ÁLGEBRA LINEAR. Daniele Corradetti

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR Daiele Corradetti 26 Fevereiro 2016

2 Coteúdo 1 Espaços vectoriais Itrodução Espaço vectorial Depedêcia liear Bases de um espaço vectorial Fórmula de Grassma e soma directa Trasformações lieares Defiições fudametais Isomorfismos etre espaços vectoriais Dualidade Edomorfismos e formas caóicas Elemetos fudametais Mudaça de base Subespaços ivariates, valores e vectores próprios Poliómio característico Forma ormal de Jorda Forma de Jorda o caso de V um espaço idecompoível Forma de Jorda o caso geral Forma ormal simétrica Formas bilieares e quadráticas Formas bilieares Formas sesquilieares Formas quadráticas Espaços uitários e euclidiaos Bases ortogoais e projectores Ortogoalização de Gram-Schmidt Uma aplicação A Notações e Símbolos 27 1

3 Preâmbulo Esta exposição costitui um resumo da primeira parte do curso da Álgebra Liear o âmbito do Programa de Formação Avaçada do ao lectivo 2015/16 efectuado a Uiversidade do Algarve. Esta primeira parte do curso itroduz as oções fudametais da Álgebra Liear i.e.: os espaços vectoriais, as trasformações lieares e as formas bilieares. Portato estas otas serão desevolvidas primariamete em três capítulos dedicados aos três assutos pricipais apresetados este cotexto: Espaços vectoriais: o primeiro capítulo defiimos os espaços vectoriais, as oções de depedêcia e idepedêcia liear, de base de um espaço, assim como de trasformação liear. Itroduzimos também o espaço dual de um espaço. Nos ossos estudos cosideramos só os espaços vectoriais, de dimesão fiita, sobre o corpo dos úmeros reais R ou complexos C. Algus espaços vectoriais de dimesão ifiita serão estudados outros apotametos. Trasformações lieares: o segudo capítulo é a apresetação de duas formas caóicas dos edomorfismos dos espaços complexos, i.e. a forma ormal de Jorda e a forma ormal simétrica. Cosideramos os subespaços ivariates, os vectores próprios, o poliómio característico e todas as ferrametas ecessárias para o desevolvimeto das duas formas. Formas bilieares: o terceiro capítulo são estudadas as formas bilieares e sesquilieares tais como as formas quadráticas. A última secção é dedicada a aplicação das formas quadráticas a classificação das Álgebras de Lie simples sobre o corpo dos úmeros complexos. 2

4 Capítulo 1 Espaços vectoriais Neste capítulo apresetaremos as oções fudametais dos espaços vectoriais. Na secção de itrodução trataremos das defiições e dos euciados dos teoremas fudametais que iremos utilizar as secções dos capítulos subsequetes. O objectivo da seguda secção cosiste a itrodução da oção de trasformação liear o que é essecial o teorema de isomorfismo dos espaços vectoriais de dimesão fiitas. Efim a última parte do capítulo é destiada à apresetação do espaço dual e da base caóica dual. A exposição foi desevolvida sobre um corpo K que será R ou C e os espaços vectoriais estudados serão sempre de dimesão fiita, sedo o caso de dimesão ifiita tratado os outros apotametos. 1.1 Itrodução Espaço vectorial Defiição 1. (ESPAÇO VECTORIAL) Diz-se espaço vectorial ou espaço liear sobre o corpo K um cojuto ão vazio V com duas operações biárias: uma adição de elemetos de V e uma multiplicação de elemetos do corpo K por elemetos de V chamada multiplicação escalar com as seguites propriedades: 1. V é um grupo abeliao para a adição, i.e. a soma de qualquer par de elemetos de V pertece a V e u, v, w V e possuem as seguites características: Existêcia de zero: v + 0 = v; (1.1) Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w; (1.2) Existêcia de simétricos : v + ( v) = 0; (1.3) Commutatividade da adição: v + w = w + v. (1.4) 2. e a multiplicação escalar com as seguites propriedades: v, w V e λ, µ K Distributividade: λ(v + w) = λv + λw; (µ + λ)v = µv + λv; (1.5) Associatividade: λ(µv) = (λµ)v; (1.6) Existêcia da idetidade: 1v = v; (1.7) Elemeto absorvete: 0v = 0. (1.8) Os elemetos de K são chamados escalares e vectores os elemetos de V. 3

5 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VECTORIAIS Depedêcia liear Defiição 2. (SUBESPAÇO) Seja V um espaço vectorial sobre K. Diz-se que W é um subespaço vectorial de V se W é um subcojuto de V que é ele próprio um espaço vectorial sobre K com as mesmas operações de adição e multiplicação escalar do espaço V. Defiição 3. (SUBESPAÇO GERADO) Sejam v 1,.., v k vectores de V. Defiimos como subespaço gerado de v 1,.., v k idicado por spa(v 1,.., v k ), o subespaço vectorial de V formado por todas as combiações lieares dos vectores v 1,.., v k, i.e. { } spa(v 1,.., v k ) = w V λ 1 v λ v = w, λ i K. (1.9) Defiição 4. (DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR) Diz-se que um subcojuto S de elemetos de um espaço vectorial é liearmete idepedete se as úicas combiações lieares fiitas de elemetos de S que são iguais ao vector ulo são as combiações lieares com coeficietes escalares ulos, i.e., quaisquer que sejam os elemetos v 1,.., v S, a equação λ 1 v λ v = 0, (1.10) implica λ i = 0 para i = 1,...,. Um subcojuto de V que ão é liearmete idepedete diz-se liearmete depedete Bases de um espaço vectorial Defiição 5. (BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO) Seja V um espaço vectorial. Etão qualquer subcojuto liearmete idepedete E = {e i } i I de V, que gera o espaço V é chamado base do espaço vectorial. Se um espaço vectorial V tem uma base que é um cojuto fiito etão o espaço V diz-se de dimesão fiita ou dimesão ula se V = {0} e a cardialidade da base é chamada dimesão de V sobre K, idicada por dim K (V) ou dim(v). Caso cotrario diz-se que V possui dimesão ifiita. Sedo que por hipótese os vectores da base E geram todo o espaço vectorial V, etão dado u vector v V e uma base E é possível escrever uivocamete v como combiação liear dos elemetos da base. Os coeficietes escalares que permitem de escrever essa combiação liear são chamados de coordeadas ou compoetes do vector a base. Defiição 6. (COORDENADAS) Sejam v V e E uma base de V. Chamamos de coordeadas de v a base E, i.e. [v] E = (ξ 1,.., ξ ), os coeficietes escalares ξ 1,.., ξ K da combiação liear v = ξ i e i. (1.11) Por coseguite se cosiderarmos um vector v o espaço vectorial V e duas bases do espaço E e F, etão o mesmo vector v possui duas represetações distitas [v] E e [v] F as bases E e F respectivamete. Seja a matriz de mudaça de base C E F a matriz cujos elemetos c i j são os escalares que em cada colua cotêm as coordeadas dos vectores da base E a base F i.e.: e j = c i j f i. (1.12)

6 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VECTORIAIS 5 Nesse caso a mudaça etre a base E e a base F implica uma mudaça as coordeadas do vector as duas bases, i.e. [v] E = (ξ 1,.., ξ ) e [v] F = (η 1,.., η ), segudo a seguite fórmula: v = j=1 ξ j e j = ξ j c i j f i = i, j η i f i. (1.13) Explicitado a mudaça de base directamete pelas coordeadas a base F a partir da base E obtemos η i = j=1 ξ j c i j, (1.14) que exprime as ovas coordeadas por meio da matriz de mudaça de base C E F Fórmula de Grassma e soma directa Se cosiderarmos dois espaços vectoriais V 1 e V 2 a itersecção V 1 V 2 é um subespaço vectorial dos dois, mas em geral a uião V 1 V 2 ão coserva a estrutura de espaço vectorial. Resulta portato útil a seguite defiição: Defiição 7. (SOMA E SOMA DIRECTA) Sejam V 1, V 2 subespaços vectoriais de V. Chamamos soma etre espaços vectoriais o espaço vectorial V 1 + V 2 = {v V v = v 1 + v 2, ode v 1 V 1, v 2 V 2 }. (1.15) Ademais se V 1 V 2 = {0} chamamos a soma de soma directa e idicamos com V 1 V 2. Observação 8. Se B 1 e B 2 são dois bases respectivamete de V 1 e V 2 etão B = B 1 B 2 é uma base por V 1 V 2. Teorema 9. (FÓRMULA DE INTERSECÇÃO DE GRASSMANN) Sejam V 1, V 2 espaços vectoriais de V. Etão é verdadeira a seguite fórmula: dim(v 1 ) + dim(v 2 ) = dim(v 1 V 2 ) + dim(v 1 + V 2 ). (1.16) Se um espaço vectorial é soma directa de m subespaços, ou seja V = m V i, dizemos que V é decompoível em soma direita de subespaços. Se um espaço V ão é decompoível chamamos de idecompoível. 1.2 Trasformações lieares As trasformações lieares são as aplicações que preservam a estrutura liear etre espaços. Essa defiição permite defiir os isomorfismos e portato classificar todos os espaços vectoriais de dimesão fiita sobre um corpo K Defiições fudametais Defiição 10. (TRANSFORMAÇÃO LINEAR) Sejam V e W dois espaços vectoriais sobre K. Chamamos de trasformação liear uma fução A etre V e W tal que possui as seguites propriedades: A(λv + µw) = λa(v) + µa(w). (1.17)

7 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VECTORIAIS 6 Uma vez escolhidas duas bases para os espaços vectoriais V e W, fica defiida uma correspodêcia biuívoca etre trasformações lieares A etre V e W e as matrizes m, ode m e são as dimesões de V e W respectivamete. O cojuto de todas as trasformações lieares A etre V e W forma um espaço vectorial sobre o corpo K. Idicamos esse espaço vectorial como Hom(V, W). Defiição 11. (NÚCLEO E CONTRADOMÍNIO) Seja A uma trasformação liear etre V e W. Etão chama-se úcleo da trasformação liear ker (A) o subcojuto de V ker (A) = {v V A(v) = 0}, (1.18) por equato idica-se com Im (A) ou A (V) o cotradomíio ou imagem do trasformação liear, i.e o subcojuto de W Im (A) = {w W w =A(v)}. (1.19) Ademais ker (A) é um subespaço vectorial de V cuja dimesão chamamos ulidade de A e idicamos ul(a). Aalogamete Im (A) é um subespaço vectorial de W cuja dimesão chamamos de característica de A e idicamos com rak(a). Teorema 12. (TEOREMA DO RANK-NUL) Seja A uma trasformação liear etão dim(v) = rak(a) + ul(a) Isomorfismos etre espaços vectoriais Defiição 13. (ISOMORFISMO) Uma trasformação liear A Hom(V, W) diz-se ijectiva se o úcleo é o vector ulo, i.e. ker(a) = {0}, e diz-se sobrejectiva se o cotradomíio da aplicação coicide com o codomíio da aplicação, i.e. Im (A) = W. Uma trasformação liear que seja ijectiva e sobrejectiva, i.e. bijectiva, deomia-se isomorfismo. Defiição 14. (INVERSA) Sejam V e W dois espaços vectoriais e seja A uma trasformação liear etre V e W. Etão A diz-se ivertível se existe uma fução B etre W e V tal que B A = id V e A B = id W. Ademais B chama-se iversa de A e idica-se como A 1. Observação 15. Uma aplicação possui uma iversa a esquerda, i.e. B A = id V se e somete se é ijectiva por equato possui uma iversa à direita, i.e. A B = id W se e somete se é sobrejectiva. Portato uma trasformação liear A possui uma iversa se e somete se é um isomorfismo com a imagem. Teorema 16. Sejam V e W dois espaços vectoriais de dimesão fiita sobre o mesmo corpo K. Etão os espaços são isomorfos se e só se dim(v) = dim(w). Demostração. Provamos que se os espaços são isomorfos etão a dimesão dos espaços é a mesma. Se V e W são isomorfos etão existe uma trasformação liear A etre V e W que seja ijectiva e sobrejectiva. Sedo dà sobrejectividade de A que Im (A) W etão a dimesão da imagem é a dimesão de W, i.e. rak(a) = dim(w) e sedo que A é ijectiva o úcleo é o vector ulo e portato ul (A) = 0. Etão pelo teorema do Rak-Nul as dimesões de V e W são as mesmas, i.e.: dim(v) = rak(a) + ul(a) = dim(w). (1.20)

8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VECTORIAIS 7 Reciprocamete se as duas dimesões de V e W são as mesmas podemos ecotrar uma base E = {e i } 1 i de V e uma base F = {f i } 1 i de W. Sobre essas bases defiimos uma trasformação liear sobrejectiva e ijectiva A que associa para cada elemeto v em V de coordeadas [v] E = (ξ 1,.., ξ ), o elemeto w em W com as mesmas coordeadas [w] F = (ξ 1,.., ξ ). Claramete a trasformação é liear e possui uma iversa A 1 que é a aplicação que para cada [w] F = (ξ 1,.., ξ ) em W associa o vector com as mesmas coordeadas em V, i.e. [v] E = (ξ 1,.., ξ ). Tivedo uma iversa e sedo a aplicação sobrejectiva, A é portato um isomorfismo etre V e W. 1.3 Dualidade Nesta secção itroduziremos a oção de dualidade para defiirmos o espaço dual e de um espaço vectorial. Paralelamete iremos defiir a base caóica dual e acharemos como corolário o teorema de isomorfismo etre espaços de dimesão fiitas e os espaços duais. Defiição 17. Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K. Chamamos de espaço dual V o espaço Hom(V, K) ou seja o espaço das trasformações lieares etre o espaço vectorial V e o corpo escalar K. Tais trasformações lieares com valores o corpo escalar são também chamadas de formas lieares como de fucioais lieares. Teorema 18. Dado um espaço vectorial V sobre um corpo K, de dimesão fiita e com uma base E = {e i } 1 i podemos defiir uma base o espaço dual V de fucioais lieares E = { e i } tais que: 1 i e i (e j ) = δj i. (1.21) Demostração. Pela liearidade dos fucioais lieares, dada uma base E = {e i } 1 i do espaço vectorial V, para defiirmos completamete o fucioal só é preciso especificar os valores que ele possui sobre a base. Portato defiimos e i os fucioais lieares que assumem os valores: { e i : V K e e i 1 se i = j (e j ) = 0 se i = j. (1.22) Precisamos provar que os fucioais { e i} 1 i costituem uma base para V. Se cosiderarmos um fucioal liear f V, pela liearidade de f, podemos escrever para cada [v] E = (ξ 1,.., ξ ) em V que f (v) = portato chamado os coeficietes escalares ξ i f (e i ), (1.23) η i = f (e i ), (1.24) podemos escrever o fucioal f a base caóica { e i} 1 i como f = η i e i. (1.25)

9 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VECTORIAIS 8 Observação 19. Seja o vector v de coordeadas [v] E = (ξ 1,.., ξ ) a base E e seja o fucioal f com coordeadas [ f ] E = (η 1,.., η ) a base dual caóica. Etão o valor do fucioal f em v é dado por f (v) = i, j=1 ξ i η j e i (e j ) = ξ i η i. (1.26) Corolário 20. Seja V o espaço dual do espaço vectorial V de dimesão fiita. Etão dim(v) = dim(v ).

10 Capítulo 2 Edomorfismos e formas caóicas Neste capítulo apresetaremos os edomorfismos, i.e. trasformações lieares de um espaço vectorial V em si próprio. Portato a primeira secção trataremos as oções fudametais dos edomorfismos tais como represetação matricial, a mudaça de base o caso dos edomorfismos, assim como a oção de subespaços ivariates, de poliómio característico e, efim, de valores próprios e vectores próprios de um edomorfismo. Nas últimas duas secções apresetaremos duas formas caóicas para os edomorfismos sobre o corpo dos úmeros complexos C, i.e. a forma ormal de Jorda e a forma ormal simétrica. 2.1 Elemetos fudametais Defiição 21. (ENDOMORFISMO) Um edomorfismo L : V V é uma trasformação liear etre um espaço vectorial V e si próprio. O espaço vectorial dos edomorfismos ou Hom K (V, V) é desigado por Ed(V). Uma trasformação liear pode ser represetada em forma matricial uma vez escolhidas duas bases, i.e. uma base do domíio e uma base do codomíio. Um edomorfismo é em particular uma trasformação liear e sedo V o espaço do domíio e do codomíio, pode ser represetado em forma matricial uma vez escolhida uma base pelo espaço vectorial V. No específico se E = {e i } 1 i for uma base do espaço V, o edomorfismo L é represetado a base E dà matriz A M (K) que possui as coluas as coordeadas das images dos vectores da base E. Cosequetemete dado um vector v V com coordeadas a base [v] E = (ξ 1,.., ξ ) podemos represetar a acção do edomorfismo L sobre o vector v por: Mudaça de base a 1 1 a 1... a 1 a 2 1 a a 2 E [L] E [v] E = A[v] E = a1 a2... a ξ 1 ξ 2. ξ. (2.1) Cosideramos F = {f i } 1 i uma ova base do espaço V, e C E F a matriz de mudaça de base com as coluas as coordeadas dos vectores da base E a base F, i.e.: e j = 9 c i j f i. (2.2)

11 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 10 Paralelamete cosideramos a matriz que desigamos por C F E = CE 1 F com coeficietes d i j e que permite exprimir os vectores da basef em vectores da base E, i.e.: f j = d i j e i. (2.3) Se quisermos represetar o edomorfismo L, já represetado dà matriz A a base E, uma ova base F, este edomorfismo será represetado por uma ova matriz B relacioada à precedete por F [L] F = B = C 1 E F AC E F. (2.4) Sedo um mesmo edomorfismo represetado diferetemete dàs matrizes A e B em acordo com duas diferetes escolhas da base do mesmo espaço V, defiimos a seguite oção: Defiição 22. (ENDOMORFISMOS SIMILARES) Dois edomorfismos lieares represetados por matrizes A M (K) e B M (K) dizem-se similares se existe uma matriz M M (K) ão sigular tal que A = M 1 BM. (2.5) Subespaços ivariates, valores e vectores próprios. Defiição 23. (SUBESPAÇO INVARIANTE) Um subespaço S V diz-se ivariate pelo edomorfismo L ou simplesmete subespaço ivariate, quado a trasformação já for uivocamete especificada, se as images por L dos vectores em S permaecem em S, i.e. L (S) S. Defiição 24. (VALOR E VECTOR PRÓPRIO) Dado L Ed(V) diz-se que um escalar λ é um valor próprio de L se existe um vector diferete de zero v V tal que Lv = λv. O vector v diz-se que é um vector próprio associado ao valor próprio Poliómio característico A ivestigação sobre os vectores próprios defiidos como Lv = λv leva à cosideração do sistema de equações obtido cosiderado uma represetação matricial A M (K) do edomorfismo, i.e. (A λ1)v = 0. (2.6) Para que o sistema possa ser resolvido um vector v ão ulo, precisamos que o determiate da matriz (A λ1) seja ulo, i.e. det(a λ1) = 0. (2.7) Chamamos a aplicação R L (λ) = (L λ id) de aplicação resolvete. Defiição 25. Seja uma matriz A M (K). O poliómio de grau a variável λ com coeficietes o corpo K defiido por p A (λ) = det(a λ1) é chamado poliómio característico da matriz A. Para falarmos de poliómio característico de um edomorfismo, é preciso de demostrar que tal poliómio ão seja subjecto a mudaças por mudaças de bases do espaço vectorial. Resulta portato ecessário o seguite teorema:

12 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 11 Teorema 26. Duas matrizes similares A e B possuem o mesmo poliómio característico, i.e. p A (λ) = p B (λ). Demostração. Se cosiderarmos o poliómio característico da matriz B relacioada com a matriz A por uma mudaça de base, i.e. etão podemos otar que B = M 1 AM, (2.8) det(b λ1) = det(m 1 AM λm 1 M), (2.9) mas isso pela regra de Biêt dos determiates é igual a ou seja ao poliómio característico de A. det(m 1 )det(a λ1)det(m) = det(a λ1), (2.10) Seja K o corpo dos úmeros complexos C. Sedo K um corpo algebricamete fechado, podemos escrever o poliómio característico de um edomorfismo L como p(λ) = ( 1) (λ λ 1 ) m 1... (λ λ k ) m k, (2.11) ode os λ i são chamados os valores próprios do edomorfismo e as m i as multiplicidades algébricas dos valores próprios λ i. Ademais podemos observar que para cada λ i a equação matricial (A λ i 1)v = 0, (2.12) pode ser resolvida equato o determiate det(a λ i 1) é ulo. Isso sigifica que para cada λ i existe pelo meos um vector próprio cotido um subespaço ivariate pelo edomorfismo A. 2.2 Forma ormal de Jorda O objectivo desta secção é demostrar que cada edomorfismo A Ed(V) existe uma base chamada base de Jorda e uma represetação matricial do edomorfismo chamada forma ormal de Jorda. Doravate idicaremos por A o edomorfismo e por [A] B a represetação matricial de A a base B. Teorema 27. (FORMA NORMAL DE JORDAN): Seja V espaço vectorial de dimesão fiita. Seja A Ed(V) etão existe uma decomposição de V em soma directa de subespaços ivariates idecompoíveis: V = V 1... V k, (2.13) ode para cada V i, i = 1,..., k com dimesão i = dim(v i ) existe uma base chamada de Jorda B i = { e j }1 j i ode { (A λi id)e 1 = 0 (A λ i id)e j = e j 1 1 < j i. (2.14)

13 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 12 Observação 28. Se V é decompoível em V = V 1 V 2 e B 1 e B 2 são bases de V 1, V 2 etão a base B = B 1 B 2 é uma base de V e essa base um edomorfismo A toma a seguite forma matricial [A] B : ( ) A11 A [A] B = 12, (2.15) A 21 A 22 ode A 12 = 0 se e só se V 2 é ivariate por A e A 21 = 0 se e somete se V 1 é um subespaço ivariate pelo edomorfismo A. Corolário 29. Na base de B = B i o edomorfismo A tem uma represetação matricial: 1 i k J J 2 0 [A] B =....., (2.16) 0 0 J k ode os J i são chamados blocos de Jorda: λ λ 1 0 J i = 0 0 λ (2.17) λ Para demostrarmos o Teorema em primeiro lugar ecotraremos a base da forma de Jorda o caso de V idecompoível em subespaços ivariates pelo edomorfismo A e sucessivamete aalisaremos o caso geral Forma de Jorda o caso de V um espaço idecompoível Teorema 30. Seja V um espaço idecompoível em subespaços ivariates pelo edomorfismo A, etão existe uma base de Jorda em V. Ates de proceder à prova do Teorema é preciso demostrar algus Lemas e Defiições. Cosideramos um espaço vectorial V que ão seja decompoível em subespaços ivariates pelo edomorfismo A. Seja λ um valor próprio de A e seja R λ a aplicação resolvete (A λ id). Se cosiderarmos os úcleos N s (λ) = ker ( (R λ ) s), temos uma cadeia ascedete de subespaços N 1 (λ)... N m (λ)...n q (λ), (2.18) dado que a dimesão de V é fiita, a cadeia alcaçará um elemeto maximal N q (λ), i.e. para cada λ existe um q tal que N q (λ) = N m (λ) para cada m > q. Defiição 31. (VECTOR PRÓPRIO GENERALIZADO) Um vector chama-se de vector próprio geeralizado de ordem q se v = 0, (A λ id) v = 0,. (A λ id) q 1 v = 0, (A λ id) q v = 0. (2.19)

14 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 13 Lema 32. Nas hipóteses precedetes existe portato um específico q N tal que o espaço vectorial V decompõe-se em soma directa do úcleo e da imagem de (R λ ) q, i.e.v = ker ( (R λ ) q) Im ( (R λ ) q). Demostração. Em primeiro lugar precisamos demostrar que a itersecção do úcleo e da imagem por q é o vector ulo, i.e. ker ( (R λ ) q) Im ( (R λ ) q) = {0}, (2.20) e depois o teorema segue pelo Teorema do Rak-Nul e pelos Teoremas 8 e 15. Supodo que v ker ( (R λ ) q) Im ( (R λ ) q), demostraremos que é o vector ulo. Dado que v ker ( (R λ ) q) temos que ( (Rλ ) q) v = 0, (2.21) mas também dado que v Im ( (R λ ) q) e portato existe um w V tal que Isto que dizer que o que demostra que w ker ker ( (R λ ) q) = ker R q λ v = R q λ w. (2.22) ( R q λ w) = (R λ ) 2q w = 0, (2.23) ( (R λ ) 2q). Mas dà costrução precedete sabemos que ( (R λ ) 2q) e portato w pertece ao úcleo de (R λ ) q também, i.e. w ker(r q λ ), e portato v = Rq λ w = 0. Tedo demostrado o precedete lema, agora sabemos que existe um q por maio do qual o espaço V pode ser decomposto a forma V = ker ( (R λ ) q) Im ( (R λ ) q). Agora é preciso demostrar que estes subespaços vectoriais, são também subespaços ivariates pelo edomorfismo A. Lema 33. Os úcleos e as images das (R λ ) q, i.e. ker ( (R λ ) q) e Im ( (R λ ) q), são subespaços ivariates de V pelo edomorfismo A. Demostração. De facto se cosiderarmos A (R λ ) q podemos otar que as duas aplicações comutam i.e. A (A λ id) q = (A λ id) q A. (2.24) Portato se o vector v pertece ao úcleo de (R λ ) q, i.e. (R λ ) q (v) = 0, etão também A (v) está o mesmo úcleo de (R λ ) q dado que e portato (R λ ) q (A (v)) = A ( (R λ ) q (v) ) = 0, (2.25) ker ( (R λ ) q) A ( ker ( (R λ ) q)). (2.26) Similarmete se um vector v pertece à imagem de (R λ ) q, i.e. v = (R λ ) q (w), etão, dado que A ( (R λ ) q (w) ) = (R λ ) q (A(w)), (2.27) o vector A (v) também pertece à imagem de (R λ ) q e portato Im ( (R λ ) q) A ( Im ( (R λ ) q)). (2.28) Agora podemos proceder em demostrar o teorema.

15 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 14 Demostração. Seja q o meor iteiro positivo que satisfaz as codições precedetes. Cosiderado os lemas e dado que V é idecompoível em subespaços ivariates pelo edomorfismo A pelas hipóteses iiciais, etão o espaço V ou está costituído iteiramete pelo úcleo de R q λ ou pelo cotrario o espaço é iteiramete represetado dà imagem de (R λ ) q. Todavia dado que existe pelo meos um vector próprio do edomorfismo A associado ao valor próprio λ etão o úcleo de (R λ ) q ão é só o vector ulo e portato é todo o espaço V. Portato pelos V idecompoíveis a aplicação resolvete R λ = (A λ id) é ilpotet dado que (R λ ) q = 0. O úcleo de R q λ por hipótese é diferete da o úcleo de Rq 1 λ, i.e. ker(r q λ ) = ker(r q 1 λ ) e portato podemos escolher v o vector próprio geeralizado de ordem q sobre V. Cosideramos etão a cadeia chamada cadeia de Jorda defiida como as images do vector próprio geeralizado pelas potêcias da resolvete, i.e. { } B = v, (A λ id) v,..., (A λ id) q 1 v. (2.29) A cadeia de Jorda forma uma base de V e essa base o edomorfismo A assume a forma de um bloco de Jorda: λ λ 1 0 [A] B = 0 0 λ (2.30) λ Forma de Jorda o caso geral Para podermos completar a demostração, precisamos demostrar que seja possível ecotrar uma decomposição de Jorda em qualquer espaço vectorial V. Procedemos por idução sobre a dimesão. Se dim(v) = 1 a demostração é trivial, portato supodo a hipótese valida por dim(v) 1 vamos demostrar que está valida por dim(v) =. Se V é idecompoível pelo edomorfismo A, etão ão há ada de demostrar porque já tratámos o caso em que V seja idecompoível. No caso em que V seja decompoível em subespaços ivariates pelo edomorfismo A, etão podemos etão decompor V = W 1 W 2 ode W 1, W 2 são subespaços ivariates pelo edomorfismo A com 0 < dim(w 1 ), dim(w 1 ) <. Pela hipótese idutiva temos etão uma forma de Jorda pelo edomorfismo A sobre W 1 e W 2 forecida das bases B 1 e B 2. Portato a base B = B 1 B 2 é a base que queríamos ecotrar e que completa o teorema. 2.3 Forma ormal simétrica O resultado dessa secção será a demostração do Teorema que cada Edomorfismo etre espaços complexos admite uma base ode a sua represetação matricial assume uma forma chamada de forma ormal simétrica. Teorema 34. (FORMA NORMAL SIMÉTRICA): Seja V espaço vectorial sobre o corpo C com dimesão fiita. Seja A Ed(V) etão há uma decomposição de V em suma directa de

16 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 15 subespaços A-ivariates: V = V 1... V k, (2.31) ode para cada V i, i = 1,..., k, sedo i = dim(v i ), existe uma base S i = { e j tal que }1 j i a base B = S i o edomorfismo A tem uma represetação matricial: 1 i k S S 2 0 [A] B =....., (2.32) 0 0 S k ode os S i são blocos da forma λ i ı , (2.33) ode ı é a uidade imagiária e λ i o valor próprio do edomorfismo associado ao bloco S i. Demostração. Cosiderado o teorema de decomposição em subespaços idecompoíveis que utilizamos para provar a existêcia da forma de Jorda podemos os restrigir ao caso de V λi espaço idecompoível em suma direita de subespaços ivariates { pelo edomorfismo A. Nesse } caso utilizamos a base B i = {b 1,..., b } = v, (A λ i id) v,..., (A λ i id) q 1 v a base que ecotramos pela forma de Jorda e ode o edomorfismo assume a forma λ i λ i 1 0 [A] Bi =. 0 0 λ. i (2.34) λ i Agora cosideramos a matriz de permutação V = , (2.35) e defiimos as matrizes de mudaça de coordeadas T = 1 ıv e T 1 = 1 2 (1 + ıv). (2.36)

17 CAPÍTULO 2. ENDOMORFISMOS E FORMAS CANÓNICAS 16 Defiimos portato a ova base S i = {s 1,..., s } obtida a partir destas trasformações, i.e. s j = t i j b i, (2.37) ode os coeficietes t i j represetam os coeficietes das matrizes de mudaça de base T, ( ) i.e. T = t i j. Na ova base, cosiderado que a matriz J pode ser decomposta uma parte diagoal λ i 1 e uma parte sobrediagoal H, i.e. J = λ i 1 + H a represetação matricial do edomorfismo A a base S i assume a seguite forma: [A] Si = T 1 JT = que é a forma que queríamos demostrar. = T 1 (λ i 1 + H) T = T 1 Tλ1 + T 1 HT = = λ i (1 + ıv) H (1 ıv) = = λ i (H + VHV) ı (HV VH), (2.38) 2

18 Capítulo 3 Formas bilieares e quadráticas Neste capítulo apresetaremos as formas bilieares e quadráticas. Portato a primeira secção trataremos os coceitos fudametais das formas bilieares, quais a mudaça de base o caso das formas bilieares, as formas bilieares simétricas e atisimétricas etc.. Na seguda secção a teoria será desevolvida sobre o corpo dos úmeros complexos e esse cotexto apresetaremos as formas sesquilieares com uma ateção especial sobre as formas sesquilieares hermitiaas. Na terceira secção passaremos às formas quadráticas e as fórmulas de polarização para deduzir as formas bilieares ou sesquilieares correspodetes quado este for possível. A quarta secção é dedicada ao euciado de algus resultados fudametais sobre os espaços uitários e euclidiaos, efim a última secção exibiremos uma aplicação do utilizo das formas bilieares a classificação das Álgebras de Lie simples sobre o corpo dos úmeros complexos. 3.1 Formas bilieares Defiição 35. (FORMAS BILINEARES) Seja uma aplicação A(v, w) : V V K. Etão chamamos a aplicação A(v, w) de forma biliear se é uma forma liear em cada variável, i.e. para cada v 0, w 0 V fixos as A(, w 0 ) e A(v 0, ) são fucioais lieares A(, w 0 ), A(v 0, ) V. Pela defiição de forma biliear, dada uma base E = {e i } 1 i do espaço vectorial V e os vectores de coordeadas [v] E = (ξ 1,.., ξ ) e [w] E = (η 1,.., η ) a base E podemos otar que o valor da forma biliear resulta uivocamete defiido uma vez que for defiido o valor que essa forma assume sobre a base, i.e. A(e i, e j ) = a ij. De facto pela liearidade em cada variável da forma biliear obtemos que A(v, w) = A( ξ i e i, j=1 η j e j ) = i, j=1 ξ i η j A(e i, e j ) = i, j=1 ξ i η j a ij. (3.1) Portato escolhedo uma base sobre o espaço V podemos represetar a forma biliear esse espaço por meio de uma matriz A com coeficietes o corpo escalar, i.e. [A(, )] E = A = (a ij ) M (K) ode a ij = A(e i, e j ). (3.2) ( ) Se cosiderarmos F = {f i } 1 i uma ova base do espaço V, e C F E = d i j a matriz de mudaça de base tal que f j = 17 d i j e i. (3.3)

19 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 18 Na ova base a forma biliear assume uma represetação matricial dada por [A(, )] F = (b ij ), (3.4) ode para cada i e cada j os coeficietes são determiados da os valores da forma sobre a ova base, i.e. b ij = A(f i, f j ). (3.5) Se quisermos ecotrar a relação com os coeficietes da forma a base E, i.e. [A(, )] E = (a ij ) etão podemos utilizar as propriedades da liearidade e escrever A(f i, f j ) = A( p=1 d p i e p, q=1 d q j e q) = que em outra forma exprime a relação de mudaça de base d p i dq j a pq, (3.6) p, q=1 [A(, )] F = C T F E [A(v, w)] E C F E. (3.7) Defiição 36. (FORMA BILINEAR SIMÉTRICA) Seja A(, ) uma forma biliear sobre o corpo K. Essa diz-se de simétrica se A(v, w) = A(w, v) para cada v, w V. Uma cosequêcia da defiição é que uma forma biliear diz-se simétrica se e só se a represetação da forma biliear uma qualquer base é uma matriz A M (K) tal que A = A T, (3.8) o que implica que os coeficietes das matrizes são idêticos se permutarmos os idices, i.e. para cada i, j {1...} a ij = a ji. (3.9) Defiição 37. (FORMA BILINEAR ANTISIMÉTRICA) Seja A(, ) uma forma biliear sobre o corpo K. Essa diz-se de atisimétrica se A(v, w) = A(w, v) para cada v, w V. Nesse caso uma represetação da forma biliear uma qualquer base é uma matriz A M (K) tal que: A = A T, (3.10) o que implica que os coeficietes das matrizes são idêticos se permutarmos os idices, i.e. para cada i, j {1...} a ij = a ji. (3.11) 3.2 Formas sesquilieares Nessa secção iremos geeralizar as formas bilieares defiido as formas sesquilieares por espaços sobre os úmeros complexos. Portato esta secção cosideremos o corpo K como o corpo dos úmeros complexos C e a ivolução este corpo que leva o escalar complexo λ o complexo cojugado λ C. Defiição 38. Seja V um espaço vectorial sobre C e A(, ) uma forma biliear. Etão a forma deomia-se forma sesquiliear se é liear uma variável e ati-liear a outra, i.e. se para cada v, w V e para cada λ C as seguites relações estão validas A(λ(v 1 + v 2 ), w) = λa(v 1, w) + λa(v 2, w) ANTI-LINEARIDADE, (3.12) A(v, λ(w 1 + w 2 )) = λa(v, w 1 ) + λa(v, w 2 ) LINEARIDADE. (3.13)

20 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 19 Defiição 39. (APLICAÇÃO ADJUNTA) A ivolução dada da cojugação complexa defie uma aplicação etre o espaço das trasformações sesquilieares e si mesmo que chama-se aplicação adjuta e é desigada por o símbolo defiida como A(v, w) A (v, w) = A(w, v). (3.14) Defiição 40. (HERMITIANA) seja V um espaço vectorial sobre C e A(, ) uma forma sesquiliear, etão A(, ) diz-se Hermitiaa se A(, ) = A (, ), (3.15) i.e. que para cada v e w em V os valores da forma possuem a simetria hermitiaa, i.e. A(v, w) = A(w, v). (3.16) Com poucas variações podemos repetir o discurso desevolvido pela mudaça de base as formas bilieares. De facto se cosiderarmos F = {f i } 1 i uma ova base do espaço V, e C F E a matriz de mudaça de base tal que f j = d i j e i, (3.17) a ova base a forma sesquiliear assume uma represetação matricial dada por [A(, )] F = C T F E [A(v, w)] E C F E C F E [A(v, w)] E C F E. (3.18) 3.3 Formas quadráticas Dada A(v, w) uma forma biliear ou sesquiliear resulta atural defiir uma aplicação chamada de forma quadrática associada à forma obtida cosiderado o valor que a forma assume sobre o mesmo vector v, i.e. A(v, v). Defiição 41. (FORMA QUADRÁTICA) Seja A(, ) uma forma biliear ou sesquiliear hermitiaa etão defiimos uma aplicação A etre V e o corpo escalar C chamada forma quadrática associada à forma defiida para cada v em V A(v) = A(v, v). (3.19) No caso em que A(v, w) seja uma forma biliear aturalmete a aplicação defiida ão é liear, mas é homogéea do segudo grau, i.e. Ademais é verdade que o caso geral A(λv) = λ 2 A(v). (3.20) A(v + w) = A(v) + A(w) + A(v, w) + A(w, v). (3.21) Aalogamete o caso em que A(v, w) seja uma forma sesquiliear etão e também A(λv) = λλa(v), (3.22) A(v + w) = A(v) + A(w) + A(v, w) + A(w, v). (3.23) A aalise das formas quadráticas associadas às formas bilieares ou sesquilieares pode os permitir de ecotrar algumas fórmulas para deduzir as formas origiais. Essas fórmulas são chamadas fórmulas de polarização. De facto o estudo de A(λv + µw) leva-os à euciar as seguites fórmulas:

21 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS A(v) forma quadrática associada a uma forma biliear simétrica: Dada a fórmula geral para cada λ, µ C A(λv + µw) = λ 2 A(v) + µ 2 A(w) + λµa(v, w) + λµa(w, v), (3.24) o caso de uma forma biliear simétrica, i.e. ode A(v, w) = A(w, v) obtemos: A(λv + µw) = λ 2 A(v) + µ 2 A(w) + 2λµA(v, w). (3.25) Podo λ = µ = 1 obtemos a primeira fórmula de polarização: A(v, w) = 1 (A(v + w) A(v) A(w)). (3.26) 2 Observação 42. Uma outra fórmula de polarização é obtida podo λ = 1, µ = 1 e as vezes é chamada seguda fórmula de polarização. Observação 43. Existe uma correspodêcia biuívoca etre formas bilieares simétricas e formas quadráticas associadas. 2. A(v) forma quadrática associada a uma forma sesquiliear: Dada a fórmula geral obtida a partir dà liearidade e atiliearidade a primeira e seguda variável respectivamete, i.e. A(λv + µw) = λλa(v) + µµa(w) + λµa(v, w) + λµa(w, v), (3.27) e podo λ = µ = 1, obtemos A(v, w) + A(w, v) = A(v + w) A(v) A(w). (3.28) Podo λ = ı, µ = 1 e subtraido o resultado à fórmula precedete obtemos: A(v, w) = 1 (A(v + w) ıa(ıv + w) (1 ı)a(v) (1 ı)a(w)). (3.29) 2 Observação 44. Existe uma correspodêcia biuívoca etre forma sesquiliear e formas quadráticas associadas. Em particular a forma quadrática determia completamete a forma sesquiliear. 3.4 Espaços uitários e euclidiaos Defiição 45. (PRODUTO INTERNO) Seja V um espaço vectorial sobre C e seja A uma forma sesquiliear hermitiaa semidefiida positiva, i.e. A(v, v) 0 e que seja A(v, v) = 0 se e somete se v é o vector ulo. Etão A (, ) diz-se produto itero e idica-se com,. Observação 46. Seja, um produto itero etão podemos defiir uma orma chamada orma iduzida pelo produto itero defiida a partir dà forma quadrática do produto itero, i.e. v = v, v. (3.30) De facto a aplicação assim defiida possui as propriedades das ormas, i.e.: HOMOGENEIDADE λv = λ v, (3.31) TRIANGULARIDADE v + w v + w, (3.32) POSITIVIDADE v 0. (3.33)

22 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 21 Defiição 47. (ESPAÇO UNITÁRIO) Seja V espaço vectorial, seja, um produto itero sobre V, etão o espaço chama-se espaço uitário. Um produto itero defiido sobre um espaço vectorial ão defie só uma orma sobre o espaço, mas automaticamete defie uma oção de âgulo e de distâcia também. De facto um produto itero defie: (NORMA) uma orma defiida como v = v, v ; (ÂNGULO) um âgulo etre vectores v e w dado por cos (θ) = (DISTÂNCIA) uma distâcia etre vectores d(v, w) = v w. v,w v w ; Observação 48. É preciso otar o caso em que o espaço vectorial V for defiido sobre o corpo dos úmeros reais R, o espaço será chamado espaço euclidiao e a orma será chamada orma euclidiaa Bases ortogoais e projectores Defiição 49. (BASES ORTOGONAIS E ORTONORMAIS) Seja, um produto itero sobre o espaço vectorial V com corpo escalares C, e seja E = {e i } 1 i uma base do espaço V. Etão a base E diz-se ortogoal respeito ao produto itero se para cada i = j ei, e j = 0. (3.34) Ademais a base E diz-se ortoormal se ei, e j = δij. (3.35) Se a base E é uma base ortoormal, etão a represetação matricial do produto itero o respeito da base é a matriz idetidade. Defiição 50. (PROJECTORES) Seja, um produto itero o espaço vectorial V sobre o corpo C. Chamamos projector sobre um subespaço W V as trasformações lieares p W de V em W ode se W é o espaço gerado das vectores liearmete idepedetes {e 1,.., e m } etão m v, e p W (v) = i e i, e i e i. (3.36) Observação 51. Seja p W uma projecção sobre um subespaço W V, temos etão as propriedades seguites: p W (p W (v)) = p W (v) e p W (v), u = v, p W (u). (3.37) Ortogoalização de Gram-Schmidt Teorema 52. (PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT) Seja, um produto itero sobre o espaço uitário V. Etão cada cojuto liearmete idepedete de vectores F = {v i } 1 i pode ser trasformado um cojuto de vectores ortogoais E = {e i } 1 i ao produto itero com as seguites propriedades: 1. os espaços gerados por E e F são iguais; 2. e k é diferete de zero e ortogoal a todos os elemetos do espaço gerado por {e i } 1 i k 1.

23 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 22 O teorema é obtido por idução defiido o primeiro vector da base ortoormal E como o primeiro vector da base F, i.e. e os seguites defiidos para cada k = 2,..., como e k = v k e 1 = v 1, (3.38) k 1 e i, v k e i, e i e i. (3.39) Utilizado a idução é imediato verificar que os vectores de E são ortogoais e que o espaço gerado estes vectores é o mesmo do espaço gerado os vectores de F. Ademais dividedo os vectores da base E por oportuos escalares é fácil demostrar que é sempre possível ecotrar uma base que ão seja somete ortogoal, mas também ortoormal. Efim se o cojuto F = {v i } 1 i for uma base pelo espaço V, etão aalisado a matriz C E F = (c i j ) pela mudaça de base etre a base F e a ova base E = {e i} 1 i podemos facilmete otar que essa é uma matriz triagular superior, i.e. 1 c 1 2 c c c 2 3 c 2 C E F = (3.40).... c Para cada forma sesquiliear hermitiaa A (, ) é possível ecotrar uma base E obtida com o precedete processo ode a matriz que represeta a forma toma a seguite forma diagoal 3.5 Uma aplicação λ λ [A(, )] E = 0 0 λ 3 0 = C T E F AC..... E F. (3.41) λ As formas quadráticas são amplamete utilizadas em diferetes áreas da Matemática, e.g. Geometria, Mecâica Racioal, etc.. Nesta secção fazemos uma revisão breve da utilização das formas quadráticas a classificação das Álgebras de Lie simples sobre os úmeros complexos. Uma Álgebra de Lie g, sobre o corpo C, é um espaço vectorial com uma operação biária [, ] chamada de pareteses de Lie que é biliear, e para cada x, y, z g possui as seguites propriedades: [x, x] = 0, (3.42) (IDENTIDADE DE JACOBI) [x, [y, z] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. (3.43) Uma álgebra g diz-se simples se ão possui ideais próprios.

24 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 23 A represetação adjuta de uma Álgebra de Lie g é um homomorfismo de g o cojuto dos próprios edomorfismos gl (g) que para cada a em g dada por A forma biliear simétrica defiida por ad a (x) = [a, x], x g. (3.44) a, b = Tr (ad a ad b ) a, b g, (3.45) chama-se forma de Killig e uma Álgebra de Lie simples ão é degeerada. Cada Álgebra de Lie simples g tem uma sub-álgebra de Carta h e admite a decomposição, chamada de decomposição de Carta, ode Ce α são h-módulos uidimesioais tais que g = h Ceα, (3.46) α Φ [h, e α ] = α (h) e α α (h) C, (3.47) para cada h h e portato α pertece ao espaço dual h = Hom (h, C). Cada represetação uidimesioal α de h é chamada raiz de g. O cojuto das raízes de g é desigado por Φ. Assim, dim (g) = dim (h) + Φ. (3.48) O sistema de raízes Φ tem umerosas propriedades etre as quais mecioamos as seguites: se α Φ etão α Φ, o cojuto Φ gera o espaço h, mas Φ ão é liearmete idepedete. É possível escolher um subcojuto de Φ que é liearmete idepedete, chamado de sub-cojuto de raízes simples Π e tal que cada elemeto de Φ se pode represetar como uma combiação liear destas raízes simples com coeficietes iteiros com mesmo sial. Portato quado Π for escolhido tem-se Φ = Φ + Φ ode Φ = Φ + e Φ + e Φ são cojutos das raízes positivas e egativas respectivamete. Defiimos hr como as combiações lieares reais das raízes simples, i.e. Aida mais tem-se h R = spa R (Π). (3.49) dim R (h R) = dim C (h) = l, (3.50) ode l é a ordem da álgebra g. Cosequetemete, utilizado a relação (3.48), a dimesão da álgebra g é dada por dim (g) = l + Φ. Mostra-se que a forma de Killig restrigida a hr tora este espaço um espaço Euclidiao. Seja Π = {α 1,..., α l } o cojuto das raízes simples. A matriz de Carta defie-se por αi, α j A ij = 2 Z, (3.51) α i, α i ode A ii = 2 e A ij 0 para i = j. Mais aida, defiem-se os coeficietes αi, α j αj, α i ij = A ij A ji = 2 α i, α i 2. (3.52) αj, α j

25 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 24 Usado cosiderações geométricas coclui-se que os valores admissíveis de ij são ij = 0, 1, 2, 3. É importate observar que quado ij = 2 etão existem duas possibilidades A ij = 1 e A ji = 2, (3.53) ou, Da defiição (3.51) tem-se A ij = 2 e A ji = 1. (3.54) A ij A ji = αj, α j α i, α i. (3.55) Assim, o primeiro caso (3.53) cocluí-se que α i é a raiz loga e α j é a raiz curta, i.e. α i, α i > α j, α j, e o segudo caso (3.54) tem-se αi, α i < α j, α j. De forma aáloga estuda-se o caso ij = 3. Em hr defie-se uma forma quadrática Evidetemete, ode y = l x i Q(x 1, x 2,..., x l ) = 2 Q(x 1, x 2,..., x l ) = 2 l α i l xi 2 ij x i x j. (3.56) i =j l α x i i αi, α i, j=1 x j α j αj, α j = 2 y, y, (3.57) αi, α i. Assim demostramos que Q(x 1, x 2,..., x l ) é defiida positiva. A represetação gráfica destas formas quadráticas, e cosequetemete dos sistemas de raízes das Álgebras de Lie simples, é feita pelos diagramas de Dyki coexos. Ates de apresetar a classificação das Álgebras de Lie simples em termos de diagramas de Dyki, como um exemplo cosideramos as Álgebras de Lie de ordem dois, i.e. l = 2. Neste caso existem três sistemas de raízes ão equivaletes que correspodem às álgebras A 2, B 2 e G 2. O sistema de raízes da álgebra A 2 cotem seis raízes e é explicitado a figura seguite

26 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 25 A forma quadrática (3.56) este caso é dada por Q(x 1, x 2 ) = 2(x x2 2 ) 2x 1x 2. (3.58) O respectivo diagrama de Dyki tem dois vértices uidos por uma aresta O sistema de raízes da álgebra B 2 costituído por oito raízes, quatro logas e quatro raízes curtas, e é dado a figura seguite Neste caso, a forma quadrática correspodete é Q(x 1, x 2 ) = 2(x x2 2 ) 2 2x 1 x 2. (3.59) O diagrama de Dyki correspodete é costituído por dois vértices uidos por dois arcos cujo poto iicial é a raiz loga e o poto termial é a raiz curta Doze raízes costituem o sistema de raízes da álgebra G 2, seis raízes logas e seis curtas, como represetado a figura

27 CAPÍTULO 3. FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 26 A forma quadrática correspodete é dada por Assim, o diagrama de Dyki da álgebra G 2 é Q(x 1, x 2 ) = 2(x x2 2 ) 2 3x 1 x 2. (3.60) Baseado-se os argumetos relacioados com a forma quadrática (3.56) mostra-se que a classificação das Álgebras de Lie simples é dada pelos seguites diagramas de Dyki coexos

28 Apêdice A Notações e Símbolos V v λ ı as letras maiúsculas em egrito represetam espaços vectoriais. as letras miúsculas e os úmeros em egrito represetam vectores. as letras gregas represetam escalares. uidade imagiária. spa(v 1,.., v k ) sub espaço gerado das combiações lieares dos vectores v 1,.., v k. E as letras maiúscula represetam bases do espaço vectorial. V espaço dual do espaço liear V. [ ] E represetação do vector a base E. L E [L] F as letras maiúsculas represetam trasformações lieares. represetação da trasformação liear com base E o domíio e F o codomíio. C E F matriz de mudaça de coordeadas etre abase F e a base E. Im(L) imagem da trasformação liear L. ker (L) úcleo da trasformação liear L. id V aplicação idêtica de V em V. 1 matriz idêtica de dimesão por. M m (K) espaço das matriz de m lihas e coluas o corpo K. Hom (V, W) espaço das trasformações lieares etre V e W. Ed (V) espaço dos edomorfismos de V. T 1,1 A(v, w) espaço das formas sesquiliear. forma biliear., produto itero. A(v) forma quadrática associada à forma biliear A(, ). 27

29 APÊNDICE A. NOTAÇÕES E SÍMBOLOS 28 p W ( ) projecção sobre o subespaço W. j determiates pricipais de uma matriz.