Desigualdades b n b ) n ( a

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1 Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Álgebra - Nível 3 Prof Atoio Camiha Aula 2 Desigualdades 2 Esta aula é devotada ao estudo de outras desigualdades elemetares importates Para saber mais sobre o material aqui discutido, remetemos o leitor ao Capítulo 2 de [], à Seção 74 de [2], ao Capítulo 7 de [3] ou, por fim, à Seção 24 de [4] A primeira desigualdade que apresetamos remota os irmãos BeroulliJacob e Joha Beroulli, matemáticos suíços do século XVIII, sedo cohecida como a desigualdade de Beroulli Apesar de sua aparete simplicidade, veremos que ela se revela bastate útil em aplicações Proposição Beroulli Dados atural e x > real, temos + x + x, ocorredo a igualdade para > se e só se x = 0 Prova Façamos idução sobre, sedo o caso = imediato Supoha, por hipótese de idução, que +x k +kx; como +x > 0, temos +x k+ = +x+x k +x+kx = +k +x+kx 2 +k +x, ocorredo a igualdade se e só se +x k = +kx e kx 2 = 0, ie, se e só se x = 0 Exemplo 2 Dados atural e a e b reais positivos, mostre que + a + + b 2 b a +, ocorredo a igualdade se e só se a = b Prova Dividido ambos os membros da desigualdade do euciado por 2, vemos que basta provar que 2 2b + a b 2 2a Como 2 + a 2b > e 2 + b 2a >, aplicado a desigualdade de Beroulli a cada parcela do primeiro membro acima e somado os resultados, obtemos 2 2b + a b a 2+ 2a 2b + b 2a

2 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Basta, agora, aplicar a desigualdade etre as médias para obter a 2b + b a 2a 2 2b b = 0, 2a com igualdade se e só se a 2b = b 2a, ie, se e só se a = b A próxima desigualdade que apresetamos é cohecida a literatura como a desigualdade de Chebyshev, assim omeada após Pafuty Chebyshev, matemático russo do século XIX Teorema 3 Chebyshev Se a, a 2,, a e b, b 2,, b são úmeros reais tais que etão a a 2 a e b b 2 b, a i b i a i b i, ocorredo a igualdade se e só se a = a 2 = = a ou b = b 2 = = b Prova Temos de mostrar que a i b i a i b i 0, para o que basta observar que a expressão do primeiro membro é igual a a i a j b i b j i,j= Mas, como os a i s e b i s são igualmete ordeados, cocluímos que a expressão acima é, realmete, ão egativa Note agora que, se a = a 2 = = a ou b = b 2 = = b, etão haverá igualdade a desigualdade de Chebyshev Reciprocamete, supoha que temos igualdade em tal desigualdade Como a i a j b i b j 0 para todos os ídices i,j, para haver igualdade devemos ter a i a j b i b j = 0 para todos i,j =,, Se existir k tal que b k < b k+, etão b b k < b k+ b e a codição a i a k+ b i b k+ = 0 para todo i garate que a i = a k+ para i k Portato, temos a = a 2 = = a k = a k+ Por outrolado, apartir dea i a k b i b k = 0 parai>k, cocluímos quea k+ = = a Logo, todos os a i s devem ser iguais Exemplo 4 Se k é um atural e a, a 2,, a são reais positivos, etão a k +ak 2 + +ak a +a 2 + +a k, com igualdade se e só se todos os a i s forem iguais 2

3 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Prova Façamos idução sobre k, sedo trivialmete verdadeira para k = e todos os a, a 2,, a reais positivos Seja agora l > um atural tal que valha para k = l e todos a,a 2,,a reais positivos Dados reais positivos a, a 2,, a, como ambos os membros da desigualdade que queremos provar são ivariates por permutações dos ídices,2,, podemos supor, sem perda de geeralidade, que a a 2 a Daí, temos a l a l 2 a l, e segue da desigualdade de Chebyshev que a l i Por outro lado, a hipótese de idução forece a l i a i e combiado essas duas desigualdades obtemos a l i a l i l a i, l a i, coforme desejado Por fim, a codição de igualdade é óbvia a partir codição de igualdade a desigualdade de Chebyshev Exemplo 5 Polôia Sejam a,a 2,,a reais positivos com soma s Prove que a s a + a 2 s a a s a Prova Supohamos, sem perda de geeralidade, que a a 2 a Etão s a s a 2 s a Como s a i > 0 para todo i, segue que s a s a 2 s a Portato, pela desigualdade de Chebyshev temos a i = a i a i = s s a i s a i s a i s a i Mas, pelo Exemplo 4 da Aula, temos 2 s a i s a i = 2 s s = Por fim, basta combiar as duas desigualdades acima 2 s A seguda igualdade que apresetamos é cohecida como a desigualdade do rearrajo Para o euciado da mesma, recorde que uma permutação de uma sequêcia a,a 2,,a, é uma sequêcia x,x 2,,x tal que x i = a σi, para alguma bijeção σ : {,2,,} {,2,,} 3

4 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Proposição 6 Sejam a < a 2 < < a reais positivos dados Se x,x 2,,x é uma permutação qualquer de a,a 2,,a, etão a i a i a i x i a 2 i, ocorredo a igualdade a primeira resp seguda desigualdade acima se e só se x i = a i resp x i = a i para i Prova Mostremos como maximizar a soma a x +a 2 x 2 + +a x, sedo o raciocíio para miimizá-la totalmete aálogo Como o úmero de permutações x,x 2,,x dos a i s é fiito, há pelo meos uma delasquemaximizaasomaa x +a 2 x 2 + +a x Seb,b 2,,b éumatalpermutação, queremos mostrar que b i = a i para i, e para tato basta mostrarmos que deve ser b < b 2 < < b Supoha o cotrário, ie, que existam ídices i < j tais que b i > b j Defia a permutação b,b 2,,b dos a i s podo b k, se k i,j b k = b i, se k = j b j, se k = i Etão Isso é o mesmo que a i b i a i b i = a i b i +a jb j a ib i +a j b j = a i b j +a j b i a i b i +a j b j = a i a j b j b i > 0 a b +a 2 b 2 + +a b > a b +a 2 b 2 + +a b, o que por sua vez cotraria o fato de que a permutação b,b 2,,b dos a i s maximiza a soma a x +a 2 x 2 + +a x máximo Logo, b < b 2 < < b Exemplo 7 Dados reais positivos a, b e c, mostre que a 3 +b 3 +c 3 a 2 b+b 2 c+c 2 a Prova Supoha, sem perda de geeralidade, que a b c Uma aplicação direta da desigualdade do rearrajo os dá a 3 +b 3 +c 3 = a 2 a+b 2 b+c 2 c a 2 b+b 2 c+c 2 a Coforme mostrado pelo próximo exemplo, a ideia da prova da desigualdade do rearrajo é, por vezes, tão útil quato a desigualdade em si 4

5 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Exemplo 8 Eslovêia Dados 2reaispositivos a,a 2,,a 2, comodevemosarrajá-los em pares de modo que a soma dos produtos dos úmeros de cada par seja máxima? Solução Supoha, sem perda de geeralidade, que a a 2 a 2 e arraje tais úmeros em pares b,c, b 2,c 2,, b,c, com b b 2 b e b j c j, para todo j Queremos maximizar S = b c +b 2 c 2 + +b c Para isso, vamos mostrar que c c 2 c De fato, se a sequêcia c i ão for ão decrescete, existirão ídices i > j tais que c i c j Neste caso, trocamos as posições de c i e c j em S, após o que a ova soma será S = S b i c i b j c j +b i c j +b j c i = S +b i b j c j c i S Logo, a soma será máxima quado c c 2 c Fialmete, observe que, para todos i < j, temos b i c i c j Supoha que, para algum par i < j, tivéssemos b j c i Neste caso, trocamos c i por b j, de modo que a ova soma seja S = S b i c i b j c j +b i b j +c i c j = S +b i c j b j c i S Portato, devemos ter, para todos i < j, b i c i b j c j Em geral, teremos b c b 2 c 2 b c Logo, a soma máxima é a a 2 +a 3 a 4 + +a 2 a 2 A última desigualdade que discutiremos aqui é devida ao matemático orueguês do século XIX Niels Herik Abel, sedo cohecida como a desigualdade de Abel Teorema 9 Abel Sejam > atural e a, a 2,, a, b, b 2,, b úmeros reais dados, com a a 2 a 0 Se M e m deotam respectivamete os elemetos máximo e míimo do cojuto de somas {b,b +b 2,,b +b 2 ++b }, etão ma a b +a 2 b 2 + +a b Ma Prova Provemos a desigualdade da direita, sedo a prova da desigualdade da esquerda totalmete aáloga Faça s 0 = 0 e s i = b + +b i, para i Etão a i b i = = a i s i s i = a i a i+ s i +a s a i s i a i+ s i i=0 Ma i a i+ +Ma = Ma 5

6 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Para referêcia futura, observamos que, as otações da prova do teorema acima, a igualdade a i b i = a i a i+ s i +a s 2 é cohecida como a idetidade de Abel, sedo quase tão útil quato a desigualdade de Abel em si Exemplo 0 Romêia - adaptado Sejam > iteiro e x,,x, y,,y reais positivos tais que x y < x 2 y 2 < < x y e, para k, x + +x k y + +y k Prove que x x 2 x y y 2 y Prova Iicialmete, observe que y i x i = x i y i x i y i 3 Por outro lado, a codição x + +x k y + +y k para k pode ser escrita como x y + +x k y k 0 para k Assim, fazedo a i = x i y i e b i = x i y i para i, temos 0 < a < a 2 < < a, b + +b i 0 e x i y i x i y i = a i b i para i Aplicado a desigualdade de Abel a 3, obtemos etão y i x i a mi{b + +b i ; i } 0 Problemas Para N, prove que + < Estados Uidos Para m, aturais, seja a = mm+ + + m m + Prove que a m +a m m + 6

7 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha 3 Croácia Ecotre todas as soluções reais positivas do sistema de equações { x +x 2 + +x 994 = 994 x 4 +x x4 994 = x3 +x x Sejam a,a 2,a 3,a 4 reais positivos Prove que i<j<k 4 a 3 i +a3 j +a3 k a i +a j +a k a 2 +a 2 2 +a 2 3 +a 2 4, ocorredo a igualdade se e só se a = a 2 = a 3 = a 4 5 Sejam > iteiro e a,a 2,,a, b,b 2,,b reais dados, com a a 2 a e b b 2 b Se λ λ 2 λ são reais positivos com soma igual a, prove que λ i b i λ i a i b i λ i a i e dê codições ecessárias e suficietes para a igualdade A que caso particular correspode a desigualdade de Chebyshev? 6 Sejam a,b,c reais positivos Prove que a + b + c a8 +b 8 +c 8 a 3 b 3 c 3 7 Sejam a,b,c,d reais ão egativos tais que ab+bc+cd+da = Prove que a 3 b+c+d + b 3 a+c+d + c 3 a+b+d + d 3 8 Para a,b,c reais positivos e N, prove que a+b+c 3 a b+c + b a+c + c a+b a +b +c 2 9 Sejam x, y e z reais positivos tais que xyz = Prove que x 3 +y+z + y 3 +x+y + z 3 +x+y Sejam > iteiro e x,x 2,,x reais positivos dados, com soma igual a Prove que x i xi xi Dados reais positivos a, b e c, mostre que a+b+c abc a 2 + b 2 + c 2 7

8 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha 2 IMO Seja a k k uma sequêcia de iteiros positivos dois a dois distitos Prove que, para todo N, temos a k k 2 k k= 3 Toreio das Cidades Sejam a,a 2,,a reais positivos dados Prove que k= + a2 + a2 2 + a2 a 2 a 3 a +a k 4 Sejam a i,b i úmeros reais tais que a a 2 a > 0 e b a, b b 2 a a 2,, b b 2 b a a 2 a Mostre que k= b +b 2 + +b a +a 2 + +a Bibliografia T Adreescu e R Gelca Mathematical Olympiad Challeges Birkhäuser, Bosto, A Camiha Tópicos de Matemática Elemetar, Volume : Números Reais Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Jaeiro, A Egel Problem Solvig Strategies Spriger-Verlag, Nova Iorque, E Lozasky e C Rousseau Wiig Solutios Spriger-Verlag, Nova Iorque, 996 8

9 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha Comece obsevado que = Dicas e Soluções Em seguida, aplique a desigualdade de Beroulli 2 Escreva a m = m m + a m m m e, em seguida, aplique a desigualdade de Beroulli Faça o mesmo com a e, por fim, some os resultados 3 Escreva x 4 + x x4 994 = x3 x + x 3 2 x x x 994 e, em seguida, aplique a desigualdade de Chebychev para obter x 4 +x x x3 +x x3 994 x +x 2 + +x 994 Por fim, use as equações do sistema 4 Aplique a desigualdade de Chebyshev a cada parcela do somatório 5 Adapte a prova da desigualdade de Chebyshev ao caso em questão 6 Aplique a desigualdade de Chebychev 7 Aplique a desigualdade de Chebychev para cocluir que a expressão do primeiro membro é maior ou igual que 4 a3 +b 3 +c 3 +d 3 b+c+d + a+c+d + a+b+d + a+b+c Em seguida, aplique o resultado do Exemplo 4, jutamete com o resultado do Exemplo 4 da Aula, para cocluir que a última expressão acima é maior ou igual que a+b+c+d a+b+c+d = a+b+c+d2 2 Por fim, observe que a codição do euciado equivale a a+cb+d = e aplique a desigualdade etre as médias 8 Adapte a sugestão dada ao problema aterior 9 Supodo, sem perda de geeralidade, x y z, use a desigualdade de Chebychev para cocluir que a expressão do euciado é maior ou igual que x 3 +y 3 +z 3 x++y ++z + 3 x+y +z + Em seguida, aplique a desigualdade de Chebychev ao primeiro fator e a desigualdade etre as médias ao segudo fator para cocluir que a última expressão acima é maior 3t ou igual que 3, ode t = t+ 2 3 x+y+z Por fim, use a desigualdade etre as médias para cocluir que t e, em seguida, prove que t s 3t3 3s3 t+ 2 s+ 2 9

10 POT Álgebra - Nível 3 - Aula 02 - Prof Atoio Camiha 0 Para obter a primeira desigualdade, aplique a desigualdade de Chebychev ao primeiro somatório, seguida do resultado do Exemplo 4 da Aula Para a seguda desigualdade, utilize a desigualdade etre as médias aritmética e quadrática cf Problema 5 da Aula Supoha, sem perda de geeralidade, que a b c Basta aplicar a desigualdade do rearrajo, observado que a desigualdade a ser provada é equivalete a 2 Aplique a desigualdade do rearrajo a 2 bc+ab 2 c+abc 2 ab 2 +bc 2 +ca 2 3 Faça a prova por idução sobre > iteiro Para o passo de idução, basta provar que + a2 + a2 + + a2 +a + a + a a ou, equivaletemete, que a 2 + +a 2 a a + + a2 a + a Por fim, observe que tal desigualdade é uma aplicação imediata da desigualdade do rearrajo 4 Faça λ i = b i /a i, para j, e coclua que b + +b a + +a a λ +a 2 λ 2 + +a λ 0 Em seguida, aplique a desigualdade de Abel para cocluir que a j λ j a mi{λ,λ +λ 2 2,,λ + +λ } j= Por fim, use a codição do euciado e a desigualdade etre as médias para mostrar que λ + +λ k k 0