Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta

Transcrição

1 Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta Questão potos Serão laçados dois dados: um dado azul de 4 faces, umeradas de a 4, e um dado vermelho de 8 faces, umeradas de a 8 a Determie a probabilidade de que o resultado do dado azul seja maior do que o do dado vermelho b Determie a probabilidade de que o resto da divisão etre o resultado do dado vermelho e o do dado azul seja igual a a Deotemos por D o resultado do dado azul de 4 faces, e por D, o resultado do dado vermelho de 8 faces Os valores possíveis para o par D, D são os que aparecem a tabela abaixo, ode idicamos qual dado é maior A ou V D, D V V V V V V V A V V V V V V A A V V V V V 4 A A A V V V V Como cada par tem a mesma probabilidade, igual ao iverso do total de pares, 4 8, etão a probabilidade do eveto formado pelos seis pares em que a face do dado azul é maior do que a do dado vermelho é igual a 6/ /6 b Usemos ovamete a tabela idicado agora o resto r da divisão etre os resultados do dado vermelho e o do dado azul, ou seja, D k D + r, ode k e r são úmeros iteiros ãoegativos, e r < D Págia de 8

2 D, D Assim, o total de pares, cujo resto r, é 9 Portato, a probabilidade disso acotecer é 9/ Questão potos Cosidere a uma sequêcia que satisfaz: a + a + a 4 Sabedo que a é uma PA, calcule o termo a 6 Como a é uma PA temos a + a a a e portato a + a a Logo, a + a 4 a a 4a 4 a Ou seja, a + Logo a 6 7 Questão potos Ecotre todos os pares de úmeros iteiros positivos a, b tais que, para algum k primo, os úmeros a e ab + b são raízes da equação x 8x + k e o produto é A soma das raízes é a + ab + b 8 aab + b k Como k é primo, a seguda equação implica que a k portato a ou a k Basta agora ver as possibilidades Se a etão b k, ou seja, k é múltiplo de Como k é primo devemos ter k e, cosequetemete, b Substituido a primeira equação: absurdo Se a k etão bk + Como k chegamos a um absurdo Etão ão existem úmeros iteiros positivos satisfazedo as codições da questão Págia de 8

3 Questão 4 potos João e Maria moram a mesma rua e por coicidêcia um certo domigo ambos saem o mesmo istate para fazer um passeio pela rua Passados t horas João e Maria se cruzam a rua, felizmete sabemos descrever a posição de Maria e João desde o mometo em que saem de casa t até o istate em que se cruzam a rua o istate t No istate t etre e t Maria está o kilômetro t + t + e João o kilômetro t da rua Sabemos também que Maria esqueceu o celular em casa e voltou para pegá-lo, o que precisamos determiar é se quado João ecotrou Maria ela já estava voltado para casa ou ão? Note que a parábola t + t + tem cocavidade para baixo e seu máximo é atigido quado t b a / João e Maria se ecotram quado a reta t itersecta a parábola t +t+ Para ecotrar o tempo t em que isso ocorre precisamos ecotrar t positivo tal que t + t + t, ou seja, t t + Usado Bhaskara ecotramos duas soluções para t t +, só os iteressa a que é positiva, o caso t Mas o máximo da parábola t + t + que descreve o trajeto de Maria ocorre, como vimos, em t / assim em t Maria já estaria voltado para casa depois do poto de máximo ao passar o tempo a posição de Maria a rua começa a dimiuir, ou seja ela iiciou seu trajeto de volta para casa Questão 5 potos Cosidere a matriz A a Mostre que A é uma matriz ivertível e que sua matriz iversa também é uma matriz que só tem etradas iteiras b Qual é a imagem do quadrado [, ] [, ] por A? Ou seja, se {[ S ] [, ] [, ] [, ]} é o cojuto dos vértices do quadrado [, ] [, ], para cada X S calcule A X e faça um esboço da figura obtida Págia de 8

4 c Ecotre um poto Y m, o quadrado [, ] [, ] tal que [ m A ] [ ] a Uma matriz é ivertível se seu determiate é diferete de zero Note que det A, portato a matriz A é ivertível Para calcular a matriz iversa A vamos usar que A A I, ode I é a matriz idetidade Dessa forma, se escrevermos A a b, c d obtemos A A a c b d a + b c + d a + b c + d Logo, para que A A I devemos ter que a + b, a + b a b, c + d d c, c + d 4 Substituido a b a primeira equação obtemos que b e portato a Substituido d c a última equação obtemos que c e portato d Logo, A, o que mostra que todas as etradas da matriz A são úmeros iteiros Págia 4 de 8

5 b Vamos calcular AX para cada X S: Para X temos que A X Para X temos que A X Para X temos que A X Para X temos que A X Abaixo temos o esboço da figura obtida Págia 5 de 8

6 c Vamos usar as iformações obtidas os ites a e b Observe que A m m A A Como A segue que A Portato, A m A m m A Como A Y, segue que A e portato m e, ou seja, Págia 6 de 8

7 Questão 6 potos Na figura abaixo sabe-se que M é o poto médio de BO, N é o poto médio de CO, P é o poto médio de DO e Q é o poto médio de EO Além disso, sabe-se que AO e OF Calcule o âgulo α 6 Pelo critério de semelhaça AA temos que os triâgulos OAB, OMC, OND, OP E e OQF são semelhates Disso segue que OB OC OC OD OD OE OE OF Além disso, como M é poto médio de OB temos que OB OC OA OM OB OB Págia 7 de 8

8 Portato, 4 OB 4 OB OC OD OE OC OD OE OF OB OF e como OF cocluímos que OB Com isso temos que o triâgulo AOB é isóceles e portato 6 α β Note aida que os âgulos AÔB, MÔC, NÔD, P ÔE e QÔA são iguais e somam 6 Cosequetemete, 6 AÔB 7 e isso implica que α 54 5 Págia 8 de 8