Análise de Equação de Recorrência

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1 Aálise de Equação de Recorrêcia Carlos Eduardo Ramisch - Cartão: 467 Soraya Sybele Hossai Cartão 497 INF0 - Complexidade de Algoritmos Prof.ª Luciaa Salete Buriol Porto Alegre, 0 de setembro de 006 Itrodução Neste trabalho, será feita uma aálise completa, de acordo com os métodos apredidos em aula, de uma equação de recorrêcia que pode vir a represetar o desempeho de determiado algoritmo recursivo baseado o método da divisão e coquista. Igorado a origem da equação, será ecessário apeas cosiderar aspectos matemáticos, e tudo o que se precisa como poto de partida é a equação de recorrêcia (equação úmero 0 da lista euciada), que é a seguite: T =4T / Método da árvore de recorrêcia N0 N N N Nk Imagem. Esquemático da árvore de recorrêcia que represeta T =4 T /

2 . Qual o tamaho do subproblema o ível i? No ível 0, supõe-se que o problema tem dimesão. No ível, o problema tem dimesão No ível, o problema tem dimesão No ível, o problema tem dimesão = = = i vezes No ível i, o problema tem dimesão = = i i. Qual o custo do ó o ível i? Nível 0, o custo do ó é = / Nível, o custo do ó é = =/ / / = / Nível, o custo do ó é = 4 = / = / =/ Nível, o custo do ó é = 6 = / / = =/ / / Nível i, o custo do ó é i = i i = / =/ i / i i. Qual o úmero de ós por ível? Qual o úmero de ós o ível i? No ível 0, tem-se =4 0 ó. No ível, tem-se 4=4 ós. No ível, tem-se 6=4 ós. No ível, tem-se 64=4 ós. No ível i, tem-se 4 i ós..4 Qual o custo de cada ível? Qual o custo do ível i? O custo de um ível i é dado pelo úmero de ós o ível i vezes o custo de cada um desses ós.

3 Custo do ível i = 4 i i / = 4i / i / = 4 / i / = / / i = / i. Qual a altura da árvore? Qual o úmero de íveis da árvore? Supõe-se que o critério de ecerrameto da recursão, para um algoritmo de divisão e coquista, é quado =, ou seja, o custo do ó é. Portato: i / = propriedade potêcia: a b c = ac b c / propriedade potêcia: ab c =a bc = i / / = i / / = / i aplica log em ambosos lados log // =log / / i log =i / propriedadelog:log ab= log b c log c a i= log log / i= log a / b c =a c b i= log i=log propriedade potêcia: a bc = a b c propriedadeslog: log a a b =b def. de log ; log a b c =clog a b propriedadelog: log a a b =b def. de log mudaça de base A partir dessa dedução, pode-se dizer que a árvore vai do ível 0 até o ível log, e portato, possui log íveis. Esse valor evotrado correspode à altura da árvore..6 Qual o úmero de ós o último ível? Qual o custo do último ível? No último ível, sabe-se que i=log. Portato, fica fácil deduzir que a árvore terá, o último ível, 4 log = log = log = log = ós. Aalogamete ao item.4, o custo do último ível é dado pelo úmero de ós o último ível vezes o custo por ó esse ível: 4 log / = / log / = O resultado ecotrado está de acordo com a suposição, de que o custo de cada ó o último ível é igual a.

4 .7 Qual o custo total da árvore? O custo da árvore é a soma dos custos dos íveis, para todos os íveis, ou seja: log T = [ / / i ] ei sãoidepedetes i=0 log T = / / i i=0 /,a série é geométrica / log T = / [ ] = / [ / / log ] = / / / [ / log / ] T = / [ / / ] = / [ / / ] = / [ / / ] T = / / / Lema T = / / / / = C / = O / O, com C= Lema :? / / 0? 0 =, pois 0 Pela árvore de recursão, itui-se etão que: T =O Prova pelo método da substituição: Hipótese: T / = O / / T / = C / / Passo: T = 4T / C / / / = C / / / C = [ 4 ]/ T = O / = O 4

5 Se for cosiderado que C '= C 4, etão T C ' / Base: e, portato, T = O Supõe-se que quado =, a complexidade seja somete a complexidade de, ou seja, T = =. Nesse caso, para =, tem-se que: T = C = C = C A coclusão da prova idutiva pelo método da substituição é de que: 0 c= 0 = T c T =O 4 Prova pelo teorema mestre: Para relembrar, a recorrêcia cuja complexidade se quer provar é a seguite: T =4T / Pelo teorema mestre, deve-se buscar uma equação o seguite formato: T =at /b f Portato, pode-se costatar facilmete que: a=4 b= f = log b a=log 4= Item : teta-se ecotrar uma cota limitate para f(): f = = / = = log 4 c log a b Portato, f = log ba, com c= c 0, = 0 Item : Precisa-se demostrar a relação de f() e f(/b), pois foi ecotrada uma cota iferior o item. a f b =4/ = 4 / 4 = / = c f Portato, para o valor de c= c, é verdade que a f c f b Coclusão: Por fim, pelo item do teorema mestre, pode-se cocluir que T =