Recorrências. Universidade Federal do Amazonas Departamento de Eletrônica e Computação

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1 Recorrêcias Uiversidade Federal do Amazoas Departameto de Eletrôica e Computação

2 Recorrêcias A expressão: c T ( ) 2T c 2 é uma recorrêcia. 1 > 1 Recorrêcia: uma equação que descreve uma fução em termos de seus valores para istâcias meores Com frequêcia omitimos pisos, tetos e codições limite

3 Exemplos de Recorrêcias > 1) ( ) ( s c s > 1) ( ) ( s s > ) ( c T c T > 1 1 ) ( c at c T

4 Solução de Recorrêcias Métodos Susitituição Iteração Mestre Aiquilador

5 Método da Sustituição

6 Coceitos ásicos Dois passos Pressupor a forma da solução Usar idução matemática para determiar se a solução se aplica Sustituição da resposta pressuposta para a fução quado a hipótese idutiva é aplicada Útil quado é fácil estimar a forma da solução Pode ser utilizado para estaelecer limites superiores ou iferiores das recorrêcias

7 Exemplo Sustituição (1) Resolver a recorrêcia (que é semelhate à recorrêcia da ordeação por itercalação) T ( ) 2T ( ) / 2 T() O( lg )?

8 Exemplo Sustituição (2) Determiar um limite superior para Se T() O( lg ) T ( ) 2T ( ) / 2 Provar que T() c lg para algum c>usado idução e para todo

9 Exemplo Sustituição (3) A idução exige que mostremos que a solução se matém válida para as codições limite Base da idução: mostrar que a iequação é válida para algum suficietemete pequeo Se 1 T(1) c * 1 * log 1!!! No etato, T() 2T( /2 ) T(1) 1 Mas 2 T(2) 2T(1) 2 4 e c lg c * 2 * lg 2 2c 3 T(3)2T(1) 3 5 e c lg c * 3 * lg 3

10 Exemplo Sustituição (4) Pode-se partir de T(2)4 ou T(3)5 usado qualquer c 2, pois T() c lg Válido de acordo com a otação assitótica: T() clg para Truque: esteder as codições de cotoro para fazer a hipótose idutiva valer para pequeos valores de

11 Exemplo Sustituição (5) Hipótese idutiva: Assumir a iequação para / 2 / 2 ) c / 2 lg( / 2 ) T (

12 Exemplo Sustituição (5) Idução : A iequação é válida para T ( ) 2T ( 2( c c c c c / lg( / 2) (lg lg 2) lg lg 2 lg / 2 c / ) 2 )) / 2 ) c / 2 lg / 2 ) T ( (é valida para c 1, aalisado o limite superior)

13 Sore Estimativas (1) Requer experiêcia e criatividade Pode-se utilizar árvores de recursão Se a recursão é similar a uma outra com a qual se está familiarizado, é razoável tetar uma solução similar T ( ) 2T ( / 2 17) T() O(lg ) Por quê? O termo adicioal (17) ão afetará sustacialmete a solução da recorrêcia para um grade

14 Sore Estimativas (2) As vezes a estimativa está correta mas as cotas ão fecham a hora da idução A hipótese idutiva ão é suficietemete forte para provar o limite!!! Revisar a estimativa sutraido um termo de meor ordem assitótica para que a matemática fucioe

15 Sore Estimativas (3) / 2 ) T ( / 2 ) 1 T ( ) T ( é O()??? MostrarqueT() c / 2 c / 2 1 c 1 T ( ) c ãoimplicat() c Nova tetativa T() c- T ( ) T ( ) ( c / 2 ) c / 2 c ( ) (paratodo 1) 1 c 2 1 A costate c deve ser escolhida com um valor grade o suficiete para tratar as codições limites

16 ) lg lg (lg ) lg ( ) ( ) (2 ) ( 2) / ( 2 ) ( semelhate a 2) / ( 2 ) ( ) (2 2 ) (2 lg ) ( 2 ) ( 2 O m m O m S T T T T m m S m S m T T T T m m m Troca de Variáveis m lg 2 m S(m)T(2 m ) S(m)O(m lg m) Note que log 2 m m e log 2 m/2 m/2

17 Exercício 1 Qual seria a estimativa para T()T(-1)1? Dica: mostre que a solução T()T(-1)1 é O() Caso ase: 1, T(1)T()11e cc*1(válido para c 1) Provar que T() c para algum c>usado idução e para todo T ( ) T ( ) T ( ) T c ( 1) ( 1) c 1 1 c c 1 c (é valido para c 1)

18 Exercício 2 Qual seria a estimativa para T()T( /2 )1? Mostre que a solução T()T( /2 )1 é O(lg ) Caso ase: 2, T(2)T(1)12e c*lgc*1; 4, T(3)T(2)13 e c*lgc*2(válido para c 2) Provar que T() c lg para algum c>usado idução e para todo T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) c lg / 2 1 c lg 1 c lg c lg c lg c 1 c lg (é valido para c 1)

19 Método da Iteração

20 Método da Iteração Cosiste em: Expadir a recorrêcia Usar proprieadades algéricas para ecotrar um somatório Resolver o somatório

21 Exemplo 1: Iteração (1) Resolver s( ) c s( 1) >

22 Exemplo 1: Iteração (2) s() c s(-1) c c s(-2) c c c s(-3) 3c s(-3) kc s(-k) ck s(-k) s() c s(-1) s(-1) c s(-2) s(-2) c s(-3) s( ) c s( 1) >

23 Exemplo 1: Iteração (3) Até agora para > ktemos s() ck s(-k) E se k? s() c s() c Portato S() c s( ) c s( 1) >

24 Exemplo 2: Iteração (1) Resolver s( ) s( 1) >

25 Exemplo 2: Iteração (2) k1 k2 k3 k4 s() s(-1) -1 s(-2) -1-2 s(-3) s(-4) s( ) s( 1) (k-1) s(-k) i i k 1 s( k) >

26 Até agora para > ktemos E se k? Portato: ) ( 1 k s i k i Exemplo 2: Iteração (3) 2 1 () 1 1 i s i i i 2 1 ) ( s

27 Exemplo 3: Iteração (1) Resolver T ( ) 2T c 2 c 1 > 1

28 Exemplo 3: Iteração (2) T() 2T(/2) c 2(2T(/2/2) c) c 2 2 T(/2 2 ) 2c c 2 2 (2T(/2 2 /2) c) 3c 2 3 T(/2 3 ) 4c 3c 2 3 T(/2 3 ) 7c 2 3 (2T(/2 3 /2) c) 7c 2 4 T(/2 4 ) 15c 2 k T(/2 k ) (2 k -1)c T ( ) 2T c 2 c 1 > 1

29 Exemplo 3: Iteração (3) Até agora para > 2 k temos T() 2 k T(/2 k ) (2 k -1)c E se klg? T() 2 lg T(/2 lg ) (2 lg -1)c a lg c c lg a T(/) ( -1)c T(1) (-1)c c (-1)c (2-1)c T ( ) c 2T c 2 1 > 1

30 Exemplo 4: Iteração (1) Resolver T( ) at c c 1 > 1

31 Exemplo 4: Iteração (2) T() at(/) c a(at(//) c/) c a 2 T(/ 2 ) ca/ c a 2 T(/ 2 ) c(a/ 1) T ( ) at a 2 (at(/ 2 /) c/ 2 ) c(a/ 1) a 3 T(/ 3 ) c(a 2 / 2 ) c(a/ 1) a 3 T(/ 3 ) c(a 2 / 2 a/ 1) a k T(/ k ) c(a k-1 / k-1 a k-2 / k-2 a 2 / 2 a/ 1) c c 1 > 1

32 Exemplo 4: Iteração (3) Assim, temos T() a k T(/ k ) c(a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1) Para k log k lg a lg lg c c a T() a k T(1) c(a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1) a k c c(a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1) ca k c(a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1) c(a k / a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1) c(a k / k a k-1 / k-1... a 2 / 2 a/ 1)

33 Exemplo 4: Iteração (4) Etão, para k log T() c(a k / k... a 2 / 2 a/ 1) E se a? T() c(k 1) c(log 1) Θ( log ) k

34 E se a <? Lemre que: Temos: Etão: Exemplo 4: Iteração (5) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a k k k k k k < L T() c Θ(1) Θ() T() c(a k / k... a 2 / 2 a/ 1) ( ) x x x x x x x k k k k K

35 Exemplo 4: Iteração (6) E se a >? T() c(a k / k... a 2 / 2 a/ 1) a k k a k 1 k 1 L a 1 T() c Θ(a k / k ) k ( a ) ( a ) Θ ( ) ) k a c Θ(a log / log ) c Θ(a log / ) como, a log log a c Θ( log a / ) Θ(c log a / ) Θ( log a )

36 Exemplo 4: Iteração (7) Portato, fialmete T ( ) Θ ( ) ( log ) Θ Θ ( ) log a a a a < >

37 Exercício 1: Iteração (1) Cosidere um sistema discreto modelado pela seguite eq. de difereça ode <a<1: ( ) ay( 1) x( ) y x( ) 1,, Pode ser represetado pela seguite recursão:, s( ) 1, as ( 1) c, < > Qual seria o tempo de execução deste sistema?

38 Exercício 1: Iteração (2) s() -as(-1) c -a(-as(-2)c)c a 2 s(-2)-acc a 2 (-as(-3)c)-acc -a 3 s(-3)a 2 c-acc -a 3 (-as(-4)c)a 2 c-acc a 4 s(-4)-a 3 ca 2 c-acc a k s(-k)-a k-1 ca k-2 c- -acc a k s(-k)c(-a k-1 a k-2 - -a1) s() -as(-1) c s(-1) -as(-2)c s(-2) -as(-3)c s(-3) -as(-4)c, s( ) 1, - as ( -1) c, < >

39 Exercício 1: Iteração (3) Até agora para > ktemos a k s(-k)c(-a k-1 a k-2 - -a1) E se k? s() a c(-a -1 a a1) E se k >? s() c(-a -1 a a1) s( ), 1, as ( 1) c, < >

40 Exercício 2: Iteração Agora cosidere um sistema discreto modelado pela seguite eq. de difereça de seguda ordem: ( ) ay( 1) y( 2) x( ) y x( ) 1,, Qual seria o tempo de execução deste sistema?

41 Teorema Mestre

42 Teorema Mestre Cosidere um algoritmo que use divisão e coquista Divide um prolema de tamaho em asuprolemas, cada um de tamaho / (iterpretamos /como / ou /, pois /deve ser um iteiro) Seja f()d()c()custo de cada estágio, ou seja, o custo de dividir (D) os prolemas e comiar (C) as soluções O método mestre cosiste em uma receita de olo para ecotrar a fução de complexidade

43 Teorema Mestre Usado para a solução de recorrêcias da forma T ( ) at ( / ) f ( ) a 1, >1, e f assitóticamete positiva; Sedo T() o tempo de execução do algoritmo, podemos dizer que Su-prolemas de tamaho/são resolvidos recursivamete cada um em tempo T (/) f () é o custo de dividir o prolema e comiar seus resultados. No MergeSor temos: T ( ) 2 T ( / 2) ( ) Θ a 2, 2, f ( ) Θ( )

44 Teorema Mestre (2) Os su prolemassãodivididosemapartes. Existirãolog íveis Ocorrerão a log log a folhas

45 This image caot curretly e displayed. Teorema Mestre (3) Três casos comus: Tempo de execução é domiado pelo custo as folhas Tempo de execução é uiformemete distriuído pela árvore Tempo de execução é domiado pelo custo a raiz Assim, para resolver a recorrêcia, teremos de caracterizar o termo domiate Para cada caso comparar f ( ) O log ( a )

46 Resumo do Teorema Mestre Seja uma recorrêcia da forma T( ) at( / ) f ( ) 1. f ( ) O( log a ε ), ε > T ( ) Θ( log a ) 2. f ( ) Θ( log a ) T ( ) Θ( log a lg ) 3. f ( ) Ω( log a ε ), ε > T ( ) Θ( f ( )) sedo a. f ( / ) c. f ( ), c < 1 Para cada caso comparar f()com O( lg a )

47 Estratégia Passo 1:Idetificar a, e f () Passo 2:Determiar log a Passo 3:Comparar f () e assitóticamete log a Passo 4:De acordo com o caso, aplicar a regra correspodete

48 Exemplo 1 T() 9T(/3) Passo1:a9, 3, f() Passo2: log a log Passo3:f() O( log ε ), O()ode ε1 Passo4: o caso1 se aplica: T ( ) Θ ( log a ) ( a ε ) log quado f ( ) O PortatoT() Θ( 2 )

49 Exemplo 2: Mergesort T ( ) 2 T ( / 2) Θ( ) a Θ log a log 2 2, 2; 2 ( ) Como f ( ) Θ( ) Temos o caso 2 : f ( ) Θ( log a ) T ( ) Θ( log a lg ) Aplicado os valores: ( log a ) ( ) T ( ) Θ lg Θ lg

50 Exemplo 3 Ecotre o tempo de execução para recorrêcia: Passo 1: a3, 4e f()lg Passo 2: log a log 4 3,793 Passo3: f() Ω( log 4 3 ε ), O()ode ε,2 Passo4: o caso3 se aplica, T 3 Portato, T() Θ(lg ) ( / 4) lg T ( ) 3T ( ( )) ( log ) a ε ( ) Θ f quado f ( ) O a.f ( / ) c. f ( ), c < 1para ( / 4) lg( / 4) clg 3/ 4 f ( ) para c 3/4 sedo suficietemete grade

51 Exercício Use o teorema mestre para forecer limites assiatóticos restritos para as recorrêcias a seguir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 4 2 / 4 2 / 4 ) ( T T T T T T

52 Método aiquilador Sugestão para estudo mais aprofudado