2. Revisões e definições de matrizes

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1 Apotametos de Processameto Adaptativo de Siais 2. Revisões e defiições de matrizes

2 Breve revisão de propriedades de matrizes 1. Valores próprios e vectores próprios A cada matriz quadrada A, de dimesões NxN, podemos associar um cojuto de N valores escalares λ j, chamados valores próprios. A cada valor próprio λ j está associado um vector Q, chamado vector próprio. j Os valores próprios da matriz A determiam-se resolvedo a equação homogéea [ A λi] Q j = 0 Q vector colua Nx1 j 0 vector ulo Nx1. A equação aterior tem soluções ão triviais para λ e Q se e só se o determiate det[a λi] = A λi for ulo: j A λi = 0 Esta é a equação característica de A. Revisão de matrizes 2-2

3 Breve revisão de propriedades de matrizes Valores próprios e vectores próprios (coti.) Desevolvedo [ A λi] Q j = 0 para j = 0,, N -1: λ A[ Q 0 Q 1... Q N 1 ] = [ Q 0 Q 1... Q ] λ 1 N 1.. Q Q λ N 1 Λ matriz diagoal dos valores próprios de A Q matriz dos vectores próprios, ou matriz modal, de A. Q é uma matriz ortoormal: Q H Q = I e Q 1 = Q H Λ H Q i Q j = 1 i = j 0 i j i, j = 0,1,, N 1 (Cada Q j tem comprimeto uitário e é ortogoal a cada um dos outros vectores próprios) Q j é o vector próprio de A associado ao valor próprio λj A partir de AQ = QΛ obtemos a forma ormal de A: A = QΛQ 1 = QΛQ H (equivalete a Q 1 AQ = Q H AQ =Λ) Ao quociete etre o maior e o meor valor próprio chama-se disparidade de valores próprios, D: D = λ max λ mi Revisão de matrizes 2-3

4 Exemplo de cálculo de valores e vectores próprios 0,5 0,25 B = 0, 25 0,5 1. Determiação dos valores próprios de B det[ B λi]= 0,5 λ 0,25 0,25 0,5 λ = λ2 λ + 0,1875 = 0 Solução: λ = 0,25 0,75 Λ= 0, ,75 Disparidade: D = 0,75 0,25 = 3 2. Determiação dos vectores próprios de B Determiam-se a partir de BQ j = λ j Q j ou [ B λi] Q j = 0. Fazedo as cotas, com Q = [ Q 0 Q 1 ]= q 00 q 01 q 10 q 11 : 0,25 0,25 0,25 0,25 q 00 q 10 0,25 0,25 0,25 0,25 = 0 q00 c1 q = 10 c 1 q 01 q 11 = 0 q 01 = c 2 q 11 c 2 c costate 1 c 2 costate Vamos ormalizar a matriz Q (de modo que QQ T = I): QQ T = c 1 c 2 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 = c c c 1 + c2 2 2 c 1 + c2 2 2 = I c 1 + c2 c 1 =±c 2 = 1 2 Q = Vectores próprios são ortogoais: Q 0 Q 1 = q 00 q 01 + q 10 q 11 = 1 1 = 0 Revisão de matrizes 2-4

5 Breve revisão de propriedades de matrizes 2. Matriz iversa Uma matriz A tem iversa A -1, se esta for tal que AA 1 = I. É codição ecessária e suficiete de existêcia de iversa que o determiate de A seja diferete de zero. Uma matriz ivertível deomia-se matriz regular. Se ão for ivertível diz-se sigular. 3. Matriz trascojugada A = j 1 2 j j 3 + j j 4 j A H = j 3 3 j Matriz hermiteaa Uma matriz A é hermiteaa se for igual à sua matriz trascojugada, A = A H. Os elemetos da diagoal pricipal de A são ecessariamete reais. Exemplo: j 3 5 j j j 2 5 j 2 + j 8 4 j j 5 + j j 4 2 j j 2 2 j j 10 5 j 7 j 2 Uma matriz hermiteaa de elemetos reais é, obrigatoriamete, uma matriz simétrica. Revisão de matrizes 2-5

6 Breve revisão de propriedades de matrizes (coti.) 5. Matriz de Toeplitz Numa matriz de Toeplitz os elemetos da diagoal pricipal são iguais e os elemetos das outras "diagoais" paralelas também. Exemplo: Traço de uma matriz quadrada O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elemetos pricipais da matriz: a 11 a 12 a 1N a 21 a 22 a 2N A = a N1 a N2 a NN tr[a] = a ii N i=1 O traço de uma matriz é também igual à soma dos seus valores próprios: tr[a] = N 1 λ j Exemplo: A = tr[a] = = 2 Valores próprios: λ 0,1 = 4,075 ± j2,736, λ 2 = 6,15 2 λ j = 2 = tr[a] Revisão de matrizes 2-6

7 Defiições de vectores e matrizes para uso futuro Cosideremos o filtro trasversal com N coeficietes: a() a(-1) a(-2) a(-n+1) Etrada z 1... z 1 c 0 () c 1 () c 2 () c N-1 () Resposta desejada d() z 1 y() Saída do filtro Erro e() Esquema geérico de processameto Vamos defiir os seguites vectores e matrizes: Vector de dados de etrada: a() = [ a() a( 1) a( N + 1) ] T Vector dos coeficietes do filtro o istate : c() = [ c 0 () c 1 () c N 1 ()] T Vector de correlação cruzada p etre a resposta desejada d() e a sequêcia de etrada a(): p = E[d()a()] Se em vez de uma média de cojuto usarmos uma média temporal obteremos uma defiição diferete: p ˆ () = d( j)a( j) Repare-se que o úmero de parcelas aumeta com. Revisão de matrizes 2-7

8 Defiições de vectores e matrizes para uso futuro Matriz de autocorrelação de etrada É uma matriz de dimesões N x N defiida como T R= E a( ) a ( ) = 2 a( ) aa ( ) ( 1) aa ( ) ( N+ 1) 2 aa ( ) ( 1) a( 1) a ( 1) a ( N+ 1) = E 2 aa ( ) ( N+ 1) a ( 1) a ( N+ 1) a ( N+ 1) (se os elemetos do vector a () forem reais) R = E[a()a H ()] = a() 2 a ( 1) a() a ( N + 1)a() a ()a( 1) a( 1) 2 a ( N +1)a( 1) = E a ()a( N +1) a ( 1)a( N +1) a( N + 1) 2 (se os elemetos do vector a () forem complexos) Se usarmos uma média temporal em vez da média de cojuto aterior obteremos uma ova defiição: R ˆ () = R ˆ () = a( j)a T ( j ) j =0 H a( j)a ( j ) j =0 (com elemetos reais) (com elemetos complexos) Tal como em p ˆ (), também em R ˆ () o úmero de termos aumeta com. Com apeas elemetos reais podemos substituir as fórmulas o expoete H (trascojugação) pelo expoete T (trasposição). Revisão de matrizes 2-8

9 Propriedades da matriz R Matriz R 1. R é uma matriz quadrada hermiteaa. Se os seus elemetos forem reais a matriz é simétrica. 2. R é uma matriz de Toeplitz, pois tem elemetos idêticos ao logo de diagoais simétricas. 3. R é quase sempre uma matriz defiida positiva (se ão, é semidefiida positiva). Diz-se que uma matriz é defiida positiva se a forma quadrática v H Rv > 0 para qualquer vector ão ulo v. Se v H Rv 0, diz-se que é semidefiida positiva. v H Rv = v H E[ a()a H ()]v = E v H a() ah ()v = [ Exx ]= E[ x 2 ] 0 x A variável aleatória x é um escalar complexo. Se for diferete de zero, o que é vulgar, etão v H Rv > 0. Isto implica que R é quase sempre regular, isto é, ivertível. 4. Os valores próprios são reais (por ser hermiteaa) e quase sempre positivos. x Revisão de matrizes 2-9

10 Propriedades da matriz R ˆ () Matriz R ˆ () 1. R ˆ () é uma matriz quadrada hermiteaa. Se os seus elemetos forem reais a matriz é simétrica. os valores próprios são reais. 2. R ˆ () ou é uma matriz semidefiida positiva ou é defiida positiva. De facto, para qualquer vector v ão-ulo de dimesões N 1 temos v H ˆ R ()v = v H a( j)a H ( j)v = [ ][ ] H = v H a( j) vh a( j ) = x 2 0 x x Sedo assim, o determiate de R ˆ () ser ulo). é ão-egativo (podedo 3. A matriz R ˆ () é muitas vezes ivertível. Porquê? Se v H R ˆ ()v = x 2 > 0, a matriz é defiida positiva, o determiate é positivo, a matriz é regular e a sua iversa R ˆ 1 () existe. Se ão for defiida positiva a matriz é sigular e ão tem iversa. 4. Os valores próprios são reais e positivos (devido a 1 e 2). Revisão de matrizes 2-10