UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

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1 0 UNIVERIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL MÁRCIO REBOUÇA DA ILVA NÚMERO BINOMIAI: UMA ABORDAGEM COMBINATÓRIA PARA O ENINO MÉDIO FORTALEZA 205

2 MÁRCIO REBOUÇA DA ILVA NÚMERO BINOMIAI: UMA ABORDAGEM COMBINATÓRIA PARA O ENINO MÉDIO Dissertação de Mestrado apresetada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacioal, do Departameto de Matemática da Uiversidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obteção do Título de Mestre em Matemática. Área de cocetração: Esio de Matemática. Orietador: Prof. Dr. José Robério Rogério. FORTALEZA 205

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5 4 À Deus. À miha família.

6 5 AGRADECIMENTO Aos meus pais Jeovae e Deusiaa, pela eorme dedicação a educação de seus filhos. Ao meu irmão Bruo, pelo compaheirismo e pela cofiaça a mim depositada. Ao meu irmão Felipe, por me fazer uma pessoa paciete ao lidar com suas dúvidas e teimosias. À miha esposa Aa, por estar sempre ao meu lado estimulado a cocluir o mestrado. Aos meus filhos Nicole e Mateus, pois sem vocês certamete ão estaria cocluido o mestrado. Aos demais familiares, por ficar com meus filhos equato assistia às aulas de sábado. Ao meu amigo Alexmay, pelas coversas e sugestões valiosas, que espero ter correspodido às expectativas. Ao professor Atôio Camiha, por ser um professor referecial, mesmo ates de cohecê-lo. Ao professor José Robério Rogério, pela postura e, pricipalmete, paciêcia a forma de coduzir a orietação. A todos os professores do PROFMAT, por cotribuírem sigificativamete para a miha formação profissioal.

7 6 A Ciêcia pelo camiho da exatidão só tem dois olhos: a Matemática e a Lógica. (De Morga)

8 7 REUMO Este trabalho tem por fialidade apresetar uma abordagem, para o Esio Médio, de úmeros biomiais (icluido as propriedades do triâgulo de Pascal e biômio de Newto), cotedo as demostrações combiatórias, ao utilizar dupla cotagem, jutamete com as demostrações algébricas, como parcialmete já é feito, além de geeralizar, citado os úmeros triomiais (icluido as propriedades da pirâmide de Pascal) e os úmeros multiomiais (icluido o poliômio de Leibiz). Palavras-chave: Cotagem. Triâgulo de Pascal. Biômio de Newto. Pirâmide de Pascal. Poliômio de Leibiz.

9 8 ABTRACT This project aims at presetig a approach of biomial umbers for high school (icludig Pascal s triagle properties ad biomial of Newto), cotaiig the combiatorial statemets whe usig double coutig, alog with algebraic demostratios, as part is already doe i additio to geeralize, citig the triomial umbers (icludig the properties of the Pascal pyramid) ad multiomial umbers (icludig the Leibiz s polyomial). Keywords: Coutig. Pascal s triagle. Biomial of Newto. Pascal s pyramid. Leibiz s polyomial.

10 9 UMÁRIO INTRODUÇÃO CONTAGEM Pricípios básicos de cotagem Outras técicas de cotagem NÚMERO BINOMIAI Triâgulo de Pascal Biômio de Newto NÚMERO MULTINOMIAI Pirâmide de Pascal Poliômio de Leibiz CONCLUÃO APÊNDICE REFERÊNCIA... 73

11 0 INTRODUÇÃO Este trabalho visa desevolver uma ferrameta imprescidível para o estudo de probabilidade, assuto tão importate ão apeas para a Matemática Pura, como também para a Matemática Aplicada. Nosso maior foco se ecotra sobre úmeros biomiais, apresetado-os sob uma perspectiva algébrica, como ormalmete é visto o Esio Médio e, pricipalmete, sob uma perspectiva combiatória, acreditado ser esta a forma ideal para desevolver o aluo o iteresse pela área, desafiado-o a sempre apresetar respostas mais simples para os problemas, mas matedo sempre todo o rigor matemático a elaboração desses resultados. No capítulo 2, apresetamos as pricipais técicas de cotagem que serão úteis para as demostrações combiatórias ecessárias os demais capítulos, tais como pricípio aditivo, pricípio multiplicativo, arrajos simples, permutações simples e combiações simples, ode tais demostrações serão feitas utilizado o raciocíio de cotagem dupla (que cosiste em calcularmos um certo úmero de cofigurações de duas maeiras distitas sem cometer erros e, cosequetemete, obtermos resultados iguais). Apesar de ão ser osso maior foco, apeas uma ferrameta para isso, trataremos desse assuto mostrado o ecadeameto lógico das ideias em busca de osso maior foco, sempre privilegiado o raciocíio em cada técica de cotagem em detrimeto da simples memorização de uma fórmula, como ormalmete acotece o Esio Médio. No capítulo 3, apresetamos os úmeros biomiais, a orgaização desses úmeros o triâgulo de Pascal, jutamete com suas propriedades, e a fórmula para o desevolvimeto do biômio de Newto. edo este osso maior foco, faremos com que seja despertada o aluo a capacidade que o mesmo tem a percepção da estrutura lógica existete o triâgulo de Pascal e, cosequetemete, fazedo com que este aluo seja capaz de (ão apeas) euciar as propriedades do triâgulo de Pascal, mas (pricipalmete) de demostrá-las algebricamete e combiatoriamete (ao utilizar as técicas de cotagem jutamete com o raciocíio de dupla cotagem). No capítulo 4, apresetamos os úmeros triomiais, a orgaização desses úmeros a pirâmide de Pascal, jutamete com suas propriedades, a fórmula para a expasão triomial e as suas geeralizações, ou seja, os úmeros

12 multiomiais e a fórmula para a expasão multiomial (poliômio de Leibiz). O objetivo deste capítulo é voltado para aluos mais habilidosos em Matemática, por apresetar uma dificuldade maior, uma vez que este aluo terá que desevolver a sua capacidade de percepção de uma estrutura lógica mais rica que a do triâgulo de Pascal, a estrutura lógica existete a pirâmide de Pascal (versão tridimesioal do triâgulo de Pascal), fazedo com que este aluo seja capaz de euciar e demostrar tais propriedades da pirâmide de Pascal, tal qual foi capaz de fazer o triâgulo de Pascal, despertado este aluo a busca por resultados mais gerais para sua apredizagem.

13 2 2 CONTAGEM Neste capítulo, apresetaremos as pricipais técicas de cotagem que serão úteis para as demostrações ecessárias os capítulos seguites, tais como pricípio aditivo, pricípio multiplicativo, arrajos simples, permutações simples e combiações simples. Para a apresetação das pricipais técicas de cotagem, defia o fatorial de, para cada úmero atural, por, se = 0! =, ( )!, se e, cosequetemete,! = i quado. 2. Pricípios básicos de cotagem Iicialmete, apresetaremos a primeira técica básica de cotagem, cohecido como pricípio aditivo, ilustrado a seguir. ejam A e B dois cojutos disjutos (i.e., A B = ) com m e elemetos, respectivamete. Etão, o cojuto A B possui m+ elemetos (i.e., A B = A + B ). Uma aplicação comum do pricípio acima cosiste em escolhermos exatamete um objeto detre dois grupos mutuamete exclusivos (a saber, A e B), havedo um certo úmero de possibilidades em cada grupo (respectivamete, m e ), o que pode ser feito de m+ maeiras. acima. O exemplo a seguir é uma ilustração do pricípio aditivo mecioado

14 3 Exemplo 2... Um cesto cotém 4 maçãs diferetes e 6 baaas diferetes. De quatas maeiras distitas pode Nicole escolher uma úica fruta do cesto? olução. e Nicole pretede escolher uma úica fruta, etão ela escolhe ou uma maçã ou uma baaa e, como ela tem 4 possibilidades a escolha da maçã e 6 possiblidades a escolha da baaa, segue que Nicole tem 4+ 6 = 0 maeiras de escolher uma úica fruta do cesto. O pricípio aditivo pode ser geeralizado para um úmero fiito qualquer de cojutos, como segue. ejam A, A2,, A cojutos disjutos dois a dois (i.e., Ai Aj = para i j) com m, m2,, m elemetos, respectivamete. Etão, o cojuto possui m i elemetos (i.e., = A i A i ). A i mecioado acima. O exemplo a seguir é uma ilustração da geeralização do pricípio aditivo Exemplo Numa livraria, há 3 livros diferetes de física, 5 livros diferetes de matemática e 7 livros diferetes de química. upodo que Mateus teha permissão para escolher exatamete um livro, de quatas maeiras ele pode escolhê-lo? olução. e Mateus pretede escolher exatamete um livro, etão ele escolhe ou um de física ou um de matemática ou um de química e, como ele tem 3 possibilidades a escolha do livro de física, 5 possibilidades a escolha do livro de matemática e 7 possiblidades a escolha do livro de química, segue que Mateus tem = 5 maeiras de escolher exatamete um livro. Agora, apresetaremos a seguda técica básica de cotagem, cohecido como pricípio multiplicativo ou pricípio fudametal da cotagem, ilustrado a seguir.

15 4 ejam A e B dois cojutos ão vazios com m e elemetos, respectivamete. Etão, o cojuto A B formado pelos pares ordeados (, ) tais que x A e y B, possui m elemetos (i.e., A B = A B ). x y, Uma aplicação comum do pricípio acima cosiste em escolhermos simultaeamete dois objetos, um de cada um de dois grupos distitos (a saber, A e B), havedo um certo úmero de possibilidades em cada grupo (respectivamete, m e ), o que pode ser feito de m maeiras. mecioado acima. O exemplo a seguir é uma ilustração do pricípio multiplicativo Exemplo Um cesto cotém 4 maçãs diferetes e 6 baaas diferetes. De quatas maeiras distitas pode Nicole escolher duas frutas do cesto, sedo maçã uma delas e baaa a outra? olução. abedo que Nicole pretede escolher duas frutas, sedo maçã uma delas e baaa a outra, com 4 possibilidades a escolha da maçã e 6 possiblidades a escolha da baaa e, como cada escolha das duas frutas cosiste em um par ordeado ( x, y ), ode x pertece ao cojuto das maçãs e y pertece ao cojuto das baaas, segue que Nicole tem 4 6 = 24 maeiras de escolher duas frutas do cesto, cosiderado que maçã seja uma delas e baaa a outra. O pricípio multiplicativo pode ser geeralizado para um úmero fiito qualquer de cojutos, como segue. ejam A, A2,, A cojutos ão vazios com m, m2,, m elemetos, respectivamete. Etão, o cojuto A A2 A formado pelas -uplas

16 5 ordeadas ( x x x ),,,, tais que xi Ai, possui 2 m i elemetos (i.e., A A A A ). = = 2 i i O exemplo a seguir é uma ilustração da geeralização do pricípio multiplicativo mecioado acima. Exemplo Numa livraria, há 3 livros diferetes de física, 5 livros diferetes de matemática e 7 livros diferetes de química. upodo que Mateus teha permissão para escolher três livros com a codição de que quaisquer dois deles ão sejam da mesma matéria, de quatas maeiras ele pode escolhê-los? olução. e Mateus pretede escolher três livros com a codição de que quaisquer dois deles ão sejam da mesma matéria, sedo 3 possibilidades a escolha do livro de física, 5 possibilidades a escolha do livro de matemática e 7 possiblidades a escolha do livro de química, etão Mateus tem = 05 maeiras de escolher três livros, sem que quaisquer dois deles sejam da mesma matéria. O exemplo a seguir é uma ilustração da combiação dos pricípios aditivo e multiplicativo mecioados ateriormete. Exemplo Numa livraria, há 3 livros diferetes de física, 5 livros diferetes de matemática e 7 livros diferetes de química. upodo (agora) que Mateus teha permissão para escolher (apeas) dois livros com a codição de que eles ão sejam da mesma matéria, de quatas maeiras ele pode escolhê-los? olução. e Mateus pretede escolher dois livros com a codição de que eles ão sejam da mesma matéria, sedo 3 possibilidades a escolha do livro de física, 5 possibilidades a escolha do livro de matemática e 7 possiblidades a escolha do livro de química, etão ele pode fazer as seguites escolhas: (a) um de física e um de matemática: 3 5 = 5 maeiras; (b) um de física e um de química: 3 7 = 2maeiras; (c) um de matemática e um de química: 5 7 = 35 maeiras.

17 6 Como as escolhas de Mateus só podem ocorrer detre uma das possibilidades (a), (b) ou (c), segue que ele tem = 7 maeiras de escolher dois livros de matérias diferetes. No exemplo aterior, aplicamos o pricípio aditivo dividido o problema em casos (método costrutivo, que é a alterativa mais atural). Por outro lado, poderíamos aplicar o pricípio aditivo elimiado o caso referete à restrição (método destrutivo, que é a alterativa mais sofisticada). O exemplo a seguir é uma ilustração da combiação dos pricípios aditivo e multiplicativo, utilizado os métodos mecioados ateriormete. Exemplo Numa festa, existem 8 moças e 2 rapazes, ode 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são irmãos e os demais ão tem paretesco algum. abedo que ão pode haver casais formados etre irmãos, quatos casais podem ser formados, sedo uma moça e um rapaz? olução (atural). Pelo método costrutivo, podemos cosiderar os seguites casos: as moças que possuem irmãos: 3 0 = 30 casais possíveis; as moças que ão possuem irmãos: 5 2 = 80 casais possíveis. Portato, podem ser formados = 20 casais possíveis. olução (sofisticada). Pelo método destrutivo, temos 8 2 = 26 casais possíveis igorado a restrição de que ão pode haver casais formados etre irmãos (a saber, 3 2 = 6 casais possíveis). Portato, podem ser formados 26 6 = 20 casais possíveis. 2.2 Outras técicas de cotagem Embora algus (poucos, mas frequetes) problemas de Combiatória sejam aplicações dos pricípios básicos mecioados a seção aterior, vale a pea cohecermos técicas mais refiadas de cotagem para que tais problemas teham soluções mais imediatas.

18 7 Iicialmete, sedo cosequêcia do pricípio multiplicativo, estabeleceremos a primeira dessas técicas mais refiadas de cotagem deomiada arrajo. No etato, devemos eteder em que situação o problema é equadrado um arrajo, observado os exemplos a seguir. Exemplo Cosiderado o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W), de quatas maeiras podemos escolher duas letras, sedo uma vogal e uma cosoate? olução. Iicialmete, observe que para a escolha da vogal temos 5 possiblidades e, para cada uma delas, temos 8 possibilidades para a escolha da cosoate. Logo, pelo pricípio multiplicativo, existem 5 8 = 90 maeiras de escolher as duas letras, sedo uma vogal e uma cosoate. Exemplo Cosiderado o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W), de quatas maeiras podemos formar uma seha de duas letras, sedo uma vogal e uma cosoate? olução. No exemplo aterior, cocluímos que existem 90 maeiras de escolher as duas letras, sedo uma vogal e uma cosoate. Agora, para formarmos sehas com essas duas letras, basta cosiderarmos duas possibilidades (a saber, vogalcosoate ou cosoate-vogal) para cada uma dessas escolhas. Logo, existem 90 2 = 80 maeiras de formar uma seha de duas letras, sedo uma vogal e uma cosoate. Exemplo Cosiderado o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W), de quatas maeiras podemos formar uma seha de duas letras distitas? olução. Iicialmete, observe que para a escolha da primeira letra temos 23 possibilidades e, para cada uma delas, temos 22 possibilidades (já que as letras são distitas) para a escolha da seguda letra. Logo, pelo pricípio multiplicativo, existem = 506 maeiras de formar uma seha de duas letras distitas.

19 8 Observe que, o primeiro exemplo, apeas escolhemos as duas letras (a escolha de O e foi cotada uma úica vez), equato que, o segudo exemplo, escolhemos as duas letras e, em seguida, tivemos que ordeá-las para formar uma seha (a escolha de O e deve ser cotada duas vezes, pois as sehas O e O são diferetes). Por outro lado, o terceiro exemplo, já fizemos as duas etapas, ou seja, escolhemos as duas letras colocado-as em ordem (a escolha de O e foi cotada duas vezes, uma a ordem O e a outra a ordem O). Neste último exemplo, o problema é equadrado um arrajo, coforme a defiição a seguir. eja A um cojuto ão vazio com elemetos. Deomia-se arrajo simples dos elemetos de A, tomados a, com, a qualquer -upla ordeada ( x x x ),,, tal que xi A com xi xj para i j. 2 Deotado por A, o úmero de arrajos simples dos elemetos, tomados a, temos que: se < etão é impossível escolhermos uma quatidade de elemetos (distitos) maior do que a quatidade dispoível, cocluido que A, = 0; se etão temos possibilidades para a escolha de x e, excluido o elemeto escolhido ateriormete, restam possibilidades para a escolha de x 2 e, em seguida, excluido os dois elemetos escolhidos ateriormete, restam 2 possibilidades para a escolha de x 3 e, assim sucessivamete, até restarem ( ) possibilidades para a escolha de x, uma vez que devemos excluir os elemetos escolhidos ateriormete, cocluido, ( ) pelo pricípio multiplicativo, que A = ( ) ( ) ( ), 2. Assim, o úmero de arrajos simples dos elemetos, tomados a, é dado por A, = 0, se <, ( ) ( ( )), se ou aida, cosiderado a defiição de fatorial vista ateriormete, segue que A, =! ( )! para. Uma aplicação comum da técica de cotagem acima cosiste em escolhermos ordeadamete objetos distitos de um grupo, havedo possibilidades este grupo, o que pode ser feito de A, maeiras.

20 9 mecioada acima. O exemplo a seguir é mais uma ilustração da técica de cotagem Exemplo Numa corrida de carros, participam 20 pilotos. Quatos resultados são possíveis para o pódio (º, 2º e 3º lugares)? olução. Observe que para formar um pódio é ecessário escolhermos ordeadamete 3 pilotos (distitos) detre os 20 pilotos participates, ou seja, cada pódio correspode a uma tripla ordeada ( a, b, c ), com a b c a, em que a represeta o piloto que chegou em primeiro, b represeta o piloto que chegou em segudo e c represeta o piloto que chegou em terceiro. Logo, existem 20! A 20,3 = = = resultados possíveis para o pódio. 7! Agora, sedo cosequêcia do arrajo, estabeleceremos a seguda dessas técicas mais refiadas de cotagem deomiada permutação. No etato, devemos eteder em que situação o problema é equadrado uma permutação, observado os exemplos a seguir. Exemplo Cosiderado os dígitos, 2, 3, 4 e 5, quatos são os úmeros aturais de três algarismos distitos? olução. Observe que para formar um úmero de três algarismos distitos é ecessário escolhermos ordeadamete 3 dígitos distitos detre os 5 dígitos possíveis, ou seja, cada úmero correspode a uma tripla ordeada ( a, b, c ), com a b c a, em que a represeta o algarismo das ceteas, b represeta o algarismo das dezeas e c represeta o algarismo das uidades. Logo, existem 5! A 5,3 = = = 60 úmeros aturais de três algarismos distitos. 2! Exemplo Cosiderado os dígitos, 2, 3, 4 e 5, quatos são os úmeros aturais de cico algarismos distitos?

21 20 olução. De maeira aáloga ao exemplo aterior, observe que para formar um úmero de cico algarismos distitos é ecessário escolhermos ordeadamete 5 dígitos distitos detre os 5 dígitos possíveis. Logo, existem 5! A 5,5 = = 5! = = 20 úmeros aturais de cico algarismos distitos. 0! Observe que, o primeiro exemplo, escolhemos três algarismos distitos colocado-os em ordem, equato que, o segudo exemplo, escolhemos todos os algarismos colocado-os em ordem, ou seja, ão tivemos trabalho algum em escolhermos os algarismos (já que todos os úmeros possuem os mesmos cico algarismos), mas apeas em ordearmos os algarismos. Neste último exemplo, o problema é equadrado uma permutação, coforme a defiição a seguir. eja A um cojuto ão vazio com elemetos. Deomia-se permutação (simples) dos elemetos de A, a qualquer -upla ordeada ( x x x ),,, tal que xi A com xi xj para i j. 2 Deotado por P o úmero de permutações (simples) dos elemetos, temos que P = A,, pois cada permutação (simples) dos elemetos cosiste em um arrajo simples dos elemetos, tomados a. Assim, o úmero de permutações (simples) dos elemetos é dado por P =!. Uma aplicação comum da técica de cotagem acima cosiste em ordearmos todos os objetos de um grupo, havedo objetos este grupo, o que pode ser feito de P maeiras. mecioada acima. O exemplo a seguir é mais uma ilustração da técica de cotagem Exemplo Quatos são os aagramas da palavra NICOLE? olução. Observe que cada aagrama da palavra NICOLE correspode a uma ordeação das letras N, I, C, O, L e E. Logo, existem P 6 = 6! = = 720 aagramas da palavra NICOLE.

22 2 Por fim, sedo cosequêcia do arrajo e da permutação, estabeleceremos a terceira dessas técicas mais refiadas de cotagem deomiada combiação. No etato, devemos eteder em que situação o problema é equadrado uma combiação, observado os exemplos a seguir. Exemplo Recapitulado o exemplo 2.2.3, cosidere o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W). De quatas maeiras podemos formar uma seha de duas letras distitas? olução. Observe que para formar uma seha de duas letras distitas é ecessário escolhermos ordeadamete 2 letras distitas detre as 23 letras possíveis do alfabeto, ou seja, cada seha correspode a um par ordeado ( a, b ), com a b, em que a represeta a primeira letra e b represeta a seguda. Logo, existem 23! A 23,2 = = = 506 maeiras de formar uma seha de duas letras distitas. 2! Exemplo Cosiderado o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W), de quatas maeiras podemos escolher duas letras distitas? olução. No exemplo aterior, cocluímos que existem 506 maeiras de formar uma seha de duas letras distitas. Agora, para (apeas) escolhermos duas letras, basta cosiderarmos que para cada uma das escolhas possíveis existem duas sehas (a escolha de O e deveria ser cotada uma úica vez, já que foi cotada duas vezes, através das sehas O e O). Logo, existem 506 = 253 maeiras de 2 escolher duas letras distitas. Exemplo Recapitulado o exemplo 2.2.5, cosidere os dígitos, 2, 3, 4 e 5. Quatos são os úmeros aturais de três algarismos distitos? olução. Observe que para formar um úmero de três algarismos distitos é ecessário escolhermos ordeadamete 3 dígitos distitos detre os 5 dígitos possíveis, ou seja, cada úmero correspode a uma tripla ordeada ( a, b, c ), com

23 22 a b c a, em que a represeta o algarismo das ceteas, b represeta o algarismo das dezeas e c represeta o algarismo das uidades. Logo, existem 5! A 5,3 = = = 60 úmeros aturais de três algarismos distitos. 2! Exemplo Quatos são os subcojutos de três elemetos do cojuto {,2,3,4,5 }? olução. No exemplo aterior, cocluímos que existem 60 úmeros aturais de três algarismos distitos. Agora, para formarmos um subcojuto de três elemetos, basta cosiderarmos que para cada um dos subcojutos possíveis existem 3! = 6 úmeros aturais de três algarismos distitos (o subcojuto {,3,5 } deveria ser cotado uma úica vez, já que foi cotado seis vezes, através dos úmeros 35, 53, 35, 35, 53 e 53). Logo, existem elemetos. 60 = 0 subcojutos de três 6 Observe que, o primeiro (respectivamete, terceiro) exemplo, escolhemos dois (respectivamete, três) elemetos colocado-os em ordem. Por outro lado, o segudo (respectivamete, quarto) exemplo, apeas escolhemos dois (respectivamete, três) elemetos, sem a ecessidade de colocá-los em ordem. Nestes últimos exemplos mecioados (segudo e quarto), o problema é equadrado uma combiação, coforme a defiição a seguir. eja A um cojuto com elemetos. Deomia-se combiação simples dos elemetos de A, tomados a, com 0, ao subcojuto (cojuto vazio) ou a qualquer subcojuto { x x x },,, tal que xi A. 2 Deotado por C, o úmero de combiações simples dos elemetos, tomados a, temos que: se < etão é impossível escolhermos uma quatidade de elemetos (distitos) maior do que a quatidade dispoível, cocluido que C, = 0;

24 23 se etão cada subcojuto de elemetos escolhidos de A gera! sequêcias com os mesmos elemetos (-uplas ordeadas), cocluido que! C, = A,. Assim, o úmero de combiações simples dos elemetos, tomados a, é dado por C 0, se < = A,, se!,, ou aida, cosiderado C,0 = (i.e., o cojuto vazio), segue que C,! =!! ( ) para. Uma aplicação comum da técica de cotagem acima cosiste em escolhermos ão ordeadamete objetos distitos de um grupo, havedo possibilidades este grupo, o que pode ser feito de C, maeiras. mecioada acima. O exemplo a seguir é mais uma ilustração da técica de cotagem Exemplo abedo que a aposta simples a MEGA-ENA é costituída de seis úmeros escolhidos de um total de sesseta dezeas (a saber, de 0 a 60), de quatas maeiras podemos fazer uma aposta simples? olução. Observe que para fazer uma aposta simples, basta escolhermos ão ordeadamete 6 das 60 dezeas dispoíveis. Logo, existem C 60,6 60! = = = maeiras de fazer uma aposta 6! 54! 6! simples. Os exemplos a seguir são ilustrações da combiação dos pricípios básicos de cotagem, mecioados a seção aterior, jutamete com as técicas mais refiadas de cotagem, mecioadas a seção atual. Exemplo As placas dos automóveis são formadas por sete caracteres, sedo três letras do alfabeto oficial (icluido as letras K, Y e W) seguidas por quatro

25 24 algarismos. Quatas placas podem ser formadas, supodo que os caracteres são distitos? olução. Para escolhermos os sete caracteres que formam as placas, temos que escolher ordeadamete três letras distitas (o que pode ser feito de 26! A 26,3 = = 5600 maeiras) e, em seguida, para cada uma dessas escolhas, 23! devemos escolher ordeadamete quatro algarismos distitos (o que pode ser feito 0! A = = 5040 maeiras). Logo, pelo pricípio multiplicativo, podem ser 6! de 0,4 formadas A26,3 A0,4 = = placas, supodo que os caracteres sejam distitos. Exemplo De quatas maeiras 0 pessoas, sedo 2 criaças, 3 mulheres e 5 homes, podem ficar em fila, supodo que as criaças devem ficar o iício e os homes devem ficar o fim da fila? olução. Iicialmete, devemos ordear as 2 criaças que ficarão à frete da fila (o que pode ser feito de P 2 = 2! = 2 maeiras), em seguida, devemos ordear as 3 mulheres que ficarão logo após as criaças (o que pode ser feito de P 3 = 3! = 6 maeiras) e, fialmete, devemos ordear os 5 homes que ficarão logo após as mulheres (o que pode ser feito de P 5 = 5! = 20 maeiras). Logo, pelo pricípio multiplicativo, existem P2 P3 P5 = =.440 maeiras dessas pessoas ficarem em fila, supodo que as criaças devem ficar o iício e os homes o fim da fila. Exemplo Cosiderado que dispomos de 7 tipos de frutas diferetes, quatas saladas de frutas, cotedo quatro ou cico tipos de frutas, podem ser formadas? olução. Observe que para formar uma salada de fruta, com exatamete quatro tipos de frutas, basta escolhermos ão ordeadamete 4 dos 7 tipos de frutas

26 25 7! dispoíveis (o que pode ser feito de C 7,4 = = 35 maeiras), equato que para 4! 3! formar uma salada de fruta, com exatamete cico tipos de frutas, basta escolhermos ão ordeadamete 5 dos 7 tipos de frutas dispoíveis (o que pode 7! ser feito de C 7,5 = = 2 maeiras). Logo, pelo pricípio aditivo, existem 5! 2! C7,4 + C7,5 = = 56 maeiras de formar uma salada de frutas, cotedo quatro ou cico tipos de frutas. Exemplo Num hospital, cada equipe de platão deve coter 2 médicos e 3 efermeiras. abedo que o hospital dispõe de 7 médicos e 0 efermeiras, de quatas maeiras pode ser formada a equipe de platão? olução. Observe que para formar a equipe de platão, temos que escolher ão 7! ordeadamete 2 médicos (o que pode ser feito de C 7,2 = = 2 maeiras) e, 2! 5! em seguida, temos que escolher ão ordeadamete as 3 efermeiras (o que pode 0! ser feito de C 0,3 = = 20 maeiras). Logo, pelo pricípio multiplicativo, existem 3! 7! C7,2 C0,3 = 2 20 = maeiras de formar tal equipe de platão. Exemplo Num hospital, cada equipe de platão deve coter 2 médicos e 3 efermeiras. abedo que o hospital dispõe de 7 médicos (sedo Mateus um deles) e 0 efermeiras (sedo Nicole uma delas), de quatas maeiras pode ser formada a equipe de platão, supodo que Mateus e Nicole sejam casados e que o hospital ão permita côjuges a mesma equipe? olução (atural). Pelo método costrutivo, podemos cosiderar os seguites casos: Mateus participa e Nicole ão participa: C6, C9,3 = 6 84 = 504 maeiras de formar a equipe; Mateus ão participa e Nicole participa: C6,2 C9,2 = 5 36 = 540 maeiras de formar a equipe;

27 26 Mateus ão participa e Nicole ão participa: C6,2 C9,3 = 5 84 =.260 maeiras de formar a equipe. Portato, existem = maeiras de formar a equipe de platão, ão havedo côjuges a mesma equipe. olução (sofisticada). Pelo método destrutivo, já sabemos (exemplo aterior) que existem maeiras de formar a equipe de platão igorado a restrição de que Mateus e Nicole ão podem participar simultaeamete (a saber, C6, C9,2 = 6 36 = 26 maeiras de formar tal equipe). Portato, existem = maeiras de formar a equipe de platão, ão havedo côjuges a mesma equipe. Exemplo Cosiderado o alfabeto com 23 letras (excluido as letras K, Y e W), de quatas maeiras podemos formar uma seha de cico letras distitas, sedo duas vogais e três cosoates? olução. Iicialmete, devemos escolher ão ordeadamete as duas vogais 5! distitas (o que pode ser feito de C 5,2 = = 0 2! 3! maeiras) e, em seguida, devemos escolher ão ordeadamete as três cosoates distitas (o que pode ser 8! feito de C 8,3 = = 86 maeiras). Por outro lado, uma vez de posse das cico 3!5! letras distitas, devemos ordeá-las a fim de formar uma seha (o que pode ser feito de P 5 = 5! = 20 maeiras). Logo, pelo pricípio multiplicativo, existem C5,2 C8,3 P5 = = maeiras de formar uma seha de cico letras distitas, sedo duas vogais e três cosoates.

28 27 3 NÚMERO BINOMIAI Neste capítulo, apresetaremos os úmeros biomiais, a orgaização desses úmeros uma tabela deomiada triâgulo de Pascal e a fórmula para o desevolvimeto do biômio de Newto. Iicialmete, devemos defiir, para e aturais, com, o úmero biomial de sobre por! =,! ( )! ode represeta a ordem e represeta a classe do úmero biomial. segue que Como cosequêcia imediata da defiição acima, dado o atural,! = = = e 0 0!! e aida, dado o atural, segue também que deomiados biomiais complemetares.! = =! (! ) = para, para, Observe que a defiição de úmero biomial correspode ao cálculo das combiações simples e, sedo assim, podemos comprovar os resultados ateriores percebedo que, dado o cojuto A com elemetos: C,0 = sigifica subcojuto sem elemetos de A (i.e., o cojuto vazio); C, = sigifica subcojuto com elemetos de A (i.e., o próprio cojuto); C, = sigifica subcojutos com elemeto de A (i.e., os cojutos uitários); C, C, = sigifica que a quatidade de subcojutos com elemetos de A é igual à quatidade de subcojutos com elemetos de A (pois, cada subcojuto com elemetos de A correspode biuivocamete a um subcojuto com os elemetos restates de A).

29 28 3. Triâgulo de Pascal Com os úmeros biomiais defiidos ateriormete, costruímos uma tabela (umérica) triagular, deomiada triâgulo de Pascal, dispodo-os de tal forma que aqueles de mesma ordem situam-se a mesma liha e os de mesma classe situam-se a mesma colua, levado em cosideração o crescimeto das ordes (lihas umeradas de cima para baixo, começado em zero) e o crescimeto das classes (coluas umeradas da esquerda para direita, começado em zero), ou seja, especificamete temos: o elemeto da liha e colua é ; os elemetos (a ordem) da liha são 0,,, ; os elemetos (a ordem) da colua são, +, + 2,. Desse modo, segudo a descrição mecioada acima, as primeiras lihas do triâgulo de Pascal estão ilustradas a seguir.

30 29 Por outro lado, substituido cada úmero biomial pelo seu valor umérico, obtemos outra versão do triâgulo de Pascal, ilustrada a seguir. Observado atetamete o triâgulo de Pascal, algumas propriedades surgem com muita aturalidade. No etato, ao demostrá-las, percebemos ão ser com tata aturalidade como se imagiava e, por esse motivo, faremos as demostrações através de duas abordages: algébrica, utilizado argumetos algébricos e, combiatória, utilizado argumetos combiatórios; percebedo também que em algumas dessas demostrações, o argumeto algébrico é o mais elemetar, equato que, em outras demostrações, o argumeto combiatório é o mais elemetar. Iicialmete, apresetaremos a propriedade mais importate (e a mais fácil de otar) o triâgulo de Pascal, cohecida como relação de tifel, ilustrada a seguir. (Tal ilustração sugere que somado quaisquer dois elemetos cosecutivos de uma mesma liha obtemos o elemeto situado abaixo da última parcela.)

31 30 Proposição 3... e e são iteiros tais que > 0, etão + + =. + + Demostração (algébrica). De forma direta, partiremos do primeiro membro da igualdade acima, aplicado a defiição de úmero biomial, e chegaremos ao segudo membro, obtedo:!! + = + +! ( )! ( + )! ( )! ode queríamos chegar.! = +!! + ( )! + =!! + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +! + = = +!! +, Demostração (combiatória). Cosidere um grupo formado por homes e mulher, e aida, que desejamos escolher + pessoas desse grupo, o que pode ser feito de C +, + maeiras. Por outro lado, se desejarmos escolher + pessoas desse grupo, sedo homes e mulher, isto pode ser feito de C, = C, maeiras, equato que, se desejarmos escolher + pessoas desse grupo, sedo todos homes, isto pode ser feito de C, +. Logo, como detre as escolhas de + pessoas desse grupo temos (apeas) duas possibilidades, ou seja, a mulher sedo uma das + pessoas é uma possibilidade e a mulher ão sedo uma das + pessoas é outra possibilidade, segue que C, + C, + = C+, +. Fermat. A próxima propriedade que apresetaremos é cohecida como relação de

32 3 Proposição e e são iteiros tais que > 0, etão =. + + Demostração (algébrica). De forma direta, partiremos do primeiro membro da igualdade acima, aplicado a defiição de úmero biomial, e chegaremos ao segudo membro, obtedo:! = + ( + )! ( )!! = +!! ( ) ( )! = +!! ( ) ( ) ode queríamos chegar.! = =! ( ), +! + Demostração (combiatória). Cosidere um grupo formado por pessoas e que desejamos formar uma diretoria composta de + pessoas ( presidete e coselheiros) escolhidos desse grupo. Para tato, podemos escolher + pessoas e, em seguida, escolher o presidete detre as + pessoas restado coselheiros, o que pode ser feito de ( ) C, + + maeiras. Por outro lado, poderíamos escolher pessoas correspodedo aos coselheiros e, em seguida, escolher o presidete detre as pessoas restates, o que pode ser feito de ( ) C, maeiras. Portato, como as escolhas são idêticas, diferido (apeas) os procedimetos, segue que ( ) ( ) + C = C, sedo equivalete ao que, +, queríamos demostrar. Como corolário da proposição aterior, apresetamos a próxima propriedade, verificado que ao logo de qualquer liha, os elemetos crescem até a metade e decrescem a partir da metade, ou seja, os elemetos crescem quado > ou, equivaletemete, + < 2

33 32 e, em seguida, os elemetos decrescem quado < ou, equivaletemete, > + 2 ode o elemeto máximo é (para par) e = + (para ímpar) Corolário 3... e e são iteiros tais que > 0, etão > + se < e 2 < + se >. 2 A próxima propriedade que apresetaremos é cohecida como teorema da soma as lihas, ilustrada a seguir. Proposição e é iteiro tal que 0, etão 2 0 = = i 0 2. Demostração (algébrica). Cosiderado m m m = i m m m = i m m, m para 0 0 m, temos que

34 33 e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que m m m m m m = i i m m m m m m m m = i i m m m m m = + 0 i i m m = + i i m m i = 0 0, e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que m m m = + = i i m m m. Daí, fazedo m =,2,, o resultado obtido acima, chegamos às equações: = 2 0 = 2 2 = = 2 2 = 2. Assim, aplicado o produto telescópico, ou seja, multiplicado (membro a membro) as equações acima e elimiado os fatores comus em ambos os membros, cocluímos que 2 = 0 e, como = = = i segue (cosequetemete) que = 2, completado a demostração. Demostração (combiatória). Como C, é o úmero de subcojutos com elemetos de A { x x x } =, 2,,, segue que C,0 + C, + C,2 + + C, é o úmero total de subcojutos de A. Por outro lado, para formar um subcojuto de A devemos, para cada um dos elemetos, escolher se pertece ou ão ao

35 34 subcojuto a ser formado, o que pode ser feito de = 2 maeiras, obtedo o resultado desejado. A próxima propriedade que apresetaremos é cohecida como teorema da soma alterate as lihas, ilustrada a seguir. Proposição e é iteiro tal que, etão ( ) i ( ) 0 0 = = i m i Demostração (algébrica). Cosiderado ( ) que m m m m = i m m m = 0 para m, temos i m i m ( ) ( ), e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que m m i m m i m m m = + ( ) + ( ) + ( ) 0 i i m m m m i m m i m m m = + ( ) ( ) ( ) i i m m i m m i m = ( ) ( ) + 0 i i

36 35 m m = + i = 0 0 i i ( ) m i ( ) m i ( ), e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que m m m = + = i 0 i 0 m + = = m = i i m i m i ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ode queríamos chegar. Demostração (combiatória). Cosidere o cojuto A com elemetos e x A. Cosidere, aida, p o total de subcojutos de A com úmero par de elemetos e i o total de subcojutos de A com úmero ímpar de elemetos, isto é: p C C C i = C + C + C +. =,0 +,2 +,4 + e,,3,5 Como já mecioado ateriormete, os subcojutos podem ser divididos em dois casos (a saber, os subcojutos cotedo x e os subcojutos ão cotedo x). Assim, para o cálculo de p, se o elemeto x pertecer ao subcojuto, etão temos que escolher um úmero ímpar de elemetos detre os demais elemetos de A e, se o elemeto x ão pertecer ao subcojuto, etão temos que escolher um úmero par de elemetos detre os demais elemetos de A, isto é: (,,3,5 ) (,0,2,4 ) p = C + C + C + + C + C + C +. cotedo x ão cotedo x Por outro lado, para o cálculo de i, se o elemeto x pertecer ao subcojuto, etão temos que escolher um úmero par de elemetos detre os demais elemetos de A e, se o elemeto x ão pertecer ao subcojuto, etão temos que escolher um úmero ímpar de elemetos detre os demais elemetos de A, isto é: Daí: (,0,2,4 ) (,,3,5 ) i = C + C + C + + C + C + C +. cotedo x ão cotedo x p = C + C + C + + C = i,,0,,2, obtedo o resultado desejado. Observado a demostração (por argumetos combiatórios) da proposição aterior e, aplicado o teorema da soma as lihas, cocluímos o seguite corolário.

37 36 Corolário e é iteiro tal que, etão = = A próxima propriedade que apresetaremos é cohecida como teorema da soma as coluas, ilustrada a seguir. (Tal ilustração sugere que somado os elemetos de uma mesma colua, iiciado pelo primeiro elemeto da colua, obtemos o elemeto situado abaixo e à direita da última parcela.) Proposição e e são iteiros tais que 0 e 0, etão + i = = +. Demostração (algébrica). Cosiderado + i = + i = +, para 0 0, temos que e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que + i + + i = i + + i =

38 37 + i i = i i = i+ = , e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que ode queríamos chegar. + i i + + = + = , Demostração (combiatória). Cosidere A = {,2,3,,, +,, + + } um cojuto com + + elemetos, e aida, que desejamos formar um subcojuto com + elemetos, o que pode ser feito de C + +, + maeiras. Por outro lado, podemos formar tal subcojuto, escolhedo primeiro o maior elemeto e, em seguida, escolhedo os elemetos restates. Para tato, se i é o maior elemeto escolhido (que é pelo meos + ), etão os demais elemetos podem ser escolhidos de Ci, maeiras. Logo, somado as quatidades de subcojutos obtidos para cada i, com + i + +, obtemos a quatidade (total) de subcojutos com + elemetos, i.e. C + C + C + + C = C,, +, + 2, +, + +, + completado a demostração. Como corolário da proposição aterior, lembrado a cosequêcia etre biomiais complemetares, i.e., + i + i = e i =, + apresetamos a próxima propriedade, cohecida como teorema da soma as diagoais, ilustrada a seguir. (Tal ilustração sugere que somado os elemetos de uma mesma diagoal, iiciado pelo primeiro elemeto da diagoal, obtemos o elemeto situado abaixo da última parcela.)

39 38 Corolário e e são iteiros tais que 0 e 0, etão + i = =. i 0 2 Os exemplos a seguir são ilustrações das proposições mecioadas ateriormete e, o primeiro desses exemplos, é cohecido como teorema da soma as diagoais iversas, ilustrado a seguir. Exemplo 3... eja ( F ) 0 a sequêcia de Fiboacci, i.e., a sequêcia dada por: F0 = F = e F = F + F 2 para todo 2. Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que 0, temos i = i 2 F 0,

40 39 ode, x deota o maior iteiro meor ou igual a x, i.e.,, se é par 2 2 =., se é ímpar 2 olução. Iicialmete, cosidere o valor da soma a diagoal iversa, i.e., i 2 = 0 i. Desse modo, devemos mostrar que satisfaz a defiição da sequêcia de Fiboacci. De fato: para = 0, temos que: para =, temos que: para 2 e par, temos que: i i 0 = = = = i i 0 ; i i = = = = i i 0 ; 0, i i i i 2 2 = = 0 0 i 2 2 = + +, 0 i 2 e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que i i 2 = i i i i = i i 2 i i 2 2 = + 0 i i

41 40 2 ( i ) i 2 2, = + i = 0 0 i i e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que ( ) ( ) i i = + i i 0 0 para 2 e ímpar, temos que: ( ) ( ) 2 2 i 2 i 2 2 ; = + = i i i i i i 2 2 = = 0 0 i = + 0 i 2, e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que i i 0 i i 2 2 = + + i i 2 2 = i i i i 2 2 = + 0 i i 2 ( i ) i 2 2, = + i = 0 0 i i e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que 3 ( 2 2 ) ( ) 2 i i = + i i 0 0 ( ) ( ) 2 2 i 2 i 2 2. = + = i i Daí, cocluímos que é a sequêcia de Fiboacci (i.e., = F ). O exemplo a seguir tem por fialidade dar uma alterativa para o teorema da soma alterate as lihas, caso se queira calcular o somatório até um

42 4 determiado termo e, ão ecessariamete, todos os termos da liha, ilustrado a seguir. (Tal ilustração sugere que somado e subtraido alteradamete os elemetos de uma mesma liha obtemos o elemeto situado acima da última parcela, matedo o sial da mesma.) Exemplo Mostre que, para quaisquer que sejam os iteiros e tais que > 0, temos ( ) i ( ) ( ) 0 = =. i i olução. Cosiderado ( ) = para > 0, temos que i, 0 = +, 0 i ( ) i, e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que i i = + ( ) + ( ) 0 i i, i i = + ( ) ( ) + 0 i i = + + i = 0 0 i i ( ) i ( ) i ( ) ( ), e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que

43 42 i i = ( ) ( ) + ( ) + ( ) i i, 0 0 = ( ), +, + ( ) = ( ), ode queríamos chegar. Exemplo Mostre que, para quaisquer que sejam os iteiros e tais que, temos =. olução. De forma direta, partiremos do primeiro membro da igualdade acima, aplicado (sucessivamete) as relações de tifel e Fermat, e chegaremos ao segudo membro, obtedo: = + ( ) ( ) ( ) = + + ode queríamos chegar. = + =, Exemplo Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que 0, temos i = = 2 0. i 0 2 olução. Cosiderado = i i para 0 0, temos que = 0 + i i 0 = i i, e, aplicado o resultado obtido do exemplo 3..3 ao termo geral do somatório, cocluímos que

44 43 = i i i = = i = 0 i i, e aida, fazedo a mudaça de variável o somatório, cocluímos que = i. 0 Daí, pelo teorema da soma as lihas, segue que 2 =. Exemplo Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que 2, temos ( ) i ( ) i 0 0 = =. i i olução. Cosiderado ( ) = i 0 para 2, temos que i = 0 + i i = 0 i i i i ( ) ( ), e, aplicado o resultado obtido do exemplo 3..3 ao termo geral do somatório, cocluímos que i i = ( ) i ( ) = i i i i = ( ) ( ) i, i = 0 e aida, fazedo a mudaça de variável o somatório, cocluímos que i = ( ) ( ) 0 i. Daí, pelo teorema da soma alterate as lihas, segue que ( ) 0 0 = =. Exemplo Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que, temos ( ) + i = =. 2

45 44 olução. Cosiderado = i para, temos que i =. Daí, pelo teorema da soma as coluas, segue que obtedo o resultado desejado. ( + ) ( + ) + = = = 2 2! 2, Exemplo Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que 2, temos ( ) ( + ) i ( i+ ) = ( ) =. 3 olução. Cosiderado = i ( i + ) para 2, temos que ( ) i i + = 2 2 i + i + = 2 = i+ = 2, e, fazedo a mudaça de variável o somatório, cocluímos que i = Daí, pelo teorema da soma as coluas, segue que obtedo o resultado desejado. ( + ) ( ) ( ) ( + ) + = 2 = 2 = 3 3! 3, Exemplo Mostre que, para qualquer que seja o iteiro tal que, temos ( ) ( 2 ) i = =. 6 olução. Cosiderado 2 = i para, temos que 2 ( ) ( ), = i i + i = i i + i

46 45 e, aplicado os resultados obtidos dos exemplos 3..6 e 3..7 aos somatórios, cocluímos que + + = 2 +, 3 2 e aida, aplicado a relação de Fermat a um dos úmeros biomiais, cocluímos que ( ) = obtedo o resultado desejado. + + = = 3 2 ( ) ( ) ( 2 ) = =, 3 2! Biômio de Newto Com o que foi visto até agora (ou seja, os úmeros biomiais e o triâgulo de Pascal), obteremos a fórmula para o desevolvimeto do biômio ( x + y), cohecido como biômio de Newto. Para tato, observe algus casos particulares que irão forecer uma ideia de qual seja essa fórmula para que, em seguida, possamos demostrá-la (algebricamete e combiatoriamete). podemos calcular Lembrado que, para qualquer que seja o iteiro tal que > 0, ( x + y) = ( x + y) ( x + y) ( x + y) fatores usado a propriedade distributiva da multiplicação, segue (cosequetemete) os casos particulares: ( x + y) 0 = ; ( x y) + = x + y ; ( ) x y x 2xy y + = + + ;

47 46 ( ) x y x 3x y 3xy y + = ; ( ) x y x 4x y 6x y 4xy y + = Observado atetamete os termos em cada caso, percebemos algus padrões o desevolvimeto do biômio, a saber: o desevolvimeto de ( x + y) possui + termos; os coeficietes do desevolvimeto de ( x + y) são os elemetos da liha do triâgulo de Pascal; os termos do desevolvimeto de ( x + y) são formados, além dos coeficietes, por i e j =,,,2,,0, segudo a i j x y com = 0,,2,,, ordem apresetada acima. Desse modo, diate dos padrões mecioados acima, podemos cojecturar a fórmula do biômio de Newto, cohecida como teorema biomial, apresetada a seguir. Proposição e x e y são úmeros reais e é um iteiro tal que 0, etão i i x + y = x y x x y x y y 0 = i ( ) Demostração (algébrica). Cosiderado temos que m m = x y i m m i i 0 para 0 m m m m m i i m m m = x + x y + y, 0 i m e, aplicado a relação de tifel ao termo geral do somatório, cocluímos que m m m m x x y x y y 0 i i m m m m i i m m i i m m = m m m m = m, m m m i i m m i i m x x y x y y 0 i i m m m m = x y x y + 0 i i m i i m m i i

48 47 m m = y x y + x x y i = 0 0 i i m ( m ) ( i ) i m ( m ) i i, e aida, fazedo a mudaça de variável em um dos somatórios, cocluímos que m m ( m ) i i m m ( m ) i m = y x y x x y i i ( ) = y + x = x + y. m m m Daí, fazedo m =,2,, o resultado obtido acima, chegamos às equações: ( ) = x + y 0 ( ) = x + y 2 ( ) = x + y 3 2 ( ) = x + y 2 ( ) = x + y. Assim, aplicado o produto telescópico, ou seja, multiplicado (membro a membro) as equações acima e elimiado os fatores comus em ambos os membros, cocluímos que ( x y) 0 = + e, como 0 0 i i = x y x y 0 = = i 0 segue (cosequetemete) que ( x y) = +, completado a demostração. i Demostração (combiatória). Iicialmete, sabemos que ( x + y) 0 = e, para qualquer que seja o iteiro tal que > 0, podemos calcular ( x + y) = ( x + y) ( x + y) ( x + y), fatores obtedo um somatório de termos, ode cada termo do produto acima é obtido escolhedo um dos dois elemetos em cada fator (a saber, x ou y) e, em seguida, multiplicado os elemetos escolhidos. e, para cada iteiro i tal que 0 i, escolhermos y em i dos fatores (o que pode ser feito de C, i maeiras), cosequetemete, x será escolhido os i fatores restates (o que pode ser feito de C, = maeira) e, em seguida, multiplicado os elemetos i i

49 48 escolhidos, obtemos o resultado x i y i. Desse modo, somado os termos semelhates, cocluímos que o coeficiete de cada um dos termos gerados é (precisamete) o úmero de maeiras de escolhermos os elemetos que formam o termo (a saber, C, C, = C, = C, maeiras), i.e., i i i i i obtedo o resultado desejado. x + y = C x y, ( ), i i 0 i seguite corolário. Fazedo a troca de y por y a proposição aterior, cocluímos o Corolário e x e y são úmeros reais e é um iteiro tal que 0, etão i i i x y = x y x x y y 0 = + +. i 0 ( ) ( ) ( ) Vadermode. A próxima fórmula que apresetaremos é cohecida como idetidade de Proposição e m, e são iteiros tais que m 0 e 0, etão m m m m m + 0 = = i i 0 0. Demostração (algébrica). Iicialmete, observe a idetidade ( x) ( x) ( x) m m , sigificado que os termos de mesmo grau em cada membro possuem os mesmos coeficietes, ou seja, se e etão 2 ( ) ( ) m m 0 2 m+ + x + x = A + A x + A x + + A x + + A x + 2 ( ) m+ m+ 0 2 m+ + x = B + B x + B x + + B x + + B x, A = B para 0 i m +. i Daí, aplicado o teorema biomial ao membro da direita, obtemos i

50 49 m + + = i m+ + ( x) 0 m i x, ode o coeficiete do termo de grau é dado por B m + =. Por outro lado, aplicado o teorema biomial ao membro da esquerda, obtemos m m m j l ( + x) ( + x) = x x j= 0 l= 0, j l ode o termo de grau é obtido do produto etre o termo de grau i do biômio ( x) m + e o termo de grau i coeficiete do termo de grau é dado por do biômio ( x) A m = i i 0. + para 0 i, ou seja, o Portato, pela idetidade observada iicialmete, cocluímos que A = B, i.e., completado a demostração. m m + = 0, i i Demostração (combiatória). Cosidere um grupo formado por m homes e mulheres, e aida, que desejamos escolher pessoas desse grupo, o que pode ser feito de C m +, maeiras. Por outro lado, se escolhermos pessoas desse grupo, sedo i homes e i mulheres, isto pode ser feito de C, C, maeiras. Daí, adicioado tais possibilidades, para 0 i, cocluímos que C 0 m, i C i, i = C = m+,, m i i obtedo o resultado desejado. Como corolário da proposição aterior, fazedo m = = e lembrado a cosequêcia etre biomiais complemetares, i.e., =, i i apresetamos a próxima fórmula, cohecida como idetidade de Lagrage.

51 50 Corolário e é iteiro tal que 0, etão = =. i 0 ateriormete. Os exemplos a seguir são ilustrações das proposições mecioadas Exemplo Mostre, utilizado o teorema biomial, a proposição 3..3: se é iteiro tal que 0, etão 2 0 = = i 0 2. olução. No desevolvimeto biomial (proposição 3.2.) fazedo x = y =, cocluímos que i i x + y x y, i ( ) 0 e, cosequetemete, coforme desejado. i i + = =, i ( ) i =, i Exemplo Mostre, utilizado o teorema biomial, a proposição 3..4: se é iteiro tal que, etão ( ) i ( ) 0 0 = = i olução. No desevolvimeto biomial (corolário 3.2.) fazedo x = y =, cocluímos que i i i x y x y 0, i ( ) ( )

52 5 e, cosequetemete, coforme desejado. i i i = 0, i ( ) ( ) ( ) i = 0 0, i Exemplo Mostre, utilizado o teorema biomial, o exemplo 3..4: para qualquer que seja o iteiro tal que 0, temos i = = 2 0. i 0 2 olução. Cosidere a fução f defiida por f ( x) ( x) biomial, temos = + que, segudo o teorema = i ( ) 0 f x i x. Derivado a fução f por um lado, cocluímos que por outro lado, cocluímos que e, cosequetemete, ( ) ( ) f ' x = + x, i f' ( x) = i x 0, i i i x ( + x). 0 i Agora, fazedo x =, cocluímos que e, cosequetemete, coforme desejado. i i = ( + ), 0 i i = 2 0, i

53 52 Exemplo Mostre, utilizado o teorema biomial, o exemplo 3..5: para qualquer que seja o iteiro tal que 2, temos ( ) i ( ) i 0 0 = =. i olução. Cosidere a fução f defiida por f ( x) ( x) biomial, temos = que, segudo o teorema = i i i x 0. ( ) ( ) f x Derivado a fução f por um lado, cocluímos que por outro lado, cocluímos que e, cosequetemete, ( ) ( ) f ' x = x, ' ( ) ( i i f x = ) i x 0, i ( ) i i i x ( x). 0 Agora, fazedo x =, cocluímos que e, cosequetemete, coforme desejado. i ( ) i i i ( ) =, 0 i ( ) i i = 0 0, i

54 53 4 NÚMERO MULTINOMIAI Neste capítulo, apresetaremos os úmeros triomiais geeralizado para os úmeros multiomiais, a orgaização desses úmeros (triomiais) uma tabela tridimesioal deomiada pirâmide de Pascal e a fórmula para a expasão triomial geeralizado para a expasão multiomial, cohecida como poliômio de Leibiz. Iicialmete, devemos observar que o úmero biomial poderia ser defiido, para i e j aturais, por! = i, j i! j! com i + j =, pois, de fato, fazedo i = e (cosequetemete) j =, segue que! = =,,! ( )! sedo equivalete à defiição usual de úmero biomial vista o capítulo aterior. aturais, por Aalogamete, podemos defiir o úmero triomial, para i, j e! = i, j, i! j!! com i + j + =, e, geeralizado, podemos defiir o úmero multiomial, para i atural, qualquer que seja i, por! =, 2,,! 2!! com =, ode represeta a ordem e i represetam as classes do úmero multiomial. Observe que a defiição de úmero multiomial correspode ao produto de várias combiações simples, i.e., 2 2 =,,,, sigificado o úmero de maeiras de particioarmos (ordeadamete) os elemetos de um cojuto A em subcojutos A i com Ai = i, ode uma

55 54 partição ordeada de A é uma sequêcia ( A A A ),,, formada por subcojutos 2 de A tais que Ai Aj = para i j e A A2 A = A. 4. Pirâmide de Pascal Com os úmeros triomiais defiidos ateriormete, costruímos (agora) uma tabela (umérica) piramidal, deomiada pirâmide de Pascal (versão tridimesioal do triâgulo de Pascal), dispodo-os de tal forma que aqueles de mesma ordem situam-se a mesma camada (secções trasversais triagulares, exceto a camada iicial), levado em cosideração o crescimeto das ordes (camadas umeradas de cima para baixo, começado em zero), de modo que suas faces (triagulares) sejam triâgulos de Pascal. Desse modo, segudo a descrição mecioada acima, as primeiras camadas da pirâmide de Pascal ficam com o formato ilustrado abaixo e, em seguida, especificamos como ficam distribuídos os úmeros triomiais, bem como seus respectivos valores uméricos, em tais camadas. Camada 0: 0 0,0,0

56 55 Camada : 0,,0 0,0,,0,0 Camada 2: 2 0,2, ,,,, ,0,2,0, 2,0,0 Camada 3: 3 0,3, ,2,,2, ,,2,, 2,, ,0,3,0,2 2,0, 3,0, Camada 4: 4 0,4, ,3,,3, ,2,2,2, 2,2, ,,3,,2 2,, 3,, ,0,4,0,3 2,0,2 3,0, 4,0,

57 56 Camada 5: 5 0,5, ,4,,4, ,3,2,3, 2,3, ,2,3,2,2 2,2, 3,2, ,,4,,3 2,,2 3,, 4,, ,0,5,0,4 2,0,3 3,0,2 4,0, 5,0,0 Dessa forma, segue a ilustração da pirâmide de Pascal cotedo os valores uméricos dos úmeros triomiais mecioados acima.