B Este apêndice apresenta tópicos de matemática que podem ser necessários para completo entendimento do texto principal.

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1 Apêdice B Elemetos de Matemática Este apêdice apreseta tópicos de matemática que podem ser ecessários para completo etedimeto do texto pricipal. B. Somatórios B. Um somatório, represetado pela letra grega Σ (sigma maiúsculo), cosiste uma soma de uma sequêcia de úmeros. Por exemplo, a soma ( - ) + pode ser represetada pelo somatório: A seguir serão eumeradas algumas propriedades e resultados otáveis de somatórios.. cf () i = c f () i, em que c é uma costate. j j. [ f ( i) ± gi ( )] = f () i ± gi () j j j 3. = - j+ j ( + ) 4. 0 ( + )( + ) 5. i = 6 - i a a 6. a = - -a k j k j ( j< k) Seja a i (0 i ) uma sequêcia de úmeros. Etão tem-se que: - i ( a - a ) = a -a Esse último somatório recebe a deomiação especial de soma telescópica ou série telescópica. 0 63

2 63 Apêdice B Elemetos de Matemática B. Poliômios B. Um poliômio é uma expressão formada por úmeros reais, deomiados coeficietes, variáveis e expoetes, que são úmeros iteiros ão egativos. Essa expressão utiliza apeas as operações de soma, subtração, multiplicação e expoeciação em sua formação. Embora existam poliômios que utilizam mais de uma variável, o iteresse aqui é restrito àqueles que usam apeas uma variável e podem, portato, ser escritos como: ou, em forma de somatório: Px ( ) = ax + a x ax+ a Px ( )= 0 ax i i 0 Nessa defiição, é um úmero iteiro ão egativo chamado grau do poliômio e a 0, a,..., a, a são costates reais (coeficietes do poliômio). Cada a i x i, 0 i, que costitui um poliômio é deomiado termo e o expoete i é o grau do respectivo termo. O termo que possui grau igual a zero é deomiado termo costate. Quado dois termos possuem o mesmo grau, diz-se que eles são termos semelhates. Poliômios são usados a defiição de fuções poliomiais e algumas dessas fuções otáveis são apresetados a seguir: Poliômio de grau zero, também deomiado fução costate. Por exemplo: P(x) = 5 Poliômio de grau um, também deomiado fução liear (ou fução afim). Por exemplo: P(x) = x + 3 Poliômio de grau dois, também deomiado fução quadrática. Por exemplo: P(x) = x + x 3 Um poliômio é completo quado todos os seus termos estão presetes. Por exemplo, todos os exemplos apresetados acima costituem poliômios completos, equato que o poliômio: P(x) = x ão é completo, pois lhe falta o termo de ordem. Os termos de um poliômio podem ser arrajados à votade, mas, tipicamete, eles são apresetados em ordem decrescete de graus, como tem sido o caso aqui. O valor de um poliômio é o resultado obtido quado se substitui cada ocorrêcia de variável do poliômio por um valor real e se efetuam as devidas operações. Por exemplo, o valor do poliômio: quado sua variável é substituída por é: P(x) = x + x 3 P() = + 3 = 3

3 B.3 O Método de Horer 633 Dois ou mais poliômios podem ser somados ou subtraídos agrupado-se seus termos de mesmo grau e somado-se ou subtraido-se os respectivos coeficietes. Por exemplo, a soma de: com: resulta em: P(x) = x + x 3 Q(x) = x 4 x x + P(x) + Q(x) = x 4 x A multiplicação de poliômios usa as leis distributivas da multiplicação com relação à soma e subtração. Por exemplo, a multiplicação do poliômio: pelo poliômio: resulta o poliômio: P(x) = x Q(x) = x x + P(x).Q(x) = (x )(x x + ) = x 3 x + x x + x = x 3 3x + x Poliômios possuem várias outras propriedades e operações que ão são de iteresse este livro. B.3 O Método de Horer B.3 O método de Horer [] é tipicamete esiado em cursos elemetares de matemática como uma técica empregada para calcular o quociete da divisão de um poliômio por outro. A mesma técica, porém, tem várias outras utilidades práticas. Do poto de vista de programação, a maior utilidade desse método está o cálculo do resultado da aplicação de uma fução poliomial a um determiado valor. Supoha, por exemplo, que se deseja calcular o resultado (i.e., o valor umérico) da aplicação da fução poliomial P(x) a seguir sobre 5 [i.e., deseja-se calcular P(5)]: P(x) = 4x 4 5x 3 + 3x + x A maeira mais rudimetar de realizar esse cálculo é a seguite: P(5) = = = = 959 O cálculo igêuo apresetado acima pode ser substacialmete simplificado usado- -se o artifício maual mostrado a Figura B. [] Essa deomiação é uma homeagem ao matemático britâico William George Horer que popularizou o método (mas ão o ivetou).

4 634 Apêdice B Elemetos de Matemática Coeficietes são repetidos Multiplica-se pelo coeficiete correte e soma-se com o próximo coeficiete P(x) = 4x 4 5x 3 + 3x + x P(5) Figura B : Cálculo Simplificado de um Valor Numérico de um Poliômio A técica iformal descrita acima é baseada o fato de o poliômio: Px ( ) = ax + a x ax + a0 [] poder ser escrito como: Px ( ) = a + x( a + x( a x( a + a x))) 0 [] A prova dessa última afirmação é relativamete trivial e o leitor poderá ecotrá-la em muitos livros de matemática elemetar que versam sobre o assuto. Mais importate para o programador é saber como implemetar esse método eficiete de cálculo. Para eteder como o método de Horer pode ser trasformado em algoritmo, ote que o valor umérico de um poliômio P(x) para x = x 0 pode ser obtido por meio da seguite sequêcia de costates b i : b = a b = a + b x 0 b 0 = a 0 + b x 0 Substituido iterativamete os valores b i a Fórmula [] apresetada acima, é fácil mostrar que P(x 0 ) = b 0. A fução Horer(), exibida o programa abaixo, implemeta o método de Horer delieado acima para avaliar o valor umérico de um poliômio para um dado valor. Para simplificar, o cojuto dos úmeros iteiros é cosiderado como domíio dos poliômios. Essa fução retora o referido valor calculado e seus parâmetros são: pol (etrada) o poliômio represetado por seus coeficietes armazeados um array grau (etrada) o grau do poliômio x (etrada) o valor para o qual o poliômio será calculado it Horer(cost it pol[], it grau, it x) { it i, resultado; /* Iicia a sequêcia de úmeros (bi) com o */ /* coeficiete (a) do termo de maior grau */ resultado = pol[grau];

5 } B.4 Logaritmos 635 /* Repetidamete, multiplica o valor do resultado */ /* por x e adicioa o valor do coeficiete seguite */ for (i = grau - ; i >= 0; --i) resultado = resultado*x + pol[i]; retur resultado; it mai(void) { it p[] = {-,, 3, -5, 4}, /* Coeficietes do poliômio */ grau; /* grau do poliômio */ } grau = sizeof(p)/sizeof(p[0]) - ; pritf( "\\t>>> Valor de P(5): %d\", Horer(p, grau, 5) ); retur 0; Obter o valor umérico de um poliômio do modo tradicioal (i.e., termo a termo) requer, o máximo, adições e ( + )/ multiplicações, o que sigifica dizer que essa operação tem custo temporal O( ). Por outro lado, claramete, a fução Horer(), que implemeta a mesma operação usado o método de Horer, tem custo temporal O(). B.4 Logaritmos B.4 O logaritmo de um úmero real positivo x a base b, sedo b > 0 e b, é defiido como: log b x = y se e somete se b y = x A base b de um logaritmo pode ser omitida, mas, quado esse é o caso, subetedem- -se valores diferetes para b, depededo da área de aplicação. Por exemplo, em computação log x sigifica log x, mas em muitas outras áreas de ciêcias, o sigificado de log x é log 0 x. Por outro lado, l x é o logaritmo atural (ou eperiao) de x; i.e., l x é o mesmo que log e x, em que e é a costate de Napier. Algumas propriedades importates de logaritmos são as seguites: Regra do produto: log b (xy) = log b x + log b y Regra do quociete: log b (x/y) = log b x - log b y Regra do expoete: log b x p = p.log b x Mudaça de base: log b x = (log k x)/(log k b) B.5 Matrizes B.5 Uma matriz m é uma tabela com lihas e m coluas cotedo elemetos de algum cojuto. Por exemplo, a seguir tem-se uma matriz 3: A x 3 = A seguir, serão apresetadas algumas defiições básicas relacioadas a matrizes:

6 636 Apêdice B Elemetos de Matemática Uma matriz quadrada é aquela cujo úmero de lihas é igual ao úmero de coluas. A diagoal pricipal de uma matriz quadrada é a diagoal formada pelos elemetos a ij de modo que i = j, sedo i, j. A matriz idetidade I é a matriz quadrada a qual todos os elemetos a diagoal pricipal são iguais a e os demais elemetos são iguais a zero. Por exemplo, a matriz idetidade I é apresetada abaixo: I = 0 0 Soma e subtração de matrizes são defiidas apeas quado as matrizes possuem as mesmas dimesões. Para se obter o resultado da soma ou subtração de duas matrizes, os elemetos correspodetes são somados ou subtraídos, respectivamete. Por exemplo: = Multiplicação de matrizes é um pouco mais complicada. Em primeiro lugar, as dimesões das matrizes a serem multiplicadas deve ser tal que o úmero de coluas da primeira matriz (operado esquerdo) deve ser igual ao úmero de lihas da seguda matriz (operado direito). Mais precisamete, se a matriz A for m e a matriz B for m p é uma matriz C p em que cada elemeto c ij é dado por: c ij = m k= a b ik kj Por exemplo: = É importate otar que a multiplicação de matrizes ão é comutativa e que o produto de qualquer matriz A m x pela matriz idetidade I é a própria matriz A m x. Também, o produto da matriz idetidade I m pela matriz A m x é A m x. A trasposta de uma matriz A m x é a matriz T x m, tal que cada elemeto da matriz trasposta é dado por: t ij = a ji. Por exemplo, a trasposta da matriz: A x 3 = é a matriz: T 3 x = - 0 -

7 B.6 Fuções Piso e Teto 637 B.6 Fuções Piso e Teto B.6 As fuções piso e teto mapeiam úmeros reais em úmeros iteiros de tal modo que o piso de úmero real é sempre um úmero iteiro e o mesmo ocorre com o teto de um úmero real. O piso de um úmero real x, represetado como x, é o maior úmero iteiro meor do que ou igual a x. Por outro lado, o teto de um úmero real x, represetado como x, é o meor úmero iteiro maior do que ou igual a x. Essas defiições parecem cofusas, mas se toram simples se você seguir o seguite artifício para determiar o piso e o teto de um úmero real:. Determie etre quais úmeros iteiros o úmero real em questão se ecotra a reta real.. O meor desses úmeros é o piso e o maior deles é o teto. Para ão esquecer: o teto está sempre acima de sua cabeça e o teto está sempre abaixo dos seus pés. Supodo que o úmero cujos piso e teto se desejam determiar seja,5, a Figura B ilustra esse artifício:,5 0 3 Piso Teto Figura B : Piso e Teto de um Número Real Positivo No caso de um úmero real egativo, determiar piso e teto pode parecer um pouco mais cofuso, mas o procedimeto acima descrito também se aplica esse caso, como mostra a Figura B 3. -, Piso Teto Figura B 3: Piso e Teto de um Número Real Negativo Sedo x um úmero real e um úmero iteiro, etão as seguites propriedades das fuções piso e teto merecem destaque:. x = se e somete se x < +. x = se e somete se x < x 3. x = se e somete se < x 4. x = se e somete se x < x + 5. x + = x + 6. x + = x + 7. = =

8 638 Apêdice B Elemetos de Matemática B.7 Aálise Combiatória B.7 Aálise combiatória é um ramo de matemática que se dedica a cotar as diversas maeiras pelas quais elemetos de um cojuto fiito podem ser combiados. Essas formas de cotages são tipicamete divididas em três categorias: Arrajos, que são agrupametos de elemetos que depedem de ordeação. Para calcular o arrajo de elemetos cosiderados p a p, em que p, utiliza-se a fórmula: A p,! = ( p)! Exemplo de arrajo: Supoha que um campeoato de futebol existam cico equipes participates, etão, se o campeoato tiver dois turos, de modo que os times se efretem duas vezes, etão o úmero de cofrotos etre essas equipes é determiado por: 0! 0! A 0, = = = 90 ( 0 )! 8! Combiações, que são agrupametos de elemetos que ão depedem de ordeação. Para calcular a combiação de elemetos cosiderados p a p, em que p, utiliza-se a fórmula: C p,! = p!( p)! Exemplo de combiação: O úmero de maeiras distitas que se podem agrupar as vogais da lígua portuguesa duas a duas é dado por: 5! 5! C 5, = = = 0!( 5 )! 3!! Permutações, que são agrupametos ordeados de modo que o úmero de elemetos de cada agrupameto é igual ao úmero de elemetos dispoíveis. A permutação de elemetos é calculada por meio da fórmula: P =! Exemplo de permutação: O úmero de maeiras distitas que se podem apresetar as vogais da lígua portuguesa, sem importar a ordem com que são apresetadas, é dado por: P 5 = 5! = 0 B.8 Idução Fiita B.8 Idução matemática fiita é um método de prova matemática utilizada para demostrar teoremas sobre úmeros iteiros ão egativos ou úmeros aturais. Esse método de prova tem duas formulações equivaletes, mas, provavelmete, a mais simples e mais utilizada prescreve os seguites passos:

9 B.8 Idução Fiita 639 Passo. Mostre que o teorema é válido para o meor valor para o qual ele afirma ser válido. Por exemplo, se um teorema afirma que uma determiada propriedade é válida para N, etão o meor valor a que se refere esse passo é 0. Passo. Assuma que o teorema vale para = k (hipótese idutiva) e mostre que o teorema vale para = k +. Exemplo : Mostre que: Prova: + i = ( ) Passo. Claramete, a igualdade vale para =, pois obtém-se como resultado os dois lados da igualdade. Passo. Assume-se que a seguite igualdade é válida: k kk+ i = ( ) Deve-se mostrar que a seguite igualdade é válida usado-se a hipótese idutiva: k+ ( k k k k i = + )( + + ) ( = + )( + ) Agora, essa última igualdade pode ser escrita como: k+ k k+ i+ i k+ Etão, utilizado-se a hipótese idutiva, tem-se: k+ kk ( + ) i = + k + Fialmete, resolvedo-se o lado direito dessa última igualdade, obtém-se: k+ ( k k i = + )( + ) Exemplo : Mostre por idução que T() = O( ). Prova: Deve-se mostrar que c 0, para cada 0. Passo. Quado c 0 = 6 e 0 = 4, tem-se que: = = = 6.4 = c 0 Passo. Hipótese idutiva: 5k + 3k + 6k, para k 6

10 640 Apêdice B Elemetos de Matemática Deve-se mostrar que 5(k + ) + 3(k + ) + 6(k + ), ou seja, rearrajado os termos dessa última desigualdade, deve-se mostrar que: 5k + 3k + (k - ) 6k, para k 6 (a ser demostrado) ( ) Somado-se (k - ) aos dois lados da desigualdade que represeta a hipótese idutiva, pode-se reescrevê-la como: 5k + 3k + (k - ) 6k (k - ), para k 6 (hipótese idutiva) ( ) Agora, comparado-se as desigualdades ( ) e ( ), resta mostrar que: 6k (k - ) 6k, para k 6 É fácil mostrar que essa última desigualdade é valida para qualquer k. Logo, ela também é válida para k 6. B.9 Relações de Recorrêcia B.9 Uma relação de recorrêcia cosiste de duas ou mais equações que descrevem uma sequêcia de úmeros de tal modo que os primeiros termos da sequêcia são defiidos explicitamete, equato que os demais são defiidos em fução de seus atecessores. Por exemplo, as duas equações a seguir costituem uma das mais simples relações de recorrêcia: { 0 se = 0 F = F + se Nessa relação de recorrêcia, o primeiro termo é 0 e cada termo subsequete é obtido somado-se ao termo aterior. Logo, os termos dessa sequêcia correspodem exatamete ao cojuto dos úmeros aturais. Uma relação de recorrêcia pode ser aparecer em otação de subscritos, como o exemplo acima, ou em otação de fução, como é mostrado a seguir: { 0 se = 0 f() = f( ) + se Em pricípio, uma relação de recorrêcia ão permite que se determie o valor de um termo arbitrário da sequêcia que ela represeta. Por exemplo, se ão fosse preuciado que a relação de recorrêcia do exemplo acima represetava os úmeros aturais, talvez o leitor tivesse dificuldade de descobrir qual seria o cetésimo termo dessa sequêcia. Resolver uma relação de recorrêcia sigifica apresetá-la um formato (solução) que ão evolve recursão. Tal formato é uma expressão, deomiada forma fechada, que pode ser facilmete utilizada para determiar o eésimo termo da sequêcia que a relação de recorrêcia represeta. A forma fechada da relação do exemplo acima é, simplesmete,. Não existe fórmula geral para resolução de relações de recorrêcia e, pior, em sempre é simples ecotrar uma fórmula que represete o -ésimo termo da sequêcia que a relação de recorrêcia represeta.

11 B.9 Relações de Recorrêcia 64 Esta seção apresetará apeas como são resolvidas relações de recorrêcia que aparecem este livro. B.9. Cojectura e Idução Matemática A técica de resolução de relações de recorrêcia que utiliza cojectura e idução matemática foi exposta a Seção Essa é a técica mais simples de resolução de relações de recorrêcia, mas, ifelizmete, são poucas as relações de recorrêcia de iteresse em estruturas de dados que podem ser resolvidas dessa maeira. Etretato, por ser a mais simples, essa técica deve ser a primeira a ser especulada. B.9. Relações de Recorrêcia Homogêeas Relações de recorrêcia homogêeas apresetam o seguite formato: f () = a f( ) + a f ( ) + + a d f ( d) em que a, a,..., a d e d são costates, sedo a costate d deomiada a ordem da recorrêcia. Tipicamete, são especificados valores da fução em para algus valores deomiados codições de froteira. Provavelmete, o exemplo mais otável de relação de recorrêcia homogêea é aquele que defie a sequêcia de Fiboacci: { se < f() = f( ) + f( ) se Na relação de recorrêcia de Fiboacci, a = a = e as codições de froteira são f(0) = 0 e f() =. A ordem dessa recorrêcia é d =. Relações de recorrêcia homogêeas apresetam soluções da forma: f() = x Substituido-se essa forma de solução a relação de recorrêcia, obtém uma equação deomiada equação característica. Por exemplo, a equação característica da relação de recorrêcia de Fiboacci é: x = x + x Dividido-se ambos os lados dessa equação por x e rearrajado seus termos, obtém-se: x x = 0 Essa é uma equação que pode ser facilmete resolvida, resultado as seguites raízes: 5 x = + e x = 5 Portato, têm-se duas soluções para a recorrêcia de Fiboacci, a saber: + f( )= e f( )=.

12 64 Apêdice B Elemetos de Matemática Agora, em Matemática, demostra-se um teorema que afirma que qualquer combiação liear das raízes de uma equação característica é uma solução para a recorrêcia. No caso da recorrêcia de Fiboacci, isso implica que: + f ( )= s + t é uma solução para a recorrêcia. Os parâmetros s e t que aparecem a combiação liear podem ser determiados utilizado-se as codições de froteira. Desse modo, o caso da recorrêcia de Fiboacci, obtém-se: f ( 0) = s + t = s+ t = 0 e + + f () = s + t = s+ t = Resolvedo-se o sistema formado pelas equações () e (), obtém-se: s = 5 e t = 5. () () Portato, a solução (forma fechada) para a recorrêcia de Fiboacci é dada por: f ( )= B.0 Propriedades de Aálise Assitótica B.0 Esta seção apresetará demostrações de teoremas euciados o Capítulo 6. Teorema 6.: f() é θ(g()) se e somete se g() é θ(f()). Prova: ( ) Supoha que f() é θ(g()). De acordo com a Defiição 6.3, f() é O(g()) e f() é Ω(g()). Como f() é O(g()), etão existem costates c 0 > 0 e 0 0 tais que f() c 0 g() para todo 0. Mas, como c 0 > 0, tem-se que g() k 0 f(), sedo k 0 = /c 0, para todo 0. Isso mostra que g() é Ω(f()). Agora, como f() é Ω(g()), existem c 0 > 0 e 0 0 tais que f() c 0 g() para todo 0. Mas, como c 0 > 0, tem-se que g() k 0 f(), sedo k 0 = /c 0, para todo 0. Isso mostra que g() é O(f()). Como g() é Ω(f()) e g() é O(f()), tem-se que g() é θ(f()). ( ) A seguda parte deste teorema pode ser demostrada de modo semelhate à prova da primeira parte e é deixada como exercício para o leitor. Corolário 6.: f() é θ(g()) se e somete se f() é O(g()) e g() é O(f()).

13 B.0 Propriedades de Aálise Assitótica 643 Prova: ( ) Supoha que f() é θ(g()). Etão, por defiição, f() é O(g()) e, de acordo com o Teorema 6., g() é θ(f()), o que, por defiição, sigifica que g() é O(f()). ( ) Supoha que f() é O(g()) e g() é O(f()). Como g() é O(f()), tem- -se que f() é Ω(g()) (v. prova do Teorema 6.). Logo, f() é θ(g()). Corolário 6.: f() é θ(g()) se e somete se f() é Ω(g()) e g() é Ω(f()). Prova: Este corolário pode ser demostrado de modo semelhate à prova do Corolário 6.. Esta demostração é deixada como exercício para o leitor. Teorema 6.: Supoha que a 0, a,..., a k sejam úmeros reais, com a k 0. Etão, tem-se que: T() = a k k + a k k a + a 0 é θ( k ). Prova: Seja c 0 = a k + a k a + a 0. Etão, para qualquer, tem-se que: T() = a k k + a k k a + a 0 a k k + a k k a k + a 0 k = = (a k + a k a + a 0 ) k = c 0 k, o que mostra que T() é O( k ). () Agora, para qualquer, tem-se também que: T() = a k k + a k k a + a 0 a k k, o que mostra que T() é Ω( k ). () Como, por (), T() é O( k ) e, por (), T() é Ω( k ), coclui-se que T() é θ( k ). Teorema 6.3: c f() + c é O(f()). Prova: Para todo, tem-se que c f() + c c f() + c f() = (c + c )f(). Portato, cosiderado c 0 = c + c, obtém-se o resultado desejado. Teorema 6.4: Se T () é O(f()) e T () é O(g()), etão: T () + T () é O(max(f(), g())) Prova: Como, por hipótese, T () é O(f()) e T () é O(g()), etão existem costates c > 0, 0, c > 0 e 0 tais que: T () c f(), para e T () c g() para. Seja 0 = max(, ). Etão, tem-se que: T () + T () c f() + c g() para 0. () Agora, por defiição, f() max(f(), g()) e g() max(f(), g()). () Logo, em decorrêcia dos resultados () e (), obtém-se: T () + T () c max(f(), g()) + c max(f(), g()) = (c + c )max(f(), g()) para 0. Portato, cosiderado-se c 0 = c + c, T () + T () é O(max(f(), g())). Teorema 6.5: Se T () é O(f()) e T () é O(g()), etão T ()T () é O(f()g()). Prova: Se T () é O(f()) e T () é O(g()), etão existem costates c > 0, 0, c > 0 e 0 tais que: T () c f(), para e T () c g(), para.

14 644 Apêdice B Elemetos de Matemática Seja 0 = max(, ). Etão, tem-se que: T ()T () c f()c g() = c c f()g(), para 0. Portato, tomado-se c 0 = c c, tem-se: T ()T () é O(f()g()). Teorema 6.6: Se T() é um poliômio de grau k, etão T() é O( k ). Prova: V. prova do Teorema 6.. Teorema 6.7: k é O(c ), para k > 0 e c >. Prova: Deve-se mostrar que existem costates c 0 > 0 e 0 0 tais que: k c 0 c para 0. Agora, cosiderado-se c 0 = e 0 =, pode-se mostrar por idução (tete fazer isso) que: k c para. Teorema 6.8: Se T() é O(f()) e f() é O(g()), etão T() é O(g()). Prova: Se T() é O(f()) e f() é O(g()), etão existem costates c > 0, 0, c > 0 e 0 tais que: T() c f(), para e f() c g(), para. Seja 0 = max(, ). Etão, para 0, tem-se que: T() c f() c g() c f() c g() f() c /c g(). Portato, cosiderado-se c 0 = c /c, tem-se que: T() é O(g()). B. Propriedades de Árvores Biárias B. Esta seção apreseta demostrações de teoremas euciados o Capítulo. Teorema.: (Lema) Prova: (i) O úmero máximo de ós o ível i de uma árvore biária é i, i ; (ii) O úmero máximo de ós uma árvore biária de profudidade p é p, p. (i) A prova é feita por idução sobre i (v. Seção B.8). Para i =, tem-se que i- = - =, pois só há um ó o ível, que é a raiz. Supoha agora que a parte (i) do teorema seja válida para i = ; isto é, que o úmero máximo de ós o ível é dado por: - Etão, deve-se mostrar que esta equação também vale para i = +, ou seja, que o úmero máximo de ós o ível + é dado por: Ora, como cada ó tem o máximo grau, etão o úmero máximo de ós o ível + é vezes o úmero máximo de ós o ível, isto é,. - =. Assim, a parte (i) da proposição está provada.

15 B. Propriedades de Árvores Biárias 645 (ii) O úmero máximo de ós uma árvore biária de profudidade p é o somatório do úmero máximo de ós em todos os íveis da árvore, ou seja: k i k = Exercício: A prova dessa última igualdade pode também ser feita por idução (v. Seção B.8). Como exercício, tete demostrá-la. Teorema.: Para qualquer árvore biária, se 0 é o úmero de ós termiais (folhas) e é o úmero de ós de grau, etão 0 = +. Prova: Sejam o úmero de ós de grau e o úmero total de ós. Uma vez que qualquer ó possui grau meor do que ou igual a tem-se que: = () Agora, cada ó, exceto a raiz, possui uma ramificação que o liga a seu ó pai. Etão, se r é o úmero de ramificações, tem-se = r +. Mas, cada ramificação parte de um ó de grau um ou de um ó de grau dois. Assim, r = + e, portato: = + + () Resolvedo-se as equações () e (), obtém-se o resultado desejado: 0 = + q. e. d. Teorema.3: Se é o úmero de ós de uma árvore estritamete biária e p é a sua profudidade, etão a seguite relação é válida: p p (p > 0) Prova: Este teorema pode ser parafraseado assim: a meor árvore estritamete biária com profudidade p que existe possui p ós e a maior árvore estritamete biária com profudidade p que existe possui p ós. Agora, a meor árvore estritamete biária com profudidade p possui dois ós em cada ível, exceto o primeiro ível, que só cotém a raiz. Portato, o úmero de ós dessa árvore é dado por: k k = Por outro lado, a maior árvore estritamete biária com profudidade p possui o úmero máximo de ós em cada ível que, de acordo com o Teorema., é dado por i. Mas, de acordo com esse mesmo teorema, o úmero total de ós uma árvore dessa atureza é igual a p. Teorema.4: Numa árvore estritamete biária, o úmero total de ós é dado por: = 0, sedo 0 o úmero de folhas da árvore. Prova: De acordo com o Teorema., tem-se que, para qualquer árvore biária: 0 = + Mas, uma árvore estritamete biária, ão existe ó com grau igual a um. Logo: = 0 + () ()

16 646 Apêdice B Elemetos de Matemática Resolvedo-se as equações () e (), obtém-se: = 0 Teorema.5: O úmero de ós de grau dois ( ) de uma árvore biária perfeita matém a seguite relação com o úmero total de folhas ( 0 ): = 0 Prova: Seja p a profudidade de uma árvore biária perfeita. Etão, o úmero total de ós () de uma árvore biária perfeita é, de acordo com a Defiição.7 e o Teorema., dado por: = p 0 + = p = p () A seguda igualdade acima é decorrete do fato de só existirem ós de grau dois ( ) e de grau zero ( 0 ). Agora, de acordo com a parte (i) do Teorema., tem-se que: 0 = p 0 = p () Resolvedo-se as equações () e () acima, obtém-se o resultado desejado: = 0 Corolário.: Numa árvore biária perfeita, o úmero de folhas ( 0 ) matém a seguite relação com o úmero total de ós (): 0 = + Prova: De acordo com o Teorema.5, tem-se: = 0 Agora, o úmero total de ós () de uma árvore biária perfeita é (v. acima) dado por: = 0 + () Resolvedo-se as equações () e () acima, obtém-se o resultado desejado. Teorema.6: A profudidade p de uma árvore biária completa com ós é dada por: p ( ) = log + Prova: A meor árvore biária completa com profudidade p que existe possui apeas um ó o ível p, de modo que, de acordo com o Teorema. (ii), o úmero míimo de ós uma árvore biária completa com profudidade p é dado por: mi = p + = p A maior árvore biária completa com profudidade p que existe possui o úmero máximo de ós o ível p, que, de acordo com o Teorema. (ii), é dado por: mi = p Portato, o úmero de ós de uma árvore biária completa com profudidade p satisfaz a seguite relação: ()

17 p p Desevolvedo-se a primeira desigualdade, obtém-se: B. Propriedades de Árvores Biárias 647 p log + () Desevolvedo-se a seguda desigualdade, obtém-se: p log ( + ) log () Combiado-se () e () e levado em cota a propriedade da fução piso que afirma que: m x m + m = x obtém-se o resultado desejado: p ( ) = log + Teorema.7: Se uma árvore biária completa com ós for represetada sequecialmete coforme foi descrito a Seção..4, etão, para qualquer ó umerado por i, i, tem-se: (i) Pai(i) é umerado como i/, se i. Se i =, o ó i é a raiz da árvore, que ão possui pai. (ii) FilhoEsquerda(i) é umerado como i, se i. Se i >, etão o ó i ão possui filho da esquerda. (iii) FilhoDireita(i) é umerado como i +, se i +. Se i + >, etão o ó i ão possui filho da direita. Prova: Em primeiro lugar, deve-se otar que se a parte (ii) do teorema for provada, a parte (iii) tora-se uma cosequêcia imediata, pois, quado um ó é umerado como i, seu irmão direito, quado ele existe, é obviamete umerado como i +, devido ao esquema de umeração da esquerda para a direita. Além disso, tedo provado as partes (ii) e (iii), a parte (i) do teorema passa a ser cosequêcia imediata delas, visto que um ó que possui filhos umerados como i e i + só pode ser umerado como i/, devido ao esquema de umeração por íveis. Portato, resta demostrar a parte (ii) do teorema e essa prova será feita por idução a seguir. Para i =, o ó que apreseta essa umeração é a raiz e seu filho à esquerda é umerado com, a ão ser que a árvore só possua raiz. (Não esqueça que, por hipótese, a árvore biária é completa.) Como hipótese idutiva, supoha que a parte (ii) do teorema seja verdadeira para i = k; i.e., FilhoEsquerda(k) é umerado como k. Etão, deve-se mostrar que FilhoEsquerda(k + ) é umerado como (k + ). Agora, de acordo com o esquema de umeração proposto, somado-se a FilhoEsquerda(k), obtém-se FilhoEsquerda(k + ). Mas, de acordo com a hipótese idutiva, FilhoEsquerda(k) é umerado como k, de modo que a umeração de FilhoEsquerda(k + ) é dada por k + = (k + ).

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