ENC 2003 MATEMÁTICA. Questão 1. 0 x 3 e. Questão 2. Questão 3. x 2 + 6xy + 6xy 4y 2, isto é: f(x,y) = x xy 4y 2. (valor: 5,0 pontos) x y 1: 3

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1 Questão a) A região de itegração é a região hachurada em: 0 x 3 e x : 3 x x b) I e ddx e dxd x 3 (valor: 0,0 potos) c) I e. x d 3. e d e e Questão a) Os elemetos do grupo G são as classes a que pertecem os úmeros primos com 8, ou seja: G { _ ;5;7;;3;7 _ }. (valor: 0,0 potos) b) De fato, g _ 5, pois 5 0 (mod 8) ; (mod 8) ; (mod 8) ; (mod 8); (mod 8) e (mod 8) (valor: 0,0 potos) Questão 3 6 x x + 6 a) f(x,) [x,] [ x ] 6 4 6x 4 x + 6x + 6x 4, isto é: f(x,) x + x 4. λ 6 b) Para achar os autovalores de A, resolvemos a equação det(a λ I) λ ou (λ 5) (λ + 8) 0, obtedo λ 5 e λ 8. Para λ 5, um autovetor x x 3 satisfaz 4x + 6 0, ou seja, é um múltiplo de. Para λ 8, um autovetor x satisfaz 9x + 6 0, ou seja, x é um múltiplo de. 3

2 Portato, um par de autovetores ortoormais de A é 3 e Basta, etão, tomar P ; como P é ortogoal, P P t. De fato: P A P que é uma matriz diagoal. (valor: 0,0 potos) c) Se [ x ] 3 x 3 3 etão f(x,) v t 5 0 A v ( Pv) tapv vtptapv vt v 5x Observação: O graduado ão é obrigado a seguir a sugestão de usar autovetores ortoormais, podedo usar autovetores ortogoais; isso permitiria, o item c), respostas da forma k(5x 8 ), k positivo. Questão 4 a) p(x) é de grau e p'(x) de grau, logo q(x) deve ser do º grau, isto é, da forma q(x) ax + b. Sedo x + a x a x + a 0 (ax + b) [x + ( ) a x a ], efetuado-se o produto e igualado-se os coeficietes de x, obtém-se: a., dode a /. Fazedo-se x 0 b., tem-se q(x) (x x 0 ). b) Da equação qp' p 0 temos (x x 0 ) p' p 0, que é uma equação diferecial de variáveis separáveis. Nos potos em que p 0 e x x 0 é possível separar as variáveis, fazedo a divisão por (x x 0 )p: p' p x x, cuja solução é: l p l x x 0 + c ou p(x) k. x x 0 para uma costate k positiva ou p(x) k (x x 0 ) para 0 uma costate real ão ula qualquer. Observações: A solução p 0 é solução dessa equação, mas tem a derivada ideticamete ula, ão satisfazedo, portato, a codição do problema dado. Nos outros casos, por cotiuidade ou verificação direta, p(x) é solução da equação mesmo o poto x 0 em que se aula. Tem-se, etão, que todos os poliômios da forma k (x x 0 ), com k 0, são divisíveis por sua derivada e, pelo raciocíio acima, só estes satisfazem essa propriedade. Questão 5 ( f. X a) ) ( f. X + ) ( f. X ) + 3 X X X div( fx ) f f + X f f X X 3 f div X f X x z x z x z f f f x z b) div (f f ) f div f + f f f f f f + f. x z

3 c) f S N ds f N ds S e, pelo Teorema de Gauss Ostrogradsk, segue f NdS div f dv, ode dv é o elemeto de volume de B. S B Substituido, a fórmula o item b), as codições do item c), tem-se 5 f f div f + f f f div f + f f div f + f. Daqui, sedo f ão ula, div f 3. Dode: B div 4 π f dv 3 dv 3. 4π. B 3 (valor: 0,0 potos) Questão 6 a) De fato, multiplicado 0 < x < por x > 0, tem-se 0 < x < x. Multiplicado-se 0 < x < por tem-se 0 < x < 4, dode 0 < x < x < 4 e, cosiderado as raízes quadradas 0 < x < f (x) <. b) Mostremos que, pela defiição e pelo item a), a seqüêcia a está bem defiida e é crescete e limitada superiormete. Com efeito, a, etão 0 < a <. Tem-se que a está bem defiido e 0 < a < a <. Supohamos que 0 < a < a <... < a < a < ; ovamete, tem-se pelo item a) que a está bem defiido e 0 < a < a <. Ou seja, a seqüêcia dada é crescete e limitada superiormete ( é cota superior), sedo, portato, covergete. c) O limite existe e pertece ao itervalo ], ]. Além disso, pela cotiuidade de f, obtém-se lim a+ lim f(a ) f(lim a ) ou seja, lim a f(lim a ). Assim, lim a é uma solução da equação x f(x), o itervalo ], ]. Ora, as soluções de x x são as soluções de x x, que são 0 e, logo a úica solução o itervalo em questão é, dode lim a. (valor: 0,0 potos) a alterativa de solução: b) a / ; a ( /+ ) / /(+/) ; mostraremos por idução que a seqüêcia costitui-se de potêcias com base cujos expoetes são as reduzidas (somas parciais) da série geométrica de razão e º termo iguais a ½. Com efeito, supodo que a ( )..., teremos a + ( ) ( ). + Sedo covergete a série dos expoetes (série geométrica de razão ½ < ), pela cotiuidade da expoecial de base, segue que a seqüêcia a é covergete. lim ( ) c) Pela cotiuidade da expoecial, o limite em questão é: lim a Como , tem-se afial: lim a. - 3

4 3 a alterativa de solução: b) Pelo item a), a fução f leva o itervalo [, ] ele próprio e, sedo f '(x), tem-se que f '(x) é positiva e decrescete, etão, x o itervalo em questão, f '(x) f ' ( ) < 0,6 <. Ou seja, f é uma cotração do itervalo [, ] ele mesmo e, pelo Teorema do Poto Fixo de Baach, qualquer seqüêcia defiida por a + f (a ) com a [, ] coverge para o úico poto fixo dessa cotração esse itervalo. c) Pelo Teorema do Poto Fixo de Baach, esse limite é o úico poto fixo da cotração f o itervalo [, ]. Calculado as soluções de x x, tem-se que elas são as soluções de x x, que são 0 e. O poto fixo o itervalo em questão é, portato, x, dode lim a. Observação: Uma 4 a alterativa será refazer a prova do Teorema do Poto Fixo de Baach, para este caso especificamete, mostrado que a seqüêcia dos a é de Cauch, usado um majorate meor que para a derivada de f, que, o caso, pode ser 0,6. Prova-se que 0 < a +p a < (0,6 +p+ + 0,6 +p ,6 + 0,6 ) (a a ) e os demais resultados se seguem de raciocíios aálogos. 5 a alterativa de solução: Provaremos diretamete que lim a. Primeiramete, observemos que a e que, se a, etão a + a, o que prova, por idução, que a para todo atural. a a a. a + a a a Daí, a 0 a para todo atural, e, pelo teorema do cofroto (saduíche), lim a. 4

5 Questão 7 π π a) A altura máxima será igual a metros. A velocidade agular será de rad/s π b) É falsa porque a altura do passageiro para t 5s será igual a + 5 5cos ,4 m < 8 m. c) Aos 75s a altura será igual a cos π ,6 m. 60 πt d) ht () 7 5. cos, para t etre 0 e h t Questão 8 a) Fazedo u bt, tem-se: dt du ; u b, se t ; u ab, se t a. Daí,. du du b a ab b dt. u ab ab dt t b b b u b t b) l ( ab ab ) dt b dt ( ) ( ). ab dt b dt a dt l b l a t t b t t t (valor: 0,0 potos) (valor: 0,0 potos) Questão 9 a) Seja F o úmero de faces e A o úmero de arestas do poliedro em questão. A soma dos âgulos iteros de cada face é igual a ( ). 80 o, ode é o úmero de lados dessa face. A soma S de todos os âgulos iteros de todas as faces do poliedro será: F F F S.... ( ) 80 Mas (.. k ) k k F 360 A 80 F ( A F ) porque cada aresta do poliedro k k k é lado de de suas faces. A fórmula acima agora segue da aplicação da Fórmula de Euler: V + F A +, ou: A F V. (valor: 0,0 potos) b) V A + F c) Aida que fosse possível que cada par destes 5 vértices fosse ligado por uma aresta, o úmero máximo de arestas seria C 5 (5.4)/ 0< 5. 5

6 Questão 0 a) De acordo com os PCN, os jogos ) são objetos socioculturais em que a Matemática está presete; ) são atividades aturais o desevolvimeto dos processos psicológicos básicos; 3) exploram o fazer sem obrigação extera e imposta ; 4) podem ser usados, para criaças, como jogos de exercícios para ateuar a dificuldade com a repetição de atividades; 5) ajudam o trabalho com símbolos, coveções e regras; 6) desevolvem a percepção da depedêcia da jogada do outro, o que dá lugar a um tipo de aálise mais profuda, com estudo de vários casos; 7) represetam uma coquista cogitiva, emocioal, moral e social; 8) costituem um desafio geuío e provocate que gera iteresse e prazer. b) Se o primeiro jogador escolhe x, x 7, a soma passará a ser 3 + x. Essa soma está compreedida etre 33 (iclusive) e 39 (iclusive). Bastará ao segudo jogador escolher 8 x, o que é permitido porque 8 x está compreedido etre (iclusive) e 7 (iclusive), e auciará a soma 3 + x + 8 x 40, gahado o jogo. c) 3 é posição gahadora, coforme exposto o item aterior. Raciocíio aálogo mostra que são gahadoras as posições 4, 6, 8. O segudo jogador pode gahar sempre, respodedo a cada escolha x do adversário com a escolha 8 x. d) Progressões aritméticas. Questão Nessa questão, espera-se que o formado escolha uma estratégia e defeda coeretemete essa estratégia. Por exemplo: Uma possível justificativa para o iício do estudo da Geometria pelos objetos tridimesioais é que estes são parte itegrate da realidade do aluo: ele lida com caixas, joga bola, usa latas, etc. A apredizagem se tora mais fácil ao lidar com objetos cocretos do que com abstrações, as quais ão devem preceder os exemplos cocretos. A partir daí são itroduzidas as figuras de dimesão meor como faces, arestas e vértices de poliedros, etc. A ordem de Euclides permite mais facilmete um ecadeameto lógico. Uma possível justificativa para a ordem de Euclides é que o aluo também lida com paredes, tampos de mesas, letras, etc. que servem como modelos cocretos de coceitos abstratos. (valor: 0,0 potos) Questão a) Cabri (programa fracês Cabri Géomètre), GEOPLAN, Geometer s Sketchpad, Ciderella, Geometric SuperSupposer, Geometr Ivetor são algus deles. Em lihas gerais, cada um deles, de acordo com seus recursos, traça figuras como se usássemos régua e compasso; permite a trasformação de figuras, matedo propriedades selecioadas e forece medidas. (valor: 0,0 potos) b) Deverão ser idicadas duas vatages, como por exemplo: seu caráter exploratório; a facilidade de costruir uma grade quatidade de exemplos, com escalas mais precisas; visualização do resultado da aplicação de trasformações. c) Poderá ser apresetado qualquer dos exemplos a seguir. Num triâgulo isósceles, a altura, a mediaa e a mediatriz relativas ao lado diferete coicidem. Em qualquer triâgulo, as alturas relativas aos 3 lados se ecotram um mesmo poto. Propriedades aálogas para bissetrizes, mediaas e mediatrizes. Um quadrilátero com 4 lados cogruetes pode ão ter os 4 âgulos cogruetes. Um triâgulo com os 3 lados cogruetes tem, ecessariamete, os 3 âgulos cogruetes. Num plao, o lugar geométrico dos potos cuja soma da distâcia a dois outros é costate é uma elipse. 6