HEURÍSTICAS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS

Transcrição

1 HEURÍSTICAS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS Michelle Crescêcio de Mirada Programa Istitucioal de Iiciação Cietífica e Moitoria da Faculdade de Matemática PROMAT michellemirada_8@hotmail.com Luiz Alberto Dura Salomão Professor orietador salomao@ufu.br Faculdade de Matemática FAMAT Uiversidade Federal de Uberlâdia UFU Itrodução Resolver problemas é uma habilidade prática como adar, esquiar ou tocar piao; você pode apredê-la por meio de imitação e prática. (...)se você quer apreder a adar, você tem que etrar a água e se você quer se torar um bom resolvedor de problemas, tem que resolver problemas. George Polya Neste artigo, desevolvemos um breve estudo sobre equações diofatias. No etato, ão meos importate que o tema desevolvido é a oportuidade de os exercitarmos em diversas heurísticas especialmete adequadas para tratar problemas da atureza que permeia o assuto em tela. Uma heurística é uma sugestão ou estratégia geral, idepedete de algum tópico particular ou do assuto em questão, que ajude os resolvedores de problemas a abordar e eteder um problema e a dirigir eficietemete seus recursos para resolvê-lo. Neste breve estudo, destacamos o emprego de algumas dessas heurísticas, a saber, a redução de um problema a uma situação mais simples, o argumeto por cotradição, o método da descida ifiita e o Pricípio de Dirichlet.. A equação pitagórica Um dos mais atigos problemas da teoria dos úmeros é a determiação de todas as soluções iteiras da equação x = + y z. (I)

2 Como veremos, a solução dessa equação pode ser obtida através de propriedades elemetares de úmeros iteiros. Um tero (x, y, z) de iteiros que satisfaz (I) é dito um tero pitagórico. Obviamete, vamos omitir qualquer caso ode uma das coordeadas do tero (x, y, z) seja zero. Iicialmete, otemos que se (x, y, z) é um tero pitagórico, etão qualquer tero (kx, ky, kz) também o será, ode k é um iteiro diferete de zero. É claro, aida, que a recíproca da afirmação que acabamos de fazer também é verdadeira. Portato, vamos restrigir ossa busca ao caso em que as coordeadas x, y, e z do tero ão têm ehum fator comum maior do que. Nesse caso, dizemos que uma tal solução (x, y, z) de (I) é primitiva. Por exemplo, (3, 4, 5) é uma solução primitiva de (I) mas (6, 8, ), embora seja solução de (I), ão é primitiva. Podemos, a verdade, dizer que se (x, y, z) é uma solução primitiva de (I) ão há duas de suas coordeadas que ão sejam iteiros primos etre si. Em outras palavras, se (x, y, z) é uma solução primitiva de (I), etão mdc(x, y) = mdc(x, z) = mdc(y, z) =. De fato, se p é um úmero primo divisor comum de x e y, etão é claro que p também é divisor de e, coseqüetemete de z (pois p é primo), o que cotraria o fato de (x, y, z) ser solução primitiva de (I). Portato, mdc (x, y) =. Claramete, o mesmo argumeto mostra que mdc(x,z) = e mdc(y, z) =. Como coseqüêcia do fato que acabamos de justificar, x e y ão podem ser ambos pares, se (x, y, z) for uma solução primitiva de (I). Porém, podemos aida fazer uma outra afirmação: x e y ão podem ser ambos ímpares. De fato, se x = a + e y = b+, ode a, b, etão x + y = (a +) + (b +) = + 4( a + a + b + b ), ou seja, z é divisível por mas ão por 4. Ora, isto ão é possível pois, se z x + y = é divisível por, z também o é; daí, z é divisível por 4. Cocluímos, assim, que se (x, y, z) é um tero pitagórico primitivo, exatamete um dos iteiros x ou y é par e z é ímpar. Vamos assumir daqui em diate, sem perda de geeralidade, que x é par. Vamos, agora, determiar todas as soluções primitivas (x, y, z) de (I), reduzido o problema a uma situação mais simples. Observe que, uma codição ecessária para (x, y, z) ser uma solução de (I) é que x = z - y = (z y) (z + y). (II). No caso da solução ser primitiva, z y e z + y são iteiros pares. Daí, podemos dividir por 4 os membros extremos de (II), obtedo z x = 4 ( z + y)( z y ).

3 Chamado m ( z + y) = e = ( z y), obtemos x = m e podemos afirmar que e são primos etre si - de fato, se p é um divisor comum de e, p divide m = z e p divide (III) m m + m = y o que ão é possível pois, como vimos, mdc(y, z) =. Além disso, de (III) cocluímos que e são quadrados perfeitos, já que ( m mdc m, ) = e o produto m é um quadrado perfeito. Portato, existem iteiros positivos m m e tais que = m, e = e mdc(m, ) =. Logo, = = z y e m = x. Decorre daí que 4 x = m, y = m - e z = m +. (IV) m = m = z + y, Observe que m e, em (IV), têm paridades opostas, pois z e y são ímpares. É imediato verificar que se x, y, e z são da forma dada em (IV), etão (x, y, z) satisfaz a equação pitagórica (I). As cosiderações feitas acima permitem-os euciar a seguite proposição.. Proposição : A codição ecessária e suficiete para que (x, y, z) seja um tero pitagórico primitivo, com coordeadas positivas, é que existam iteiros positivos m e, primos etre si, de paridades opostas, com m >, de modo que x = m, y = m - e z = m +. A tabela a seguir ilustra parcialmete uma represetação dos teros pitagóricos primitivos, coforme a proposição acima. m (4,3,5) (8,5,7) (,35,37) (,5,3) (,,9) (8,45,53) 3 (4,7,5) 4 (4,9,4) (56,33,65) 5 (6,,6) 6 (84,3,85)

4 . Iexistêcia de soluções ão triviais de algumas equações diofatias Ao cotrário do que vimos o parágrafo aterior, algumas equações diofatias podem ão ter soluções, além das triviais. Uma ferrameta poderosa para provar a iexistêcia de soluções de algumas dessas equações é o método da descida ifiita, cuja criação é atribuída ao matemático fracês Pierre de Fermat (6 665). Basicamete, esse método cosiste em supor a existêcia e uma solução ão trivial que seja, em algum setido, míima. Em seguida, deve-se ecotrar uma solução que, de alguma forma, veha a cotrariar a miimalidade da tal solução, advido daí uma cotradição. A seguir, veremos algumas aplicações desse método. Proposição : A equação x + y =3z ão tem soluções iteiras ão ulas. Demostração: Supoha que a equação dada teha soluções (x, y, z) em iteiros positivos ão ulos. Assim, seja (a, b, c) a solução que teha a coordeada z = c míima. Sabemos que, se um úmero iteiro ão for múltiplo de 3, etão seu quadrado deixa resto quado dividido por 3. Daí, a e b têm que ser ambos múltiplos de 3, ou seja, existem iteiros r e s tais que a = 3r e b = 3s. Assim, 9r + 9s =3c, o que acarreta 3(r + s ) = c. Portato, c é múltiplo de 3 e, coseqüetemete, c é múltiplo de 3. Logo, existe um iteiro t de modo que c=3t. Por fim, temos 3(r + s ) =9t e, daí, r + s =3t, o que quer dizer que o tero (r, s, t) é c solução da equação dada, com t = < c. Cotradição com o fato da coordeada c ser 3 míima. A proposição a seguir emprega uma pequea variação do método utilizado a Proposição. Proposição 3: A equação x + y + z = xyz ão tem soluções iteiras ão ulas. Demostração: Observe que, o membro da esquerda da equação dada, exatamete um dos termos é par ou todos os três são pares. Todavia, a primeira situação, o membro da esquerda seria múltiplo de mas ão de 4, equato o da direita seria múltiplo de 4. Isso reduz o problema ao caso em que x, y e z são todos pares. Dessa forma, se (x, y, z) satisfaz a equação dada, existem iteiros x, y e z tais que x =x, y =y e z = z e, daí, + y + z x y. x = 4 z Usado o mesmo argumeto, temos que existem iteiros x, y e z tais que x =x, y =y e z = z e, por coseguite, x + y + z = 8x y z. Este argumeto pode ser repetido idefiidamete e, assim, teremos que 3 x = x = x = x =... = x =... y = y = y = 3 3 z = z = z = z3 =... = z =... o que mostra que x, y e z são divisíveis por, para todo iteiro. Ora, isso só seria possível para x = y = z =. 3 y =... = y 3 =... O resultado a seguir é um caso particular do célebre Último Teorema de Fermat. Proposição 4: A equação diofatia x + y = z ão tem soluções em iteiros ão ulos, se for um iteiro positivo múltiplo de 4.

5 Demostração: Supoha que = 4k, ode k é um iteiro positivo. Se x + y = z, etão temos que (x k ) 4 + (y k ) 4 = (z k ), ou seja, (x k, y k, z k ) será uma solução da equação a 4 + b 4 = c. Assim, o problema fica reduzido a se mostrar que essa última equação ão tem soluções além das triviais. Supoha, por absurdo, que a, b e c sejam iteiros positivos que satisfaçam a equação a 4 + b 4 = c. Além disso, para aplicarmos o método da descida ifiita de Fermat, vamos icluir a hipótese adicioal de que c seja míima, isto é, que ão exista uma outra solução (a, b, c ), em iteiros positivos, com c < c. Etão, a e b são primos etre si e, pela Proposição, existem iteiros positivos primos etre si u e v tais que a = u v, b = uv e c = u + v. Como a + v = u, ovamete pela Proposição, temos que existem iteiros positivos primos etre si p e q tais que a = p q, v = pq e u = p + q. Daí, segue que b =uv = 4pq(p + q ). Como p e q são relativamete primos, ambos são também relativamete primos com p + q. Agora, sedo 4pq(p + q ) um quadrado perfeito, deveremos ter p, q e p + q também quadrados perfeitos; portato, existem iteiros positivos α, β e γ de modo que, β 4 4 p = α q = e p + q = γ. Daí segue que α + β = γ, sedo c = u + v > u = p + q = γ γ. Isso cotradiz a miimalidade de c. 3. A equação de Pell Se d é um iteiro positivo que ão é um quadrado perfeito, sabemos que d é um úmero irracioal. A equação x dy = m, ode m represeta um iteiro qualquer, é cohecida como a equação de Pell. É claro que, o caso m=, a equação de Pell ão tem solução além x da trivial (x = y = ) pois, caso cotrário, teríamos d =, o que iria cotradizer a y irracioalidade de d. Neste parágrafo, desevolveremos um breve estudo sobre a determiação das soluções da equação de Pell. A proposição que veremos a seguir é um resultado clássico devido a P.G. Lejeue Dirichlet (85 859). Proposição 5: Dado um úmero irracioal α, existem ifiitos racioais q p, com p e q p iteiros ão ulos primos etre si, tais que α <. q q Demostração: Dado um iteiro positivo N qualquer, cosideremos os N+ elemetos do itervalo [, ) da forma jα jα, com j N, ode x represeta o maior iteiro N que ão supera x. Como [ ) U k k +, =,, pelo Pricípio de Dirichlet, existem dois k = N N α α j α α pertecetes a um mesmo itervalo desses elemetos, digamos j j e j k k +,. Supodo, sem perda de geeralidade, que j < j e chamado q = j j e N N p p = [ j α ) [ jα ), temos que < qα p < e, daí, α <. Por fim, podemos N q qn q supor que p e q são primos etre si. De fato, se p = p c e q = q c, para algum iteiro c>, p etão α < <. q q q

6 O resultado a seguir mostra a existêcia de valores de m para os quais a equação de Pell tem ifiitas soluções os iteiros. Proposição 6: Se d é um iteiro positivo que ão é um quadrado perfeito, existe um iteiro m tal que a equação x dy = m admite ifiitas soluções iteiras. Demostração: Como d é irracioal, segue pela Proposição 5, que existem ifiitos pares x (x, y) de iteiros primos etre si tais que d < (*). Agora, se x e y são iteiros y y satisfazedo essa desigualdade, temos que x dy = x d y x + d y < ( x d y + d y) < + d y < d +. y y y Segue, daí, que algum iteiro ão ulo m etre ( d +) e d + repete-se um úmero ifiito de vezes detre os valores de x dy, para x e y satisfazedo a codição (*), ou seja, a equação x dy = m admite ifiitas soluções iteiras, para um tal m. Proposição 7: A equação x dy =, ode d é um iteiro positivo que ão é um quadrado perfeito, admite soluções. Demostração: Coforme a Proposição 6, podemos tomar um iteiro ão ulo m de modo que a equação x dy = m admite ifiitas soluções iteiras. Podemos escolher duas dessas soluções (x, y ) e (x, y ) de modo que x x, mas x (mod x m) e y (mod y m). Assim, + y d x y d = x x dy y + x y x y. (**) ( )( ) ( ) ( ) d x x dy y x dy (mod m e (mod y x y m) xx dy y = mu e x y x y = mv ( x + y d )( x y d ) = m ( u + v d ) e, daí, ( x y d )( x + y d ) = m( u v d ). Mas, x ) x e, daí, existem iteiros u e v tais que. Segue, etão, de (**) que Multiplicado, membro a membro, as duas igualdades acima, obtemos m = ( x dy )( x dy ) = m ( u dv ), ou seja, u dv =. Assim, a demostração estará cocluída se mostrarmos que u e v ão são ulos. De fato, se u =, teríamos dv =, o que é um absurdo. Se v =, teríamos u = ou -. De (**), viria + y d x y d = m e, coseqüetemete, + y d = ± x y d e, aida, ( )( ) x x x + ± ( ) ( ) x =, o que cotraria ossa hipótese sobre as soluções (x, y ) e (x, y ). Proposição 8: Se d é um iteiro positivo que ão é um quadrado perfeito etão existe uma solução (x, y ) da equação x dy =, ode x e y são iteiros positivos, de modo que todas as demais soluções (x, y ) dessa equação satisfazem a codição y d = ( x y d ) x + +, para algum iteiro. Demostração: Mais uma vez, teremos uma aplicação do método da descida ifiita. Cosideremos a solução (x, y ) da equação dada, com coordeadas iteiras positivas, de modo que, detre todas as soluções da equação, o valor Vamos idetificar cada solução (x, y) da equação com o úmero ( x y d )( x y d ) x + y d seja o meor possível. x + y d. Pela igualdade x dy = +, é fácil ver que o produto de duas soluções da equação também é uma solução, o setido da idetificação acima. Vamos mostrar que todas as

7 soluções da equação dada são da forma ( x y d ) +, para algum iteiro. Supoha que (u, v) seja uma solução da equação em tela e que u + v expoete iteiro de x + y d. Assim, para algum, temos ( y d ) + u + < ( ) d ão seja uma potêcia com x + < v d x + y d. Multiplicado cada membro da expressão acima pela solução ( x y d ), obtemos < ( v d x y d < ( x + y d ) o que é um absurdo pois o termo itermediário é uma solução, o que cotraria a miimalidade da solução x + y d. Referêcias bibliográficas u + ) ( ) [] ANDERSON, J. A. e BELL, J. M. Number Theory with applicatios Pretice Hall 997 [] ENGEL, A. Problem-Solvig Strategies Spriger 997 [3] MOREIRA, C. G. Propriedades estatísticas de frações cotíuas e aproximações diofatias Matemática Uiversitária Sociedade Brasileira de Matemática º 9 [4] MUNIZ NETO, A. C. Equações Diofatias EUREKA! Sociedade Brasileira de Matemática º 7 -

8