XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

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1 XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) E 6) C ) E 6) B ) D ) C 7) D ) C 7) A ) A ) B 8) B ) B 8) A ) B ) D 9) D ) A 9) B ) E 5) D 0) D 5) A 0) C 5) B Cada questão da Primeira Fase vale poto (Total de potos o Nível 5 potos) Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Seguda Fase o site: ) (E) A alterativa A possui duas vogais, a B duas também, a C três, a D apeas uma e a E duas vogais Desta forma, a opção correta é a alterativa E M E ) (C) Temos que a expressão é Para maximizá-la, devemos fazer o umerador o I C A maior possível e o deomiador o meor possível Para isso, tomamos M 9, E 8, 9 8 I, C e A Desta forma, o valor máximo é 08 ) (B) Como cada perguta admite duas respostas, cada etrevistado pode respoder o questioário de 6 maeiras diferetes Assim, o úmero míimo de etrevistados para que se garata a existêcia de duas respostas completamete iguais é 7, pelo Pricípio da Casa dos Pombos AD ) (D) Cosiderado o paralelogramo ACEF, como AF, temos que a área de ACEF é igual a 8 56 Este paralelogramo está dividido em oito paralelogramos iguais, sedo que a área sombreada é um destes paralelogramos e, portato, a área desejada é XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível

2 5) (D) Note que se estivermos a edição de úmero x da OBM, estaremos o ao de 978 x mdc x,978 x Pelo Algoritmo de Assim, estamos iteressados o maior valor possível de ( ) Euclides, mdc( x,978 x) mdc( x,978) pode ser atigido tomado x 978 O maior valor possível para esse mdc é 978, que 6) (C) Temos que ABC 00A 0B C 00B 0C A 00B 0 A C Escrevedo igualdades aálogas para os outros úmeros, temos que a codição do euciado é 00A 0B C 00B 0C A 00A 0B C 0 A A B C 0 Assim, B C 9A Se úico par (9, 9), totalizado ove úmeros ABC A, temos os oito pares (,8), (,7),( 8, ) ( ) A e se A, temos o 7) (D) Podemos posicioar o quadrado de lado de cico maeiras diferetes Em cada uma dessas maeiras, a posição das peças em formato de L estará bem determiada Portato, temos cico possíveis maeiras de cobrir o tabuleiro x, temos que x ( x )( x ) ( x ) x 8) (B) Se x ˆ x 9) (D) Sedo m( ABD ˆ ) m( ACB) α, teremos que m ( BAC ˆ ) α e m ( CBD ˆ ) 80 α ˆ Daí, teremos que m ( BDC) 80 α e ( ACD) 5α 80 m ˆ Temos que α e 5α 80 são iteiros e devemos ter 0 < 5α 80 < 80 e 0 < 80 α < 80, o que os dá 6 < α < 60 Para cada um dos valores de α compreedidos este itervalo, temos um quadrilátero diferetes Temos o total 59 7 valores 0) (D) Sejam a < b < c < d < e as massas dos cico estudates Temos etão que a b 90 e d e 0 Somado as massas de todos os possíveis pares de estudates, temos que a b c d e 956 a b c d e Logo, c 8 ( ) 9 ) (E) Temos que ( 0 ) f ( 670) ( f ( ) ) 9 f ( ) 6 f ( ) f ( 7) 9 f ( ) 7 f ( 8) 8f ( ) Logo, ( 0 ) f f Mas ) (C) Como A PE ˆ ABˆ E 90, o quadrilátero APBE é iscritível Da mesma maeira, o quadrilátero DBQC é iscritível Assim, temos que PBA ˆ PEˆ A e que QBC ˆ QDˆ C Daí, PBQ ˆ PBA ˆ 90 QBC ˆ PEA ˆ 90 QDC ˆ Mas o triâgulo DEF, temos pelo teorema do âgulo extero que 0 AFD ˆ PEA ˆ QDˆ C Assim, P B ˆQ ) (B) Etre o dia 9 de fevereiro de um ao bissexto e o dia 9 de fevereiro do próximo ao bissexto, passam-se dias Como 6 deixa resto 5 a divisão por 7, teremos o seguite: 9 de fevereiro de 0: quarta-feira XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível

3 9 de fevereiro de 008: sexta-feira 9 de fevereiro de 00: domigo Os dias de semaas se repetem de 8 em 8 aos Assim, se 9 de fevereiro de 00 foi domigo, é porque dia 9 de fevereiro de 976 também foi domigo ) (A) Cosiderado o corte por V, W e Y, sedo k a razão de semelhaça etre a pirâmide maior e a meor, h a altura da pirâmide meor e d a diagoal de sua base, temos, por semelhaça, que: ( k ) kh h d kd k k k k 5) (A) Temos 0 lâmpadas amarelas, 0 lâmpadas verdes, 0 lâmpadas vermelhas e 0 lâmpadas azuis Detre cada cor, devemos escolher as que ficarão acesas de modo que haja pelo meos uma lâmpada de cada cor acesa Podemos fazer isso de 0 maeiras para cada cor (úmero de subcojutos ão vazios) e, como temos quatro cores, o úmero de maeiras de 0 aceder o paiel é ( ) 6) (B) Temos que a b 0, com a e b iteiros positivos Queremos maximizar e miimizar ab 0a a, cujo valor máximo é 006 Para ecotrarmos o míimo, basta ver que a fução é decrescete à direita de 006 e crescete à esquerda de 006 Assim, o míimo ocorre para a ou a 0, que os dá como valor míimo Assim, a difereça etre o maior e o meor valor é ( 006 ) ) (A) Na figura, OD e OE são mediatrizes dos lados AB e AC, respectivamete Para que o poto X esteja mais próximo de A, ele deve estar o retâgulo ADOE, para que o poto X esteja mais XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível

4 próximo de B, ele deve estar o triâgulo DBO e, fialmete, para que o poto X esteja mais próximo de C, ele deve estar o triâgulo ECO Desta forma, teremos que S ADOE S DBO p A, p B e como devemos ter p A S 6 8 ABC S 6 8 ABC pb pc, p C Etão, p A > pb pc 8) (A) Digamos que as criaças receberam a, a b, a b c, a b c d e a b c d e 5 balas, ode cada variável é iteira ão-egativa Devemos ter 5 b c d e 6,0,0,0,, a As possibilidades são ( ) ( 0,,0,,0 ), ( 0,,0,0, ), ( 0,0,,0,0), ( 0,0,,0, ), ( 0,0,,, ), ( 0,0,0,, ), (,0,0,,) ( 0,0,0,,0 ) e ( 0,0,0,0,6), totalizado 0 modos 0, Observação: Podemos chegar a equação 5 a b c d e 6 diretamete usado o diagrama de Ferrers Veja mais em 9) (B) Cosidere os cojutos {,,9,6,5 }, {,8,8 }, {,}, { 5,0} e {,} 6 Diremos que um subcojuto satisfazedo as propriedades do euciado é supimpa Para que um subcojuto seja supimpa, ele só pode possuir o máximo um elemeto de cada um dos cojutos listados Assim, um subcojuto supimpa possui o máximo 5 6 elemetos Um exemplo de um subcojuto supimpa com 6 elemetos é {,,,5,6,7,0,,,,5,7,9,,, } Portato, o úmero máximo de elemetos de um subcojuto supimpa é de fato 6 0) (C) Temos que ( ) 0 0 e e ) (D) Temos que 0 0 e 0 e e e ( )! ( ) e ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) que 0 ( mód ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )( 0 )( 0 ) Assim, 0 ( ) ( mód )! 5e! Temos Assim, a maior potêcia de que divide 0 50 é Também temos que ( ) ( mód ) Daí, a maior potêcia de que divide mód8, o que os dá que também é Fialmete, ( ) ( mód 8), dode a maior potêcia de que divide ( 0 )( 0 )( 0 ) é 6 XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível

5 ) (A) Pela simetria da figura, temos que EDB ˆ FDˆ C Pelo Teorema de Morley, temos que E D ˆF 60 Além disso, B D ˆC 50, pois D BC ˆ DCˆ B 5 Daí, teremos que E D ˆB 75, dode o triâgulo BED é retâgulo em E A hipoteusa BC do triâgulo ABC é igual a Traçado a altura relativa à base do triâgulo isósceles BDC, temos que BD e o triâgulo BED, temos que ED BD se5 e daí cos5 ( ) 6 ED ta5 Observação: Usado a fórmula ta( a b) ta 5 ta 0 ta5 ta( 5 0 ) ta 5 ta 0 ta a tab, temos que ta a tab ) (B) Sejam x, y, z, w as quatidades de s, s, s e s usados Queremos miimizar x y z w, dada a restrição de que x y z w 0 e que todas as variáveis são iteiras positivas Se x, y, z, w 6, temos todas as restrições satisfeitas e x y z w 70 Provaremos que esta é de fato a soma míima Seja x y z w k Primeiramete, ote que k é par, pois x y z w 0 Supoha que k 66 Assim, como x, y, z, temos que w 6 Como z ( x y z) ( k ) ( k w) w k 8w x y w, temos que 0, cotradição Assim, basta testarmos k 68 Neste caso, usado a estimativa aterior, chegamos a 68 8w 0, dode w 6 Mas temos que w é o máximo 6 e, portato, temos dois casos a cosiderar: º caso: w 6: XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível

6 x y z 5 x y z 59 Aqui, temos que x, y, z x y z 5, cotradição º caso: w 6: x y z x y z 8 Aqui, só temos a solução iteira x, y 0, z, o que ão é permitido, pois as variáveis são todas positivas Desta forma, o valor míimo para a soma é 70 ) (E) Temos que xz yz z xy xz x yz yx y Somado todas as equações, teremos que ( xy yz zx) xy yz zx Assim, xyz xy yz zx 0 ou xyz Se xy yz xz 0, teremos que xyz Note que se ocorre xy yz zx 0 e xyz, teremos que zx zy xy x y z z Aalogamete, obtemos todas as outras equações do sistema Desta forma, basta que xy yz zx 0 e xyz para que o sistema seja satisfeito Fialmete, mostraremos que existem ifiitas triplas que satisfazem essas duas equações y z Tomado x, devemos ter yz y z y z 0 Para que esta equação teha yz yz solução real, devemos ter seu discrimiate, que é z, ão egativo Tomado, portato, z, com z ão ulo, teremos x e y correspodetes e o sistema possui ifiitas soluções 5) (B) Deotaremos por a ij o úmero que está a iterseção da i-ésima liha com a j-ésima colua Se i j, temos que a a mdc ( i, j) mmc( i, j) ij e temos que a ii i Assim, o ij ji 00! ij 00! 00! 00! i< j 00 produto de todos os úmeros da tabela é ( ) 99 ( ) 00 XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível