CT-234. Estruturas de Dados, Análise de Algoritmos e Complexidade Estrutural. Carlos Alberto Alonso Sanches

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1 CT-234 Estruturas de Dados, Aálise de Algoritmos e Complexidade Estrutural Carlos Alberto Aloso Saches

2 CT-234 5) Ordeação Resoluções simples, Lower boud, MergeSort, RadixSort

3 Algus algoritmos de ordeação A ordeação é o problema mais clássico da computação. Iicialmete, veremos algumas das suas resoluções mais simples: Ordeação pelo método da bolha (BubbleSort) Ordeação por seleção (SelectioSort) Ordeação por iserção (IsertioSort) Cosideraremos sempre a ordeação de um vetor v de ídices [1..].

4 Método da bolha (BubbleSort) É um dos algoritmos mais simples e cohecidos. Pricípio: Os elemetos vizihos são comparados e, caso estejam fora de ordem, são trocados. A propagação dessas comparações permite isolar o maior (ou o meor) elemeto do vetor. Repetido-se esse processo com as demais posições do vetor, é possível ordeá-lo completamete. Este método recebe o ome de bolha, pois os elemetos sobem até a sua posição fial, de modo semelhate a uma bolha em um tubo com água.

5 Exemplo para =8 No esquema abaixo, a bolha desce (como se o tubo estivesse de pota-cabeça)

6 Algoritmo BubbleSort(){ for (i=1; i<; i++) for (j=1; j<=-i; j++) if (v[j] > v[j+1]) { x = v[j]; v[j] = v[j+1]; v[j+1] = x; } } É leto, pois só faz comparações etre posições adjacetes. Pode ser melhorado com testes itermediários para verificar se o vetor já está ordeado. Mesmo assim, o tempo de pior caso é Θ( 2 ).

7 Ordeação por seleção (SelectioSort) Procedimeto: Selecioe o meor elemeto do vetor e troque-o com o que está a posição 1. Descosiderado a primeira posição do vetor, repita essa operação com as restates.

8 Exemplo com =6 Vetor iicial:

9 Algoritmo SelectioSort() { for (i=1; i<; i++) { mi = i; for (j=i+1; j<=; j++) if (v[j] < v[mi]) mi = j; x = v[mi]; v[mi] = v[i]; v[i] = x; } Sempre gasta tempo Θ( 2 )

10 Ordeação por iserção (IsertioSort) Semelhate ao método de ordeação das cartas de um baralho. Procedimeto: Verifica-se se o valor da posição 2 do vetor poderia ser colocado a posição 1. Repete-se este processo para as posições subsequetes, verificado-se o local adequado da iserção. A iserção de um elemeto a sua ova posição exige a movimetação de vários outros.

11 Exemplo com = Passo elemeto que pode ser iserido mover iserção

12 Exemplo com =6 Passo Item que pode ser iserido Não ocorre iserção, pois esse elemeto já está o seu lugar

13 Exemplo com =6 Passo Item que pode ser iserido mover iserção

14 Exemplo com =6 Passo Item que pode ser iserido mover mover mover iserção

15 Exemplo com =6 Passo Item que pode ser iserido mover mover mover mover Fial

16 Algoritmo IsertioSort() { for (i=2; i<=; i++) { x = v[i]; for (j=i; j>1 && x<v[j-1]; j--) v[j] = v[j-1]; v[j] = x; } } Quado o vetor está ordeado, gasta tempo Θ(). No etato, seu tempo de pior caso é Θ( 2 ).

17 Lower boud para a ordeação Até agora, apresetamos algoritmos que ordeam úmeros em tempo de pior caso Θ( 2 ). Por equato, esse é o osso upper boud para o problema da ordeação baseado em comparações. Seria possível calcular um lower boud para esse problema? Em outras palavras, desejamos ecotrar um limite iferior teórico para esse problema, isto é, a míima complexidade de tempo de quaisquer de suas resoluções algorítmicas.

18 Árvore de comparações Qualquer algoritmo de ordeação baseado em comparações pode ser represetado em uma árvore biária. Na raiz fica a primeira comparação realizada etre dois elemetos do vetor; os filhos, as comparações subsequetes. Deste modo, as folhas represetam as possíveis soluções do problema. A altura dessa árvore é o úmero máximo de comparações que o algoritmo realiza, ou seja, o seu tempo de pior caso.

19 Exemplo: com 3 valores distitos v[1]:v[2] < > v[2]:v[3] v[2]:v[3] < > < > v[1] < v[2] < v[3] < v[3] < v[2] < v[1] v[1]:v[3] v[1]:v[3] > < > v[1] < v[3] < v[2] v[3] < v[1] < v[2] v[2] < v[1] < v[3] v[2] < v[3] < v[1] Como estamos ordeado 3 elemetos, há 3! possíveis resultados

20 Geeralização Na ordeação de elemetos distitos, há! possíveis resultados, que correspodem às permutações desses elemetos. Portato, qualquer árvore biária de comparações terá o míimo! folhas. A árvore míima de comparações tem exatamete! folhas. Supodo que a altura dessa árvore seja h, etão LB() = h, ode LB() é o lower boud de tempo para a ordeação de elemetos. Sabemos que o úmero máximo de folhas de uma árvore biária de altura h é 2 h. Portato,! 2 h, ou seja, h lg! Logo, LB() lg!

21 Cálculo do lower boud Pela aproximação de Stirlig:! (2p) 1/2 e - Portato: lg! lg (2p) 1/2 + lg 1/2 + lg + lg e - lg! Θ(1) + Θ(log ) + Θ(.log ) - Θ() Como LB() lg!, etão LB() = Ω(.log ) Se ecotrarmos um algoritmo baseado em comparações que resolva a ordeação em tempo de pior caso Θ(.log ), ele será ótimo em termos de complexidade de tempo, e este problema estará computacioalmete resolvido.

22 Outra maeira de calcular lg! = lg (.(-1).(-2)..2.1) lg! = lg + lg (-1) + lg (-2) + + lg 2 + lg 1 lg! lg + lg (-1) lg (/2) Todas essas /2 parcelas são maiores que lg (/2) Portato: lg! (/2).lg (/2) lg! = Ω(.log ) LB() = Ω(.log ) Qual o problema desta demostração?

23 MergeSort (Vo Neuma, 1945) Este algoritmo é um exemplo do paradigma Divisão-e-Coquista, e por isso tem 3 fases: Divisão: o vetor é dividido em duas metades Coquista: cada metade é ordeada recursivamete, dado origem a duas subsoluções Combiação: essas subsoluções são combiadas, formado a solução fial Codição de parada da recursão: quado for ordear apeas um elemeto. Este caso será a subsolução elemetar.

24 Exemplo para =8 Vetor origial Vetor ordeado

25 Algoritmo MergeSort(i, f) { if (i < f) { m = ë(i+f)/2û; MergeSort(i, m); MergeSort(m+1, f); merge(i, m, f); } } Covém que o vetor aux teha mesmo tamaho de v e seja alocado como global Chamada iicial: MergeSort(1, ) merge(i, m, f) { i1 = i; i2 = i; i3 = m+1; while (i2 <= m && i3 <= f) if (v[i2] < v[i3]) aux[i1++] = v[i2++]; else aux[i1++] = v[i3++]; while (i2 <= m) aux[i1++] = v[i2++]; while (i3 <= f) aux[i1++] = v[i3++]; for (j=i; j<=f; j++) v[j] = aux[j]; } Complexidade de tempo de merge: Θ(f-i)

26 Complexidade de tempo do MergeSort T(1) = 1 (tempo costate) T() = 2T(/2) + Θ(), >1 Supodo = 2 k : T() = 2(2T(/2 2 ) + Θ(/2)) + Θ() = 2 2 T(/2 2 ) + 2Θ() T() = 2 2 (2T(/2 3 ) + Θ(/2 2 )) + 2Θ() = 2 3 T(/2 3 ) + 3Θ() Geeralizado: T() = 2 k T(/2 k ) + kθ() Substituido = 2 k : T() = + Θ().lg T() = Θ(.log ) A geeralização para qualquer ão muda a ordem de T()

27 Outro modo de calcular o tempo /2 /2 + 2.(/2) = + /4 /4 /4 /4 4.(/4) = (1) = Tempo total: Θ(.log ).(1 + lg )

28 MergeSort iterativo É possível escrever uma variate do MergeSort ão recursiva e sem pilha, cuja execução é mais rápida. b b i f MergeSort(i, f) { p m r b = 1; // b: tamaho de cada bloco while (b < f) { p = i; // p: posição iicial do 1º bloco while (p+b <= f) { r = mi{f, p-1+2*b}; // r: posição fial do 2º bloco m = p+b-1; // m: posição fial do 1º bloco merge(p, m, r); p += 2*b; } b *= 2; // tamaho dos blocos é duplicado } } É uma simulação da versão recursiva, com meor uso da pilha de execução. No etato, as complexidades de tempo e de espaço ão são alteradas.

29 Coclusões Qualquer algoritmo que ordear úmeros através de comparações em tempo de pior caso Θ(.log ) será ótimo em termos de complexidade de tempo. MergeSort faz isso: portato, o upper boud de tempo para a ordeação através de comparações é Θ(.log ). Como o upper e o lower bouds de tempo da ordeação são iguais, podemos dizer que a ordeação através de comparações é um problema computacioalmete resolvido. No etato, o MergeSort ecessita de espaço extra Θ() para armazear o vetor temporário (covém que seja alocado uma úica vez pelo programa pricipal). Veremos que ele ão é ótimo em termos de complexidade de espaço extra.

30 RadixSort Em determiadas codições, é possível ordear em tempo de pior caso Θ(). Por exemplo, isso ocorre quado: 1) os valores têm um comprimeto limitado; 2) a ordeação baseia-se em cálculos com esses valores (e ão em comparações). Como fucioa o RadixSort : Os valores de etrada, escritos em alguma base umérica, têm exatamete d dígitos. A ordeação é realizada em d passos: um dígito por vez, começado a partir dos meos sigificativos.

31 Exemplo com d=3 Passo 1a: Separá-los de acordo com o dígito mais à direita a b a b a c c a a a c b b a b c c a a a c b b a b b a 3 filas, pois a base é 3 c c a c a a b a b a a c a b a a c b b a c a b c Passo 1b: Ui-los seguido a ordem das filas a b a c a a c c a b b a a c b b a b b a c a a c

32 Exemplo com d=3 Passo 2a: Separá-los de acordo com o segudo dígito a b a c a a c c a b b a a c b b a b b a c a a c a a c b a c b a b b b a a c b c a a a b a c c a a b c Passo 2b: Ui-los seguido a ordem das filas c a a b a b b a c a a c a b a b b a c c a a c b

33 Exemplo com d=3 Passo 3a: Separá-los de acordo com o terceiro dígito c a a b a b b a c a a c a b a b b a c c a a c b a c b a b a b b a b a c c c a a a c b a b c a a a b c Passo 3b: Ui-los seguido a ordem das filas a a c a b a a c b b a b b a c b b a c a a c c a

34 Algoritmo d iterações RadixSort() { } Queue q[0..base-1]; for (i=0, factor=1; i<d; factor *= base, i++) { } for (j=1; j<=; j++) q[(v[j]/factor)%base].equeue(v[j]); for (j=0, k=1; j<base; j++) while (!q[j].isempty()) v[k++] = q[j].dequeue(); Θ(+base) Θ() Tempo: Θ(d.(+base)) = Θ(), pois d e base são costates. Por que ão é usado a prática? 1) A costate d costuma ser grade. 2) Overhead da maipulação das estruturas de dados.