COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 2. Lembrando... II. K = x K = (7 2 ) x K = x

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1 Matemática aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Pelo algoritmo da divisão, temos: I. q + r II. + ( + 3) q + r + q+ r+ 3q + + 3q q 7 5. N 5. 8 x N 5. 3x Número de divisores ( + )(3x + ) 3x + 7 x um úmero primo.. Do euciado, temos: I) x + y 565 II) x y (5). 375xy N Se 3/N 3/0 + x + y 3/x + y + 5/N y 0 ou 5 Se y 0 3/x + x,, 7 Se y 5 3/x + 7 x, 5, 8 x,,, 5, 7, 8 3. I. Como temos 366 dias e cada semaa tem 7 dias, temos: Como sobram dois dias e tem que ter 53 domigos, etão º de jaeiro (Semaas completas) é sexta-feira. II. Número de dias até 9 de março Jaeiro : 3 dias Feveiro : 8 dias + Março : 9 dias 69 dias III sexto dia que sobra! semaas completas IV. S S D S T Q Q º º 3º º 5º 6º a) Número de divisores ( + )( + )( + ) 30. b) Número total de divisores c) Cosideraremos os divisores de 3. 5 e retiraremos esses do total. ( + )( + ) 6 os pares d) Já calculados. e) N/70 e N q N k. 5 6 k 0, ou e L 0, pelo pricípio fudametal da cotagem, temos: 6 divisores quadrados perfeitos Substituido (II) em (I): x + y 565 x y + 5 y y 565 x + y 565 y 550 x y 5 x 50. Lembrado... Se N a 3 b 5 c 7 d...., a quatidade de divisores positivos de N é dada por [D(N)] (a + ) (b + )(c + ) (d + ). I. Se K tem 6 divisores (positivos e egativos), etão ele tem 3 positivos e 3 egativos) II. K x K 3 3 (7 ) x K x III. [D(K)] (3 + )( + )(x + ) 3 ( 3)(x + ) x + x 5 3. Fatorado 3600: x O úmero de divisores aturais é p ( + ) ( + ) (+ ) 5, equato o úmero de divisores pares e aturais é dado por q. ( + ) ( + ) 36 θ θk. p... pk, temos: (θ + )... (θ k + ) 3 θ e θ k 0 se k p 3 p 6 O úmero de divisores de 3 7. p (divisores de x) 7 8 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

2 5. Fatorado 9 x 0 m : 9 x 0 m 3. (. 5) m 9 x 0 m 3. m. 5 m O úmero de divisores positivos é dado por ( + ) (m + ) (m + ) que é igual a 8: 3 (m + ) 8 (m + ) 6 m + ± m + ou m + m 3 m 5 (Não covém) Resposta correta: I II III. Para que 30 x seja divisível por 300, devemos ter que x, o míimo que o que sobra em 300, ou seja, Resposta correta: Sedo q o resto da divisão de a por 6, teremos: a 6 q a 6q + Dividido-se a + por 3: I. a 6q + a + 6q + + a + 6q + 5 II. 6q q 3 q + O valor que tora 00a 7 divisível por 7 é a 3, pois: 00a (0) 0. N. p. q; p e q primos. Números de divisores de N ( + )( + )( + ) 8.. A classe é formada por 3 algarismos, dividido-se 999 por 3: () Existem 333 classes de ordem par e 333 classes de ordem ímpar completos N... Classe par Classe ímpar Classe par Classe par Classe ímpar Soma das classes ímpares Soma das classes pares 333. Difereça Desta maeira, o resto da divisão de N por 7 é.. Temos que: N 7 5 q N 7q Note que e 7 deixam resto a divisão por 5. E que ; ; ; Logo a razão r 5. Temos 5k + e 5k (k + ) +. Logo a razão r 5. (Retificação do gabarito) 9. Para o úmero ser divisível por e por 5 é ecessário que termie em zero, ou seja, b 0. Para o úmero ser divisível por 7 é ecessário que a difereça etre as classes ímpares e pares seja múltiplo de 7: 57 a 30 Classe ímpar a30 Classe par 57 Difereça a30 57 Como a30 00a , etão a difereça é: a a a a 7 Substituido N 7q + 5 a expressão: N + N + (7q + 5) + 7q N + N + 9q + 70q q N + N + 9q + 77q + 3 Dividido-se a expressão por 7: N + N+ 9q + 77q N + N+ 9q 77q N + N+ 3 7q + q Para obtermos o resto da divisão de N por 7, basta dividirmos 3 por 7: 3 7 (3) O resto 3. 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

3 aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA MMC(, 36, 60) , 36, 60, 8, 60 06, 09, , 03, 0 3. Escrevedo m e como produto de fatores primos: I) m m m II) ( ) A divisão de m por ão é exata, pois tem o fator 5 que m ão possui.. Os tempos em que os médicos dão o platão são: Médico 5, 30, 5,...; dias Médico 0, 0, 60,...; dias Médico 3,, 36,...; dias Esses médicos se ecotrarão a cada 60 dias, que é mmc (5, 0, ). Se eles se ecotraram em de abril, voltarão a se ecotrarem o dia 3 de juho, pois o mês de maio tem 3 dias. 5. I. Como ão deve sobrar material, etão a aresta do cubo deve ser máxima, portato, deve ser um úmero maior possível que divida, 80 e 08, que é o mdc (, 80, 08) 36 II. V total e o V cubo Assim º de cubos , 80, 0 060, 090, , 030, , 006, MMC(8, 7, 0) São apeas os divisores pares de 8, ou seja, os divisores de que são 5, um úmero primo.. I. Seja x a quatidade de larajas. Se x dividido por 50 e por 36, deixa resto, etão x mmc (50, 36) +. Como mmc (50; 36) 900, etão x 9. II. Se dividirmos 9 por 35 obteremos resto. 5. O tamaho do barbate terá de ser um divisor de 96 e 50 ao mesmo tempo. Para termos o meor úmero de pedaços é ecessário que o barbate teha o maior valor possível, etão, o barbate deve ser múltiplo comum de 96 e 50 e ter o maior valor possível, ou seja, temos de calcular o MDC etre 96 e 50: 96, 50 8, 75, 75, 75 6, 75 3, 75 3 MDC (96, 50) x 3 6, 5 5, 5 5, O pedaço deve ser de 6m, do primeiro rolo vão ser formados pedaços, equato do segudo rolo vão ser formados pedaços. Num total de pedaços. 6. O úmero de dias decorridos em que cada satélite completará uma volta será: Satélite A 6,, 8,,... Satélite B 0, 0, 30, 0,... Satélite C 9, 8, 7, 36,... Eles estarão alihados quado decorrer um tempo igual a um múltiplo etre 6, 0 e 9, o primeiro alihameto ocorrerá quado se passar o meor múltiplo comum etre 6, 0 e 9, ou seja, MMC (6, 9, 0) 90 dias, que cotado a partir de 03/05, ocorrerá em 0/08. 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 3

4 7. Ecotrar a quatidade de moedas é ecotrar um úmero maior que 8 e meor que 80 que dividido por 6; e 8 deixa resto. Os úmeros que são divisíveis por 6, e 8, são os múltiplos de 36, pois mmc (6; e 8) 36, ou seja: M(36) {36, 7, 08,, 80,...} Os úmeros que divididos por 6; e 8 e deixam resto são os úmeros {0, 76,, 8, 8,...} Resposta correta: 8 8. Basta tirar o MMC (,,..., 0) e subtrair. x mmc(,..., 0) tem essa propriedade x x + é múltiplo de todos os úmeros de a A sala mede 3m por, 5m, ou seja, 300cm por 5cm. O ladrilho deve ter para medida do lado, um úmero que divide 300 e 5, portato, um divisor comum. a) Para a dimesão ser máxima é ecessário que a medida do lado seja igual ao MDC etre 300 e , 5 50, 5 75, 5 3 5, 5 5 5, 85 5, 7 7, MDC (300, 5) 5 x 5 5cm b) O terreo tem dimesão 300cm X 5cm, equato ladrilho tem dimesão 5cm X 5cm, o úmero de 300 x 5 ladrilhos é 0 5 x 5 0. O úmero de aluos é divisor da quatidade de material, para que cada aluo receba a mesma quatidade. Fatorado as quatidades de cada material: 6, 68, 0, 5 63, 8, 05, 6 63,, 05, 63 63,, 05, 63 3, 7, 35, 3 7, 7, 35, 7 5 7, 7, 7, 7 7,,, Os fatores comus são, 3 e 7, os possíveis divisores comus são iguais às possíveis quatidades de aluos. Os possíveis divisores são: 3 7 x 3 6 x 7 3 x 7 x 3 x 7 8 < 8 < 80. Como o úmero de aluos é maior que 30, etão o úmero de aluos é. aula 3 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA ( + )! ( + ).( )! ( )! + ( )! ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) (! ) + (! ) + ( + ) ƒ!.! + + Daí ƒ(009) 008. Observe que: ( + )!! ( + ).!! ( + )!! ( + ).! ( + )!!.! Portato:!!.! 3!!.!! 3! 3. 3!... 0! 00! ! 0!!.! +.! ! !.! +.! ! ! 0! 3. ( + ) ( )!! (k + 3)! + (k + )! 5(k + )! 0 ( + ) 0 (k + 3)(k + ) (k + )! + (k + ) (k + )! 5 (k + )! (k + )(k + ) 5 k Daí + k 5. I. log log II. log III ! ! IV.!! V. > log00! > 0, é verdadeiro para. Assim, o meor é. 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

5 5. Fatorado teremos: , o úmero de divisores positivos é ( + ) (3 + ) ( + ) ( + ) !! ( + )!. Sedo K, temos!! 3! K!! 3.! K!! ( 3) K! K. Sedo K log + log log, teremos: K log K log K log! K log (!) 6.! + +! ! + + 9! +! +! +...! PA de.! + ( + ) + 9.! ! 8.!!!! 7. Temos que: I) ( 6)! 70 ( 6)! 6! 6 6 II) 0, 0,... 0, 9 Portato: 5 0, + log log 3. x! x!.! ( x )! x 5! 5! x+ x 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ej log. + log ( x 5)! x 0 x!5.! Observe:!! 3! 3 6! 3 5! A partir de 5! todos os algarismos das uidades são zeros. 000! Desevolvedo a expressão 5m! (m )!, temos: m! 5m(m )! (m )! (m )! [5m ] 5m m(m )! (m )! m m + 8. ( + )!! 7 ( )! ( + ) ( )! ( )! 7 ( )! b g 7 ( )! + ( )! ( 7) 0 0 ou 7 0 Não covém. 7 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 5

6 9. A A Para cada questão existem possibilidades: sim ou ão, portato: 5 (.... 5)A 50! 50! A. 5.5! ª Questão ª Questão 5ª Questão x x 3 possibilidades 0. I. II !! !!! ! log log. C 5, 5 C 5,3 0 C 5, 0 C 5, 5 Temos possibilidades. aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Para formar o úmero devemos escolher o algarismo da cetea, da dezea e da uidade: a) 5. Vamos ecotrar a quatidade de úmeros meores que 67: Começado por, ou., ou 3 x x 3 x x 7 Começado por 6 6 x x 3 x x 6 Nº de possibilid. 5 x 5 x 5 5 Começado por 6 6 x x x x b) Começado por x 0 x Existem 80 úmeros meores que 6, etão é o 8º úmero. c) 0 º º e º 9 x 9 x 8 68 d) Termiado em Zero: 3º º e 3º 0 9 x 8 x 7 Termiado em,, 6 ou 8: 0 e 3º º e 3º,, 6 ou 8 8 x 8 x p p p p p p p 3. 6 possibilidades. Temos 3 possibilidades apeas a primeira, pois daí em diate ão podemos ter a cor igual a aterior.. Temos uma questão com as letras P, Q e R e os algarismos 9,, 7 e 8. º caso: Letras e algarismos distitos Possibilidades º caso: Podedo repetir letras e algarismos Possibilidades ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

7 . I. Como ão existe código de uma só cor, etão pelo meos uma barra tem cor diferete. Assim, temos que ão pode existir esses dois códigos abaixo: B B B B B B P P P P P P II. Se pudessem também ser de cores iguais tíhamos um total de 6 códigos. Veja: 6 III. Fialmete o total de códigos possíveis é: (0, 3,, 7, 8) ão distitos. p 5p 5p 00 úmeros; 00 m(0, 3,, 7, 8) distitos. p p 3p 8 úmeros, m 8 p(0, 3,, 7, 8) pares distitos p 3p 0 úmeros 3p 3p 9 úmeros 3p 3p 8 9 úmeros p daí + m + p códigos 3ª, a ª e a 5ª posição, um total de x úmeros. 7. Existem duas possibilidades, ir de A a B usado rodovia e de B a C usado ferrovia ou ir de A a B usado ferrovia e de B a C rodovia. 8. A B B C ou A B B C Rodovia Ferrovia + Ferrovia Rodovia p p º 3 maeiras 9. Cosiderado os percursos ABCX, ADEX, AFX: ABCX A B B C C X 6 cami hos x 3 x ADEX A D D E E X cami hos x x 3 AFX A F F X cami hos 3 x Total camihos. 3p 3p p p p p 36 M H M H M H O primeiro algarismo ão pode ser zero para que o úmero teha 5 algarismos: º 0 º º 3º º º 3º 5º º 9 x 9 x 9 x 9 x ª Liha 5 possib. x ª liha ª liha possib. x 3ª liha ª liha possib. x ª liha 3ª liha 5ª liha ª liha possib. x possib..80 formas aula 5 6. Para formar o úmero temos de fazer 5 escolhas detre os algarismos de 0 a 9, o algarismo 6 ocupa a ª posição, vamos cosiderar o 7 a seguda posição. º º 6 7 3º º e º º 5º º, º e 3º º, º, 3º e º x x 8 x 7 x Com 7 ocupado o º ALG. Temos 336 úmeros, do mesmo modo teremos 336 úmeros com 7 ocupado a. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA I. Calculado os casos em que João e Pedro ficam jutos: Referete à ordem J P x 3 x x x 5 x 0 cosidere referete só ao deslocameto ou P 5. P 5!! 0 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 7

8 . 3. II. Calculado o total de casos: P 6 70 III. Como João e Pedro ão podem ficar jutos, teremos: P 6 P 5. P A E O x 3 x x x 5 0 só referete ao deslocameto ou P 5 0 I. Iicialmete teremos o trecho: A B A B 5. I. Temos oito espaços para colocarmos 8 úmeros. Porém três destes úmeros devem ficar jutos, que são os úmeros, 3 e 5, sobrado para o restate 5 úmeros. Número 3 5 Possibilidade Não importa a ordem dos úmeros, por isso II. Como os úmeros, 3 e 5, que estão sempre jutos, podem mudar de posição, por exemplo: 3 5 Etão o total de maobras é I. Para formarmos os aagramas da palavra ENIGMA, devemos trocar de lugar ou permutar as 6 letras: P 6 6! 70 aagramas. II. Se a primeira letra for A, só precisaremos trocar de posição as outras 5 letras do ANIGME, ou seja, P 5 5! 0 aagramas. III. Se as duas primeiras letras forem EN, só precisaremos trocar de posição as outras letras de NEGMAI, ou seja, P! aagramas. Camiho N N L L L L N L L N L L As afirmações I e III são verdadeiras. A cada camiho formado, temos que ir para o orte e para o leste. O que muda de um camiho para outro é a ordem dos N (Norte) e dos L (Leste). Permutaremos 6 letras sedo repetidas (Norte) e mais repetidas (Leste). P 6, 6! 6. 5.! 5!!!.! II. Aalogamete com o trecho de B a C: 3, 5! 5.. 3! P 5 0! 3!!. 3! Com os trechos, temos: Resposta correta: 50. I. Como temos três marcas distitas, podemos relacioar da seguite forma: x + y + z 6, ode x, y e z são as referidas marcas. P8 8! 8x7x6! 8 x 7 Portato, temos: 8 P6. P 6!! 6! x! II. Aalogamete ao item I, temos x + y + Z 3, pois é ecessário relacioar pelo meos uma uidade de cada marca, portato, temos: P5 5! 5xx3! 0 0 P. P 3!! 3! x! 3. Devemos cosiderar que Rogério e Regialdo são uma úica pessoa. Rogério, Regialdo, Marcelo, Daielle, Márcio Temos de permutar pessoas, P. Mas temos de cosiderar a troca de posição de Rogério e Regialdo, P : P x P! x! x x x 3 x x 8 maeiras. Resposta correta: 8 3. VESTIBULANDO: I. Calculado os aagramas em que as vogais aparecem jutas: A E I O U 7 x 6 x 5 x x 3 x x P 8. P 5 só P 5 II. Total de aagramas: P III. Os aagramas em que as vogais ão aparecem jutas é igual a: P P 8. P 5, ou aida,! 8! 5! 8 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

9 . Para as cosoates estarem jutas, vamos cosiderá-las como uma só letra e a ordem alfabética: JNR A E I O Os aagramas serão formados trocado de posição as 5 letras acima. P 5 5! 0 aagramas Não levamos em cota a troca de posição das cosoates, pois só os iteressa a ordem JNR, que é a ordem alfabética. 5. Calculado a quatidade de úmeros que começam por ou 3: ou Calculado a quatidade de úmeros que começam por : Calculado a quatidade de úmeros que começam por 3 ou por 38: 3 ou Existem úmeros meores que 398, etão esse será o 59º úmero. 9. a) Ele tem que adar 9 quadras. Ao escolher as quadras que vão para cima, as outras estarão determiadas 9. b) Aalogamete, o úmero de maeiras de Pirúvico ir à Liturgia é. 6 E estado em Liturgia para ir à Ambrozia 5 Pelo pricípio multiplicativo há possibilidades. Resposta correta: a) b) 60 (Retificação do gabarito) 0. Jutas () P P 7 P P 7 6. Um úmero de 5 algarismos será polídromo quado o primeiro algarismo for igual ao quito, e o segudo algarismo for igual ao quarto, portato, o úmero total de úmeros polídromos é: º ALG º ALG 3º ALG º ALG 5º ALG 0 º º Podemos iterpretar o problema da seguite forma, x é o úmero de pastéis de care; y de queijo; z de palmito. Assim itidamete temos: x + y + z 5 E o mesmo que permutar cico potos e duas vírgulas; exemplo de uma permutação...,..,. Neste caso x, y e z, o úmero de permutações é: 7 7! p5, 5!! 8. A cada par de circuferêcia temos o máximo dois potos de iterseção. O total de pares de circuferêcia 0! 0 x 9 x 8! é C0, 5, etão o úmero ( 0 )!! 8!. máximo de potos será potos.. I. 3p 3p 3p 3p 3p 3 8 úmeros formados com,, 3. II. p p p p p p p p C 3,. 8 úmeros formados com apeas dois do três algarismos. Daí o que queremos é Rev.: Jéssica da silva 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 9