Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.

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1 Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta seqüêcia, i.e., 0 N tal que > 0 x l < ε para qualquer ε > 0. Mostraremos agora que l R é limite de uma subseqüêcia de (x ) se, e somete se, para todo ε > 0, o cojuto é um subcojuto ifiito de N. { N : x (l ε, l + ε)} Teorema 1. A fim de que l R seja limite de uma subseqüêcia de (x ) é ecessário e suficiete que, para todo ε > 0, exista uma ifiidade de ídices tais que x (l ε, l + ε). Demostração. Teorema 9, pagia 120 em [0]. Um úmero real l chama-se de valor de aderêcia de uma seqüêcia (x ) quado l é limite de alguma subseqüêcia de (x ). Do Teorema acima temos que l é valor de aderêcia de (x ) se, e somete se, todo itervalo aberto de cetro l cotém termos x com com ídices arbitrariamete grades. Por outro lado, l = lim x sigifica que qualquer itervalo aberto de cetro l cotém todos os termos x com ídices suficietemete grades. Seja agora (x ) uma seqüêcia limitada de úmeros reais. O cojuto dos valores de aderêcia de (x ) ão é vazio, mais aida, existe um que é o meor de todos e outro que é o maior. Fialmete a seqüêcia coverge se, e somete se, possui apeas um valor de aderêcia. A demostração destas afirmações costitui o coteúdo do resto desta seção. 1 As seguites otas foram tomadas do material ecotrado o livro [0]: Elo Lages Lima, Curso de Aálise, Vol. 1. Projeto Euclides, 11. Ed, 2004; e de um curso de medida baseado em [1]: Boas, R. P. A primer of Real Fuctios. The Carus Mathematical Moographs, N. 13. Math. Assoc. of America (1981), [2]: Gelbaum B. R., Olmsted J. M. Couterexamples i Aalysis. Holde-Day (1966), e da referecia clássica [3]: Halmos, P. R. Measure Theory. Va Nostrad-Reihold (1950). 1

2 O maior e o meor valor de aderêcia são geeralizações do limite para o caso de seqüêcias limitadas que podem ão ser covergetes. Formalmete, sejam (a ), (b ) duas seqüêcias defiidas por a = sup x m, m b = if m x m. Destas defiições podemos ver que a medida que aumeta o supremo e o ífimo são calculados sobre cojutos de meor tamaho por tato a 1 a 2 a, b 1 b 2 b, isto é, (a ) e (b ) são seqüêcias moótoas. Neste caso temos que lim a = if a, lim b = sup b, os quais sempre existem 2, mesmo que estes ão sejam fiitos. A otação usualmete utilizada para estas operações é a = lim sup x = lim a, b = lim if x = lim b, mas também é comum ecotrar lim sup = lim, e lim if = lim. Diremos que a é o limite superior e b o limite iferior de (x ). Teorema 2. Seja (x ) uma seqüêcia limitada. Etão lim if x é o meor valor de aderêcia e lim sup x é o maior valor de aderêcia de (x ). Demostração. Provemos iicialmete que a = lim if x é valor de aderêcia de (x ). Para isto será utilizado o Teorema 1. Dados arbitrariamete ε > e 0 N, mostraremos que existe N tal que > 0 e x (a ε, a + ε). Como a = lim b existe 1 > 0 tal que a ε < b 1 < a + ε. Como b 1 = if{x 1, x 1+1,...}, segue-se da última desigualdade que a + ε (sedo maior do que b 1 ) ão é cota iferior de {x 1, x 1+1,...}. Logo existe 1 tal que b 1 x a + ε. Isto os dá > 0 com a ε < x < a + ε, como queríamos. Mostremos, agora, que ehum úmero c < a pode ser valor de aderêcia de (x ). Ora, como a = lim b, segue-se de c < a que existe 0 N tal que c < b 0 a. Como b 0 = if{x 0, x 0+1,...}, cocluímos que 0 c < b 0 x. Podo ε = b 0 c, vemos que c + ε = b 0, logo o itervalo (c ε, c + ε) ão cotém termo x algum com 0. Isto exclui a possibilidade de c ser valor de aderêcia de (x ). A demostração para lim sup é realizada de modo semelhate. Corolário 1. Uma seqüêcia limitada de úmeros reais (x ) é covergete se, e somete se, lim if x = lim sup x, isto é, se, e somete se, possui um úico valor de aderêcia. Demostração. Veja a pagia 123 em [0]. 2 veja o Teorema 4 em [0], pagia

3 Exemplo 1. Seja x = ( 1), isto é, a seqüêcia 1, +1, 1, +1, 1,.... Logo a = sup m x m = +1, m N, portato if a = +1 e etão cocluímos que lim sup x = +1. De forma aáloga obtemos que lim if x = 1. Exemplo 2. Seja Etão, se par x = 1, se = 1 0, se ímpar e 1. lim sup x = +, lim if x = 0. Exemplo 3. Seja x = 2 se 2 (π/2). Neste caso lim if x = 0, e lim sup x = +. Exercício 1. Ecotre lim sup e lim if para as seguites seqüêcias x = {1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1,...} (a) x = cos(π) (b) ( π ) ( π ) x = se cos (c) 2 2 x = ( 1) (1 + ) (d) 1 se par x = 2 (+2)/2 1 (e) 1 se ímpar 2 (+2)/2 Exercício 2. Sejam (x ) e (y ) duas seqüêcias de úmeros reais. Demostre as seguites relações. (a) lim ( x ) = lim x. (b) lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y lim (x + y ) lim x + lim y. (sempre e quado ão existam termos da forma + ). (c) Se x 0, y 0, etão lim (x y ) (lim x )(lim y ). 3

4 (sempre e quado o produto a direita ão seja da forma 0 ). Exercício 3. (Limite superior e iferior de uma fução) Seja f : R R um poto. O limite da fução em x são defiidos como ( ) lim sup f(x) = if sup f(x) x y δ>0 0< x y <δ ( ) lim if f(x) = sup if f(x). x y 0< x y <δ δ>0 Mostre (a) Se lim sup x y f(x) = L, e (x ) é uma seqüêcia tal que x y e lim x = y, etão lim sup f(x ) L. (b) Se lim sup x y f(x) = L, etão existe uma seqüêcia (x ) com x y tal que y = lim x, e L = lim f(x ). Foreça um exemplo de uma fução f : R R tal que lim sup x Seqüêcias de Cojutos f(x) lim if f(x). x 0 Seja X um cojuto. Seja (A ), N uma seqüêcia de subcojutos de X. Defiimos sup A = A 1 =1 if A = A 1 B = lim sup A = C = lim if A = =1 =1 m =1 m A m = if sup A m 1 m A m = sup if A m 1 m Se lim sup A = lim if A, diremos que a seqüêcia A tem limite e este caso escrevemos lim A = lim sup A = lim if A. O lim sup A esta costituído por aqueles elemetos que pertecem a A para ifiitos ídices, e o lim if A esta costituído pelos elemetos que pertecem a A meos um úmero fiito de ídices. Esta iterpretação é mostrada o Exercicio 4. 4

5 Exemplo 4. Seja X = R, e A = ( 1, ), etão para k N temos que A = =k ( 0, ), k A = =k ( 1 k, 1 ], portato lim sup A = lim if A = (0, 1]. Uma seqüêcia de cojutos A é crescete se para todo N, A A +1 e decrescete se para todo N, A A +1. As seqüêcias crescetes e decrescetes sempre possuim um limite (veja o Exercicio 5). Exercício 4. Mostre que se (A ) é uma seqüêcia de subcojutos de X, etão (a) lim sup A = {x X : x A para ifiitos ídices }. (b) lim if B = {x X : x A meos para um úmero fiito de ídices }. Exercício 5. Demostre que se (A ) é crescete etão lim sup e se (A ) é decrescete etão lim sup A = lim if A = A, 1 A = lim if A = A. 1 Exercício 6. Demostre que toda uião pode ser escrita como uma uião crescete e como uma uião disjuta, isto é: se (A ) é uma família de subcojutos de X, etão (a) Existe uma família (B ) de subcojutos de X tal que B B +1 para todo e 1 A = 1 B. (b) Existe uma família (D ) de subcojutos de X tal que D i D j se i j e 1 A = 1 B. 5

6 Resposta (Exercicio 4) (i) Se x B, etão, x m= A m para todo. (1) Da defiição da operação de uião, se x m 1. Embora, seguido (1) temos x m=1 A m, etão x A m1 para algum m=m A 1+1 m, portato x A m2, para algum m 2 > m 1. Aalogamete, x m=m A 2+1 m, e assim x A m3, para algum m 3 > m 2. Desta forma obtemos uma seqüêcia crescete de iteiros positivos m 1 < m 2 < m 3 <..., tais que x A m para todo 1. Cocluímos desta forma que x pertece a um úmero ifiito dos A m. Reciprocamete, se x pertece a um úmero ifiito dos A m, etão, x m= A m, para todo, de modo que x B. Desta forma, x B se, e somete se x pertece a um úmero ifiito dos A. Mostramos agora que o eveto C é equivalete ao eveto { x x : x A para todo suficietemete grade }. Observamos primeiro que x C se, e somete se x m= 0 A m para algum 0, ou seja, x A m para todo m suficietemete grade (m > 0 ). 6

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