BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

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1 BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 01 GABARITO COMENTADO 1) a + b + c + d = 1 a + b + c = 1 a + b + c + d + 9 = 1 a + b + c + 9 = 1 a + b + c + d = 1 ( I ) a + b + c = 9 ( II ) substituido ( II ) em ( I ): 9 + d = 1 d = [A (B C)] = d = 10 ) Cadidatos que farão ITA e NAVAL = x Cadidatos que farão IME e NAVAL = x Cadidatos que farão IME e ITA = 4x Caditados que farão IME, ITA e NAVAL = zero IME = 15 Cadidatos que farão apea IME = 15 (IME e NAVAL) (IME e ITA) = 15 x ITA = 15 Cadidatos que farão apeas ITA = 15 (ITA e IME) (ITA e NAVAL) = 15 5x NAVAL = 1 Cadidatos que farão apeas NAVAL = 1 (NAVAL e ITA) (NAVAL e IME) = 1 x 15 X + 4X X + 1 X + X + X = X = 00 7X = 49 X = 7 Cadidatos que farão apeas NAVAL: 1 x = 1 1 = 40 ) Para um úmero cujo algarismo das dezeas é a e cujo algarismo das uidades é b, temos 10a + b = (a + b) ou a + b = (10a + b) A seguda equação ão tem soluções positivas, e a primeira equação temos 10a + b = (a + b) 10a + b = a + b a = b Necessariamete temos a = 1 e b = De fato, o cartão de úmero 1 a soma dos algarismos é 9 4) Como temos = 4 torcedores ão coritiaos, a fila deve existir, sempre etre dois torcedores coritiaos, exatamete um torcedor de outra equipe

2 5) 10a+ b= 5( a+ b) 5a= 4b a= 4, b= 5 54 = 9 ) Seja XYZ um úmero de três dígitos que detoa 14 Devemos ter X = 4, 5,, 7, ou 9; Y =,,, 9 e Z = 5,, 7, ou 9 Portato, temos opções para o primeiro dígito, para o segudo e 5 para o terceiro Ou seja x x 5 = 40 7) Seja P o úmero de fucioários que falam Português e I o úmero de fucioários que falam Iglês É fácil ver que, 0 0 P + I= I P= 4I Além disso, 4 I + I I = 4 I = 0 Com isso, o úmero de fucioários que falam as duas líguas é 0 4I = ) No úmero existem 50 algarismos e 50 algarismos 9 Para retirar a meor quatidade possível de algarismos, devemos tetar deixar a maior quatidade possível de algarismos Porém, a soma de todos os algarismos é 1004 Aida falta 1004 para completar a soma 00 Como 1004 = 9 x devemos deixar pelo meos 111 algarismos 9 Porém, é impossível deixar exatamete 111 algarismos 9 Se deixarmos 11 algarismos 9, devemos deixar 500 algarismos Portato, deve-se retirar o míimo + 90 = 9 algarismos 9) Podemos utilizar apeas os dígitos 0,1,,4,,9 Para o dígito das ceteas temos 5 possibilidades, ão podemos utilizar o dígito 0, para escolhermos os demais dígitos temos possibilidades Assim pelo pricípio multiplicativo, temos 5 = 10 úmeros 10) Os úmeros 1,, possuem um algarismo Os úmeros 4, 5,, 9 possuem dois algarismos Os úmeros 10, 11,, 1 possuem três algarismos Assim, ao escrever o quadrado do úmero 1, o úmero de algarismos escritos é 1 x + x + x = 1, faltado escrever 19 algarismos Com os quadrados de,, 4 e 5, temos mais 4 x 4 = 1 algarismos, faltado aida escrever apeas três algarismos Como o quadrado de é 19, cocluímos que o último algarismo escrito foi o 9, o cetésimo algarismo escrito por Esmeralda 11) Como ( ) 1 1, a soma dos dígitos de todos os úmeros que Agilulfo deve escrever é cogruete a 1 módulo Portato, quado Agilulfo obtiver um úmero de um úico dígito, ele vira 1 1) x y 00 4x 5y 00 + ( xy 0) 00 = 4 y y y Como 00 é irracioal, devemos ter xy 0 = 0 xy = 0 1) Multipliquemos primeiro os dois últimos radicais Obtemos : + Agora multipliquemos este fator ecotrado pelo segudo fator da expressão Obtemos: Fialmete multipliquemos este resultado pelo primeiro fator da expressão + = 1

3 ( ) 14) ( 10 7 ) 1 ( ) = + ( ) = = =,logo = 4 15) seja = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9 x = 4 x = 1) Como ² < 10, temos 400 < Além disso, como 4 > ³ 10, também temos 400 = ( 4 ) 100 > (³ 10) 100 = Note que 4 = 1 > 10, e assim 400 = = ( 4 ) > Daí, podemos cocluir que 400 possui etre 175 e 00 dígitos 17) Se o úmero iteiro positivo é = abcd, em que a é o 1 algarismo, b é o, c é o e d é o 4, etão: a²+ d²= 5 (I) b²+ c²= 5 (II) abcd 1 = dcba ) Os quadrados dos algarismos decimais que podem satisfazer são: 0²= 0, 1²= 1, ²= 4, ²= 9, 4² = 1, 5²= 5, ²=, 7²= 49 ) Os úicos algarismos que satisfazem (I) são: (a = e d = 7) ou (a = 7 e d = ), pois = 5 4) Os úicos algarismos que satisfazem (II) são: (b = 4 e c = ) ou (b = e c = 4), pois 1 + = 5 5) Os possíveis úmeros são 47, 47, 74 ou 74 ) O úico úmero que satisfaz é 74, pois 74 1 = 47 Resposta: O úmero é 74 1) Se a afirmação falsa fosse de Márcio ou de Souto, sigificaria que Vaderlei e Dailo fizeram afirmações verdadeiras Mas se Dailo tivesse todas as cartas vermelhas, só haveria úmeros dispoíveis para Vaderlei pegar Etão, a afirmação falsa só pode ser de Vaderlei ou de Dailo Se a afirmação falsa foi de Vaderlei, Dailo deve ter as 5 cartas vermelhas, etão sobram as 5 cartas verdes para Márcio Mas assim ão há como Souto possuir cartas de um mesmo úmero A afirmação falsa ão pode ser de Vaderlei Se a afirmação falsa foi de Dailo, etão podemos motar a seguite tabela de cartas e assialar a iicial de quem possui cada uma

4 Azul A B B D D Amarelo A B B D D Verde A C C B D Vermelho A C C C A Assim, só Dailo pode ter feito a afirmação falsa 19) a 9 úmeros algarismos úmeros 10 algarismos Aida restam 11 algarismos e portato aida coseguimos formar 0 úmeros de algarismos Assim, o livro de Pedro Atôio tem = 705 págias 0) Etre os úmeros 1 e 100 o algarismo aparece dez vezes como dígito das dezeas e dez vezes como dígito das uidades O mesmo ocorre com os algarismos 4, e Portato, a soma pedida é 0 ( ) = 400 1) HPQ FQP( LAA o ) HP= FQ= K e PF HQ BHG AFG( LAA o ) AG= BG = e HG = GF AGF~ QPF = K K = 4 K = + No GBH: GH = 5 GH No HPQ: HQ = 4 + HQ = 5 Logo, a distâcia total percorrida pelo feixe lumioso o trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/ + 5/ + 5 = 15 cm ) A circuferêcia de cetro A e raio AB cotém os potos C, D e E Logo a medida do âgulo iscrito EBC é igual a metade da media do âgulo cetral EAC α ou seja, β= =α= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Como CE = CD, m CED = 10 0 = 0 Logo m CED = 10 0 = 100 e, como BE = CE, β= ( ) = 40 Além disso, m CED 0 o valor da razão α β é 50 5 = 40 4 = = e, AE = BE, ( ) α= 10 0 = 50 Portato

5 5 4) Observe que os triâgulos ABH e ABH, são cogruetes Daí o âgulo A B H = A B H = 0 5) Os triâgulos BNM e BAC são semelhates pelo caso LAL, etão os segmetos AC e NM são paralelos Assim, os âgulos NMP e MPC devem ser iguais, e como MPC é igual a 90, temos que NMP também é igual a 90 ) Como a bola sofre reflexão perfeita, ao refletir a mesa em relação a cada lado em que a bola bate obtém-se uma liha reta Repetido as reflexões obtemos a seguite figura, em que a trajetória da bola é reta: A Assim, o problema é equivalete a ecotrar uma trajetória em um retâgulo de dimesões iteiras m e, dividido em m quadradihos uitários, que começa em um vértice, termia o vértice oposto e corte os lados dos quadradihos uitários 010 vezes, sem passar por ehum dos vértices iteros dos quadrados uitários (pois se passasse, a bola chegaria a um vértice do quadrado ates de 010 rebatidas os lados) Como a bola deve atravessar m 1 quadrados em um setido e 1 o outro, m = 010 m + = 01; como a bola ão passa por vértices do quadrado uitário, mdc(m, ) = 1 mdc(m, m + ) = 1 mdc(m, 1 1 (01) = ( 50) = = ) Observe que o quadrilátero BEFD é iscritível e que o âgulo BED = 0 = BFD O âgulo BFC =BFD +CFD = = 90

6 ) Vamos costruir o triâgulo equilátero BCP, como a figura Como BD = AC, coclui-se, portato que os triâgulos ABC e BDP são cogruetes Como a medida do âgulo CPD = 0, logo a medida do âgulo BDC = 150 O âgulo assialado (BCD ) = 10, etão a medida do âgulo BCD = 0 9) O triâgulo ACP é retâgulo e DP é a mediaa relativa à hipoteusa Observe que AD = DC = DP = CP = PC O âgulo PDB = PBD = x = 15