Complexidade de Algoritmos Aula 5

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1 Complexidade de Algoritmos Aula 5 Potecia (a: real, : iteiro: real; p: real; iicio 1. se = 0 etão retora ( 1 ; 2. se ( mod 2 = 1 etão 3. p Potecia( a, ( 1/2 ; 4. retora( a*p*p ; 5. seão p Potecia( a, /2 ; 6. retora( p*p ; fim Potecia (a: real, : iteiro: real; p: real; S: pilha; 01. p 1; 02. iicia(s; 03. equato > 0 faca 04. se ( mod 2 = 1 etão 05. ( 1 / 2; 06. empilha(s, a; 07. seão / 2; 08. empilha(s, 1; 09. equato vazia(s = false faca 10. p desempilha(s*p*p; retora ( p ; Recorrêcias Uma recorrêcia é uma fórmula que defie uma fução (em geral sobre úmeros aturais. Uma recorrêcia defie T( em termos de (um ou mais T(k, com k <. Exemplo 1: T 1 ( = T 1 ( , para > 1 T 1 ( = 1, para < 2 (esta parte pode ser omitida Exemplo 2 (com omissão do caso base: T 2 ( = T 2 ( /2 + 1

2 Recorrêcias Teorema Mestre Existem algumas maeiras de se tetar resolver a recorrêcia: Método Iterativo Método de Substituição Teorema Mestre Resolver a recorrêcia sigifica obter uma fórmula fechada para T( T 2 ( = log 2 + 1, para > 0 Dada uma recorrêcia da forma: T( = a.t( /b + f( ode a 1, b > 1 e f é assitoticamete positiva a é o úmero de chamadas recursivas 1/b é a dimiuição da etrada em cada ível f é o custo computacioal em cada ível da recursão É possível determiar limites assitóticos para T( em 3 casos: Teorema Mestre Problema de Ordeação Caso 1: f( é para ε > 0 Caso 2: f( é para k 0 Caso 3: f( é Ο ( logb a ε para ε > 0 e f( satisfaz a.f(/b c.f( para c < 1. T ( = Θ( log a b ( log a k Θ b log T ( = Θ( Ω ( logb a + ε log T ( = Θ( f ( a log k b + 1 Problema: dado um vetor com elemetos, colocá-los em ordem ão-decrescete Ou seja, dada uma seqüêcia de úmeros [a 1, a 2,..., a ], ecotrar a permutação π, que reordea a seqüêcia tal que a π(1 a π(2... a π( Normalmete, represetado como um vetor Operação básica: comparação etre os úmeros

3 Isertiosort Bubblesort Idéia: as chaves (úmeros são como cartas em um baralho Etrada: vetor L com chaves 1. para j 2 até faça 2. Chave L[j]; 3. i j 1; 4. equato i > 0 e L[i] > Chave faça 5. L[i+1] L[i]; 6. i i 1; 7. L[i+1] Chave; Idéia: As chaves meores sobem como bolhas de ar em uma colua de água Etrada: vetor L com chaves 1. para i 1 até 1 faça 2. para j até i+1 faça 3. se L[j 1] > L[j] etão 4. Troca(L[j 1], L[j]; Quicksort Idéia: Dividir para Coquistar Passos: Divisão: divide o problema em problemas meores Coquista: resolve recursivamete os subproblemas Composição: combia as soluções dos subproblemas e obtém a solução do problema origial Em quicksort, dividir é trabalhoso e combiar (compor é trivial Quicksort Etrada: vetor L com (m k + 1 chaves Quicksort(L, k, m 1. se k < m etão 2. i Divide(L, k, m; 3. Quicksort(L, k, i 1; 4. Quicksort(L, i+1, m;

4 Etrada: vetor L com (m k + 1 chaves em relação a chave em L[i] Divide(L, k, m 01. i Pivo(k, m; 02. Troca(L[i], L[m]; 03. X L[m]; 04. i k 1; 05. para j k ate m 1 faça 06. se L[j] X etão 07. i i+1; 08. Troca(L[i], L[j]; 09. Troca(L[i+1], L[m]; 10. retora ( i+1 ; Mergesort Idéia: Dividir para Coquistar Passos: Divisão: divide o problema em problemas meores Coquista: resolve recursivamete os subproblemas Composição: combia as soluções dos subproblemas e obtém a solução do problema origial Em mergesort, dividir é trivial e combiar (compor é trabalhoso Mergesort Etrada: vetor L com (m k + 1 chaves Mergesort(L, k, m 1.se k m etão 2. i (k+m/2 ; 3. Mergesort(L, k, i; 4. Mergesort(L, i+1, m; 5. L Merge(L, k, i, L, i+1, m; Etrada: vetor L1 com (q p + 1 chaves e L2 com m (s r + 1 chaves Saída: vetor L ordeado ( + m chaves composto por L1 e L2 Merge(L1, p, q, L2, r, s 1. i p; j r; k p; 2. equato i q e j s faça 2. se L1[i] < L2[j] etão 3. { L[k] L1[i]; i i+1; k k+1; } 4. seão { L[k] L2[j]; j j+1; k k+1; } 5. equato i q faça 6. { L[k] L1[i]; i i+1; k k+1; } 7. equato j s faça 8. { L[k] L2[j]; j j+1; k k+1; } 9. retora ( L ;

5 Heapsort Utiliza uma estrutura de dados chamada heap Árvore biária completa à esquerda com a seguite característica: A chave de todo ó é maior ou igual a chave de seus descedetes Represeta-se o heap em um vetor Operações o heap: Heapsort RemoveHeap -> retira a raiz e acerta o heap IsereHeap -> isere o fim e acerta o heap AcertaHeap -> matém o heap como a defiição Algoritmo Heapsort 1. Costrói o Heap 2.para i até 2 faça 3. Troca(L[1], L[i]; 4. AcertaHeap(L, 1, i - 1; Heapsort Etrada: vetor L com chaves Saída: vetor L represetado um Heap Algoritmo Costrói o Heap 1.para i /2 até 1 faça 2. AcertaHeap(L, i, ; Etrada: vetor L com chaves e pai do Heap Saída: vetor L com o Heap acertado AcertaHeap(L, pai, 01. filho 2*pai; t L[pai]; fim falso; 02. equato filho e ão(fim faça 03. se filho < e L[filho] < L[filho+1] etão 04. filho filho+1; 05. se t > L[filho] etão 06. fim verdade; 07. seão L[pai] L[filho]; 08. pai filho; 09. filho 2*filho; 10. L[pai] t;

6 Radixsort Algoritmo melhor que Heap e Merge. Como??? Queremos ordear úmeros com, o máximo, m dígitos. Daí vem o prefixo RADIX, ou seja, se o úmero está represetado a base 2, 10, 16, etc... A idéia é ordear os úmeros pelos seus dígitos, do meos ao mais sigificativo, preservado a ordem parcial em cada passo. Etrada: vetor L com chaves, cada qual com, o máximo, m dígitos a base 10 Radixsort(L,, m 1. para d 1 até m faça 2. i 1; 3. para k 0 até 9 faça 4. para j 1 até faça 5. se dígito(d, L[ j ] = k etão 6. Lt[ i ] L[ j ]; 7. i i+1; 8. TrocaV (Lt,, L, ;

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