, a 3,..., a,...) tais que, a partir do se- gudo, o quociete etre um elemeto qualquer e seu atecedete seja uma costate q, que será chamada razão da Progressão. Em liguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequêcia (a, a 2, a 3,..., a,...) é uma Progres- a2 a3 a4 a a são Geométrica de razão q, etão q. a a a a a EXEMPLOS : ) A sequêcia ( 2, 6, 8, 54,... ) é uma P.G. ifiita com q = ; ) A sequêcia ( 4, 4, 4, 4, 4, 4 ) é uma P.G. fiita com 6 elemetos e q = 4 4 ; 3) A sequêcia ( 8, 4, 2, 2,... ) é uma P.G. ifiita ode q = ; ) A sequêcia ( 2, -6, 8, -54, 62 ) é uma Progressão Geométrica fiita com 5 elemetos e razão q = ; ) A sequêcia ( 4, -4, 4, -4) é uma P.G. fiita com 4 elemetos e q = ; ) A sequêcia ( -8, 4, -2,,... ) é uma P.G. ifiita cuja razão é q = - /2; 7) A sequêcia ( -3, -3, -3,... ) é uma P.G. ifiita de razão igual a ; 8) A sequecia ( -2, -6, -8,... ) e uma P.G. ifiita com q = 3. 9) A sequecia ( -2; -; -0,5;... ) e P.G. ifiita com q = 0,5 IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo
2 II) CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. Classificamos uma P.G. levado em cosideração a sua razão e, em algus casos, seu primeiro termo. Assim temos os seguites casos : Se a P.G. possuir : ) a > 0 e q >, como o primeiro exemplo, ela será crescete ; 2) a < 0 e q >, como o oitavo exemplo, ela sera decrescete: 2) q =, como o segudo e o sétimo exemplos, ela será costate ou estacioária ; 3) a > 0 e 0 < q <, como o terceiro exemplo, ela será decrescete ; 4) q < -, como o exemplo º 4, ela será oscilate e divergete ; 5) q = -, como o exemplo 5, ela será oscilate ; 6) - < q < 0, como o sexto exemplo, teremos uma progressão oscilate e covergete; 7) a < 0, e 0 < q <, como o exemplo 9, teremos uma P.G. crescete. OBSERVAÇÃO : Como já sabíamos, ão há ehum caso de P.G. com razão ula. EXEMPLOS : ) Obteha o valor de x de modo que a sequêcia ( x-, 2x, 5x+6) seja uma P.G. Resolução : Se aplicarmos a defiição de P.G. a sequêcia dada, poderemos escrever a seguite seteça : 2x = 5x + 6. Esta proporção os remete à equação x 2 + x 6 = 0 cujas raízes são as sex 2x guites : x = -3, e obteremos a P.G.:(-4, -6, -9), ou x 2 = 2, e teremos a P.G.: (, 4, 6). 2) Mote a P.G. de 3 elemetos tais que sua soma é 42 e seu produto, 52. Resolução : Seja a P.G.: ( a, b, c ). De acordo com os dados do problema, seus elemetos podem for- mar as seguites equações : a + b + c = 42, e a. b. c = 52. A seguda equação que acabamos de escrever, os permite afirmar que vem que b.b.b = 52, ou aida : b 3 = 52, logo b = 8. b. b. bq = 52, de oq IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 2
3 A primeira equação os diz que a + b + c = 42, logo, que podemos trasformar a seguite equaçao de 2º grau:, cujos valores da icogita podemos calcular, pa- ra obtermos : = 4 e temos a P.G.: (2, 8, 32) crescete, ou = e a P.G.: ( 32, 8, 2 ) decrescete. EXERCICIOS: ) Escreva a P.G. costate de quatro termos, se o produto de todos eles se iguala a ) Numa P.G., o segudo elemeto e a razao se igualam. Mote-a, se a soma de seus 3 elemetos e 57. 3) O produto dos 5 termos de uma P.G. e 729. Obteha o produto dos seus extremos. 4) Ache o valor de x, sabedo que a sequecia ( x -, x + 8, x + 44 ) e uma P.G. 5) Ache o umero que, se for somado a 4, 8 e 3 esta ordem, determiara uma P.G. Mote a P.G. Resp.: ( ) ( 6, 6, 6, 6) e (-6, -6, -6, -6) ; 2) (, 7, 49) e (, -8, 64) ; 3) 9 ; 4) 4 ; 5) 3 e P.G. : ( 4, 8, 6). ) III) PROPRIEDADE Dados 3 termos cosecutivos de uma P.G., o modulo do termo cetral sera a Media Geometrica dos outros dois. Demostraçao : Seja a P.G.: (..., a p-, a p, a p+,... ). Coforme a defiiçao de P.G. podemos escre- a p a p- ver : =. Se multiplicarmos em cruz os elemetos desta proporçao poderemos ter : a p- a p = a p-. a p+. Logo, a p =. Portato, = ( c.q.d.) OBSERVAÇAO : Esta propriedade deixa claro o motivo de as P.Gs. terem o ome que ostetam. TERMO GERAL DE UMA PROGRESSAO GEOMETRICA Aalogamete ao que fizemos com as P.As., desevolveremos a seguir uma forma de obtermos qual- IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 3
4 quer termo da P.G. da qual cohecemos a razão, a ordem do termo procurado e o primeiro termo. Assim, seja a P.G.: (a, a 2, a 3,..., a -, a,...). De acordo com a defiiçao de P.G., podemos escrever: a = a a 2 = a. q a 3 = a 2. q a - = a -2. q a = a -. q Se multiplicarmos membro a membro estas igualdades, teremos : a. a 2. a a -. a = a. a.q. a 2.q. a 3.q.....a -2.q. a -.q. Simplifiquemos a igualdade, e etão ficaremos com : a = a. q - ; que vem a ser a fórmula do termo geral da P.G. EXEMPLOS: ) Calcule o oitavo termo da P.G. de primeiro termo 4 e razão 3. Resoluçao : Pelo euciado, procuramos a 8 e sabemos que a = 4 e q = 3. Logo, pela formula do termo geral, a = a. q -, teremos : a 8 = = = = ) Obteha o primeiro termo da P.G. ode o 0º termo e 6 e a razão, 2. Resoluçao : Sabemos que esta P.G., a 0 = 6 e q = 2. Procuramos a. Com a mesma formula etao, a = a.q -, escreveremos : 6 = a.2 0-, logo, 6 = a.2 9, e 6 = a.52. Portato : a = ) Ache a razão da P.G. valor 4 para o primeiro elemeto e 024 para o quito. Resoluçao : Nesta progressão, a = 4, a 5 = 024 e queremos o valor de q. Novamete, se utilizarmos IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 4
5 o termo geral, teremos : 024 = 4. q 5-. Etão q 4 = Portato : q = ±. OBSERVAÇAO : Como q = ± 4, surgem duas P.Gs.: Se q = 4 : P.G.: (4, 6, 64, 256, 024) que é crescete, e, se q = -4, P.G.: (4, -6, 64, -256, 024) que é oscilate divergete. 4) Quatos termos tem a P.G. fiita : ( 6, 8,..., 322 )? Resoluçao : De acordo com a defiiçao de P.G., q = 8/6 = 3, e se utilizarmos a formula do termo geral, escreveremos : 322 = que e uma equaçao expoecial. Etao, 3 - = 287, portato 3 - = 3 7, e cocluiremos que - = 7, logo a quatidade de termos desta P.G. e = 8. 5) Iterpole 6 termos geometricos etre os umeros e 5. Resolução : Do mesmo modo que as iterpolaçoes aritmeticas, se desejamos iterpolar 6 termos etre outros dois, etao a P.G. possuira 8 termos. Etao, a formula que estamos estudado represetara os- 5 so problema da seguite maeira : -5 = q 8-, e assim, q 7 = = -. Podemos agora calcular o valor de q : q =. A progressão que desejamos será etão: P.G.: ( -0935, 3645, -25, 405, -35, 45, -5, 5 ) EXERCÍCIOS: ) Uma P.G. possui primeiro membro igual a -3. Calcule seu : a) sétimo elemeto, se sua razão é 4; b) oitavo elemeto, se sua razão é -/3 ; c) úmero de elemetos, se o último é -243 e a razão é 3; 2) O produto de 3 úmeros em P.G. é 728 e a difereça etre o maior e o meor é 32. Mote a P.G.; IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 5
6 3) Iterpole 6 termos geométricos etre -5 e 640 ; 4) Ache a razão da P.G. de quatro elemetos cuja soma dos extremos é 325 e a dos cetrais é 00. Resp.: ( a ) -2288; b) /729 ; c) 5 ; 2) (4, 2, 36) ou ( -36, 2, -4) ; 3) (0, -20, 40,-80, 60, -320 ) ; 4) ¼ ou 4. ) IV) PROPRIEDADE Numa P.G. fiita, o produto de dois termos eqüidistates dos extremos é igual ao produto dos extremos. Demostração : Seja a P.G.: ( a, a 2,..., a p,..., a s,..., a -, a ) ode a p e a s são dois termos equidistates dos extremos a e a. Assim, surgem a P.G. duas outras PGs. fiitas com p elemetos : P.G : (a, a 2,..., a p-, a p ) e P.G2 : ( a s, a q+,..., a -, a ). Se aplicarmos a fórmula do termo geral estas duas progressões com razão q, poderemos escrever : P.G : a p = a. q p- Se dividirmos membro a membro estas duas equações, ficaremos com : P.G 2.: a = a s. q p- a a p a a, de ode obteremos : a p. a s = a. a. cqd s V) PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja a P.G. fiita : ( a, a 2,..., a p,..., a s,..., a -, a ), ode são equidistates dos extremos os elemetos a p e a s., e assim, o produto destes elemetos será : P = a. a 2. a a p..... a s..... a -2. a -. a. - Esta última igualdade pode ser assim escrita: P = a. a -. a a s....a p a 3. a 2. a. - Multipliquemos membro a membro estas seteças: P.P = (a.a ). (a 2.a - ). (a 3.a -2 ).....(a p.a s ).....(a s.a p ).....(a -2.a 3 ).(a -.a 2 ).(a.a ) IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 6
7 Os parêteses evolvem produtos de termos equidistates dos extremos da P.G. Etão, coforme a propriedade demostrada, teremos : 2 P = (a.a ). (a.a )..... (a.a ).....(a.a )....(a.a ). (a.a ). 2 Logo, P = (a.a ), e daí : P = ± ( aa. ), ode o sial ± será positivo se o úmero de termos egativos for par e egativo caso seja ímpar. EXEMPLOS : ) Obteha o produto dos 0 primeiros elemetos da P.G. : ( -2, 6,...) 6 Resolução : Nesta P.G., q = , portato, a a 0. q 2.( 3) 2.( 9683) O produto de 0 primeiros termos será egativo, pois o úmero de elemetos egativos é 5. Etão, escrevemos: P0 ( ) OBSERVAÇÃO: Afial, porque o produto desta questão ficou egativo? Ora, muito fácil: É que de- tro dos 0 termos da P.G. há 5 elemetos egativos cujo produto aturalmete é egativo. 2) Calcule o produto dos 25 primeiros elemetos da P.G.:(-3, -6, -2,...) Resolução : A razão desta progressão é : q = 6 2 3, etão 24 a25 3.2, e o produto dos 25 ele- metos será : P25 ( 3).( 3.2 ) ( 3).( 2) 3.2 (O produto é egativo pois há a progressão 25 termos egativos). IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 7
8 EXERCÍCIOS: ) Calcule o produto dos 0 primeiros elemetos da P.G.: a) (-,, -,...) ; b) (, -,,... ) ; c) ( -, -, -,... ) ; d) (,,,... ) Resp.: ( a) - ; b) ; c) - ; d) ). 2) Multiplique os 8 primeiros termos da progressão geométrica : a) (, 5,...) 5 ; b) ( 0,5, 0,25,... ) ; c) ( - 3, -2,... ) ; d) ( m,,...) m m Resp.: ( 2a) 6625 ; 2b) 256 ; 2c) -2.( + 3) 6 ; 2d) m m 8.) VI) SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja a P.G. com elemetos : ( a, a2, a3,..., a2, a, a). Se somarmos seus membros, escreveremos : S a a a... a a a. (). Multipliquemos por q os dois membros de () : q.s q.( a a2 a3... a2 a a) ou aida, se distribuirmos q pelo 2º membro : q. S q. a q. a q. a... q. a q. a q. a (2). Se efetuarmos a operação (2)-(), ficaremos com : q. S S qa a qa2 a2 qa3 a3... qa2 a2 qa a qa a. qa a, qa a,..., qa a, e assim por diate. Etão a difereça (2) - () que estamos Como calculado se trasformará em : q.s S a a a a a a... a a a a a a a q. a Percebemos etão que : S ( q ) q. a a = q. a. q a a q a a ( q ). Portato, a Soma dos primeiros IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 8
9 a.( q ) termos da Progressão Geométrica será : S q EXEMPLOS: ) Calcule a soma dos 6 primeiros elemetos da P.G.: ( 3, 5,... ) Resolução : 5 5 q S [( ) ] = ( ) ) Quatos elemetos possui a P.G.: (4, 8,... ) para que a soma de seus elemetos seja 4092? Resolução : 8 4.(2 ) q 2 S 4.(2 ) Logo, , que é uma equação expoecial cuja solução se resu- me em fatorar os seus dois membros. Assim, teremos: EXERCÍCIOS: ) Obteha a soma dos 8 primeiros termos da P.G.: a) (,,,...) 3 9 ; b) (, -4, 6,... ) ; c) ( -, -3, -9,... ) ; d) ( 2, 4 3,... ) 2) Quatos elemetos deve possuir a P.G. cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é 5 para que a soma dos seus termos seja igual a 782? 3) Obteha o quito elemeto da P.G. de elemetos, sabedo que a soma de seus 0 primeiros elemetos é 3069 e que a soma dos 0 últimos é 638. Resp.: ( a) ; b) 307 ; c) 3280 ; d) ; 2) 6 ; 3 ) 48 ) LIMITE DA SOMA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 9
10 Pesemos agora da seguite P.G. : (,,,,...). Se calcularmos as somas de seus elemetos cofor me aumetamos o úmero desses elemetos, poderemos verificar que : Se =, etão S 3 Se = 2, etão S2 =, Se = 3, etão S3, Se = 4, etão S4, Se = 5, etão S5, E assim por diate. Vemos etão que, por mais que calculemos estas somas, os seus resultados irão se aproximar do úme- ro 2, sem uca chegar realmete a 2. Dizemos assim que o limite da Soma S quado cresce cada vez mais, é 2. Este fato é represetado algebricamete por lim S e damos a esta expressão o símbolo S. Devemos ler S = lim S deste modo : S é o limite de S, quado tede ao ifiito. Como observação ao que estamos mostrado, é importate percebermos que o limite de uma P.G. só é um úmero real, se a razão q da P.G. ão for ula e estiver colocada etre os úmeros - e +, e for dife- rete de zero. Obtehamos agora a expressão que os dá o limite da Soma da P.G. ifiita e cuja razão esteja etre - e, e ão seja ula : Assim, seja a P.G.: ( a, a 2, a 3,...) as codições expostas ateriormete. Como já é de osso coheci- a.( q ) meto, se esta P.G. fosse fiita a Soma de seus elemetos seria dada por S q. Como ela é i- IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 0
11 fiita, devemos calcular S, limite da Soma quado se tora cada vez maior. Isto é : a ( q ) a a S lims lim q q q OBSERVAÇÃO : É importate lembrar que, quado tede ao ifiito, a potêcia vez que a razão "q" é um úmero real diferete de zero e etre - e. q tede a zero, uma EXEMPLOS: ) Obteha a soma dos elemetos da P.G.: ( 2,, 2,...) Resolução : Como esta P.G. é ifiita e sua razão q = 2 se ecotra etre - e, e é diferete de zero, podemos calcular o limite S da soma de seus elemetos : a 2 2 S = 4 q 2 2 2) Ache a soma dos elemetos da sequêcia : ( 5 5 5,,,...) Resolução : Esta sequêcia é uma P.G. de razão q = , diferete de zero e etre - e Etão, sua soma será S = ) Ache a fração geratriz da dízima periódica 2, Resolução : Esta dízima periódica é um úmero racioal que pode ser escrito coforme a seguite se- IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo
12 teça : 2, = 2, , , , ode 2,4 é sua par- te ão periódica e o restate é a parte periódica, e podemos escrevê-la como uma P.G.. Ou seja : 2, = Etão, 2, = 24 S, ode S é a soma da PG apresetada ; Calculado S, teremos? a S = q = Assim, a fração geratriz solicitada será G = S EXERCÍCIOS: ) Obteha o limite da soma das seguites Progressões Geométricas : 5 3 a) ( ; 0,2;... ) ; b) ( 2/3, /3,... ) ; c) (.,...) ; d) ( 3,,...) ; e) ( 2 2, 2,...) ) Obteha o primeiro termo e a razão da P.G. cujo limite da soma é 4, se o primeiro termo é igual à razão da progressão. 3) Obteha a geratriz das seguites dízimas periódicas : a) 0, ; b) 3, ; c), ; d) 0, ; e) 2, ) Uma P.G. ifiita é tal que a soma de seus termos de ordem ímpar é 20 e a dos de ordem par é 0. E- cotre o primeiro termo desta P.G.. 5) Seja um quadrado de 2cm de lado. Os potos médios de seus lados formam um outro quadrado cujos potos médios dos lados formam um ovo quadrado, e assim por diate. Obteha a soma : a) dos comprimetos das diagoais de todos os quadrados ; b) das áreas de todos os quadrados. IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 2
13 25 3.( 3 ) 4 35 Resp.: ( a),25, b) 4/2, c) - ; d), ; e) ; 2) ; 3a), b) 7736, 3c) 2, 3d), 3e) ; 4) 5 ; 5 a) 4( 2 ) cm ) ; 5b) 8cm 2 ) EXERCÍCIOS GERAIS DE PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS ) Se a P.G.: ( x, y, z) possui razão igual a 2, etão quato será o valor da soma dos logaritmos de base 2 de seus elemetos? 2) Os lados de um triâgulo retâgulo estão em P.G. de razão 2. Obteha o seu meor âgulo agudo. 3) Dadas as progressões : Aritmética ( a, a 2,...) d e razão 3 e Geométrica ( b, b 2,...) de razão ½, e tais que a6 b e a b, 3 2 calcule soma etre a 4 e 3 4) Supohamos a P.A.: (x,y,z) cuja soma é 5, e a P.G.: (x, y+, z+5) de soma 2. Se elas são crescetes, obteha a P.A. e a P.G.. 5) Seja o triâgulo equilátero de 8 cm de lado. Iscreva-se ele uma circuferêcia, e ela outro triâgulo equilátero, e assim por diate. Obteha : a) O limite dos perímetros dos triâgulos; b. b) O limite dos perímetros das circuferêcias; c) O limite das áreas dos triâgulos; d) O limite das áreas dos círculos determiados pelas circuferêcias. x Resp.: ( ) ( log ) ; 2) 30º ; 3) 27/2 ; 4) P.A.:( 3, 5, 7 ), P.G.:(3,6,2) ; 3 2 IFSP Ambiete virtual de apoio ao esio presecial do Campus São Paulo 3
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