Fontes Bibliográficas. Estruturas de Dados Aula 14: Recursão. Introdução. Introdução (cont.)

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1 Fotes Bibliográficas Estruturas de Dados Aula 14: Recursão Livros: Projeto de Algoritmos (Nivio Ziviai): Capítulo 2; Estruturas de Dados e seus Algoritmos (Szwarefiter, et. al): Capítulo 1; Algorithms i C (Sedgewick): Capítulo 5; Slides baseados as aulas de Sedgewick ( 19/05/2010 Itrodução O que é recursão? É um método de programação o qual uma fução pode chamar a si mesma O termo é usado de maeira mais geral para descrever o processo de repetição de um objeto de um jeito similar ao que já fora mostrado Por que precisamos apreder recursão? Paradigma de programação poderoso Nova maeira de pesar Muitas estruturas têm atureza recursiva: Estruturas ecadeadas Fatorial, máximo divisor comum Uma pasta que cotém outras pastas e arquivos Itrodução (cot.) Uma forma visual de recursão cohecida como efeito Droste

2 Itrodução (cot.) Máximo Divisor Comum mdc (p, q): ecotre o maior divisor comum etre p e q; Ex.: mdc (4032, 1272) = = 2 6 x 3 2 x = 2 3 x 3 1 x 53 1 Uso de mdc: Simplificação de frações: 1272/4032 = 53/168 Importate em mecaismos de criptografia Máximo Divisor Comum (2) Máximo Divisor Comum (3) Algoritmo de Euclides p se q =0 mdc (p, q) = mdc (q, p%q) caso cotrario - caso base - passo de redução, coverge para o caso base mdc (p, q) = p se q =0 mdc (q, p%q) caso cotrario - caso base - passo de redução, coverge para o caso base mdc (4032, 1272) = mdc (1272, 216) mdc (216, 192) mdc (192, 24) mdc (24, 0) / 1272 = 3 x p = 8x q = 3x mdc (8x, 3x) mdc (3x, 2x) mdc (2x, x) mdc (x,0) mdc (p, q) = x mdc

3 Máximo Divisor Comum (4) p se q =0 mdc (p, q) = mdc (q, p%q) caso cotrario - caso base - passo de redução, coverge para o caso base Iicio da Pilha Implemetação em C //caso base //passo de redução HeapPoiter Iício da Área Alocável a a b b costate costate Iicio da Pilha //caso base //passo de redução &mai- #1

4 &mai- #1 p (4) q (2) &mai- #1 p (4) q (2) p (2) q (0) &mai- #1 p (4) q (2) p (2) q (0) &mai- #1 p (4) q (2)

5 vale 2! &mai- #1 p (4) q (2) &mai- #1 vale 2! &mai- #1 vale 2! (2)

6 Gráficos Recursivos Árvore H Árvore H Árvore-H de ordem Deseha uma letra H Recursivamete deseha 4 árvores-h da ordem de -1 (e metade do tamaho), cada árvore coectada em um topo (tip). Implemetação Recursiva da Árvore H (em C) void draw(it, double tam, double x, double y) if ( == 0) retur; //codicao de parada double x0 = x - tam/2; double x1 = x + tam/2; double y0 = y - tam/2; double y1 = y + tam/2; DesehaLiha(x0, y, x1, y); DesehaLiha(x0, y0, x0, y1); DesehaLiha(x1, y0, x1, y1); draw(-1, tam/2, x0, y0); draw(-1, tam/2, x0, y1); draw(-1, tam/2, x1, y0); draw(-1, tam/2, x1, y1); deseha o H cetralizado em (x, y) recursivamete deseha 4 Hs com a metade do tamaho ordem 1 ordem 2 ordem 3

7 Aimação Árvore H Torres de Haoi Objetivo Mover os discos do pio mais a esquerda para o pio da direita Somete um disco por vez pode ser movido; Um disco pode ser colocado um pio vazio ou sobre um disco de tamaho maior; Torres de Haoi: Solução Recursiva Iício Fial Torres de Haoi: aimação

8 Leda das Torres de Haoi Mudo vai acabar quado um grupo de moges coseguirem mover 64 discos de ouro em 3 pios de diamate. Algoritmos de computação irão ajudar a resolver o problema? Torres de Haoi: Implemetação Recursiva void moves (it N, it left) if (N == 0) retur; // se ão houver discos, retora moves(n-1,!left); if (left) pritf( %d left, N); else pritf( %d right, N); moves (N-1,!left); Torres de Haoi: Implemetação Recursiva Torres de Haoi: árvore de recursão (para 3 discos) moves (3, left) moves (2, right) moves (1, left) 1 left 2 right moves (1, left) 1 left 3 left moves (2, right) moves (1, left) 1 left 2 right moves (1, left) 1 left

9 Torres de Haoi: Propriedades da solução Leva 2 1 moves para resolver o problema com discos; O algoritmo revela um fato: São ecessários 585 milhões de aos para =64 (cosiderado que cada movimeto de disco leve 1 segudo, os moges ão cometam erros e que os moges saibam exatamete para ode movimetar o disco, sem pestaejar) Outro fato: qualquer solução possível para as torres de Haoi levará o míimo esse tempo! Dividir para Coquistar Cosiste em dividir o problema em problemas meores Problemas meores são resolvidos recursivamete usado o mesmo método Resultados são combiados para resolver problema origial Vários algoritmos são resolvidos com essa técica (e.x., quicksort, mergesort) Potos Negativos da Recursão Sequêcia de Fiboacci Cosidere a sequêcia de Fiboacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...

10 Sequêcia de Fiboacci e a Natureza Sequêcia de Fiboacci e a Natureza Solução Recursiva? Problema com Recursão F(50) é chamado uma vez F(49) é chamado uma vez F(48) é chamado 2 vezes F(47) é chamado 3 vezes F(46) é chamado 5 vezes log F(it ) if ( == 0) retur 0; if ( == 1) retur 1; retur F(-1) + F(-2); -> Código muito ieficiete! -> Leva muito tempo para computar F(50)! F(45) é chamado 8 vezes Pode facilmete levar a soluções icrivelmete ieficietes!... F(1) é chamado 12,586,269,025 vezes

11 Resumido Como escrever programas recursivos simples? Codição de parada, passo da recursão Use desehos Dividir para coquistar Técica elegate de resolver problemas (ão somete recursivos) Implemetação Recursiva de Listas Cosidere a lista sem setiela e sem cabeçalho Defiição recursiva: Uma lista é: Uma lista vazia; ou Um elemeto seguido de uma (sub)-lista Implemetação Recursiva de Listas Exemplo fução imprime Se a lista for vazia, ão imprime ada Caso cotrário: Imprime o coteúdo da primeira célula (l->item ou l- >Item.campo) Imprime a sub-lista dada por l->prox, chamado a fução recursivamete Implemetação Recursiva de Listas /* Fução imprime recursiva */ void lst_imprime_rec (TipoLista* l) if (!lst_vazia(l)) /* imprime primeiro elemeto: lista de iteiros */ pritf( Item: %d\,l->item); /* imprime sub-lista */ lst_imprime_rec(l->prox);

12 Implemetação Recursiva de Listas Exemplo fução retira retire o elemeto, se ele for o primeiro da lista (ou da sub-lista) caso cotrário, chame a fução recursivamete para retirar o elemeto da sub-lista Implemetação Recursiva de Listas /* Fução retira recursiva */ TipoLista* lst_retira_rec (TipoLista* l, it v) if (!lst_vazia(l)) /* verifica se elemeto a ser retirado é o primeiro */ if (l->item == v) TipoLista* t = l; /* temporário para liberar */ l = l->prox; free(t); else /* retira de sub-lista */ l->prox = lst_retira_rec(l->prox,v); retur l; Implemetação Recursiva de Listas Exemplo fução que testa igualdade etre duas listas it lst_igual (TipoLista* l1, TipoLista* l2) se as duas listas dadas são vazias, são iguais se ão forem ambas vazias, mas uma delas é vazia, são diferetes se ambas ão forem vazias, teste: se iformações associadas aos primeiros ós são iguais se as sub-listas são iguais Implemetação Recursiva de Listas it lst_igual (TipoLista* l1, TipoLista* l2) if (l1 == NULL && l2 == NULL) retur 1; else if (l1 == NULL l2 == NULL) retur 0; else retur l1->item == l2->item && lst_igual(l1->prox, l2->prox);