O Princípio da Substituição e o Teorema Central do Limite

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1 O Pricípio da Substituição e o Teorema Cetral do Limite Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 6 de Maio de 009 Resumo 1 Prelimiares são variáveis aleatórias idepedetes sat- No que segue {X i } {Y i} isfazedo as seguites relações. 1 i, E X i = E Y i = 0; (1) 1 i, E Xi = σ i < +, () 1 i, Y i = d N(0, σi ). (3) Além disto, f : R R é uma fução C 3. Lema 1. Supoha que para todos 1 i temos i f, i 3f < +. Dado x R, seja x ( i) R o vetor com x ( i) i = 0 e x ( i) j = x j para cada j {1,..., }\{i}. Etão: ode f(x) f(x ( i) ) = i f(x ( i) )x i + i f(x( i) ) x i + R i (x), R i (x) c f x i 3 x i, com c f = max 1 j,b {,3} b jf. A prova deste lema foi esboçada em sala. Ela cosiste em aproximar f(x) pela sua Série de Taylor a i-ésima variável, tomado expasões de ordem e 3 e escolhedo qual das duas expasões é mais precisa. Exercício 1. Prove o Lema. IMPA, Rio de Jaeiro, RJ, Brazil, rimfo@impa.br 1

2 O pricípio da substituição Teorema. Seja c f < + como defiida acima. Etão se X (X 1,..., X ) e Y = (Y 1,..., Y ), E f(x) E f(y ) c f (E Xi X i 3 + /πσi 3 ). Prova: Para cada 0 i, defia W (i) (X 1,..., X i, Y i+1,..., Y ). Note que X = W, Y = W 0 e portato: E f(x) E f(y ) = E f(w (i)) f(w (i 1)) E f(w (i)) f(w (i 1)). (4) Nosso objetivo será achar uma cota para cada um dos termos em (4). Fixe 1 i. As observações cruciais da prova são as seguites (usado a otação empregada o Lema): J(i) W ( i) (i) = W ( i) (i 1). Além disso, J(i) é idep. de {X i, Y i }. De fato, a seguda observação segue do fato que J(i) = (X 1,..., X i 1, 0, Y i+1,..., Y ). Exercício. Explique essas observações cruciais mais detalhadamete. Usado o lema e os fatos acima, vemos que i f(j(i))x i + i f(j(i)) E f(w (i)) f(j(i)) = E = E j f(j(i)) E X i + E i f(j(i)) (E X i = 0, E X i = σ i ) +E R i (W (i)) = E i f(j(i)) σi + E R i (W (i)) Xi + R i (W (i)) E Xi

3 ode Do mesmo modo, E R i (W (i)) E R i (W (i)) c f E X i 3 X i. i f(j(i))y i + i f(j(i)) E f(w (i 1)) f(j(i)) = E = E j f(j(i)) E Y i + E i f(j(i)) ode este caso i + R i (W (i 1)) E Y i Y +E R i (W (i 1)) = E i f(j(i)) σi + E R i (W (i 1)) E R i (W (i 1)) c f E Y i 3 c f σ 3 i E N(0, 1) 3 = /πc f σ 3 i, como se pode mostrar calculado por itegração por partes: E N(0, 1) 3 = x 3 e x / dx = x 3 e x / dx = π π π. Vê-se portato que para cada i: E f(w (i)) E f(w (i 1)) E f(w (i)) f(j(i)) E i f(j(i)) σi + E f(w (i 1)) f(j(i)) E i f(j(i)) E R i (W (i)) + E R i (W (i 1)) O teorema segue da aplicação destas cotas em (4). 0 c f E X i X i 3 + c f /πσ 3 i. σ i 3 Uma versão do Teorema Cetral do Limite Teorema 3. Supoha que {Z : Ω R} N é uma seqüêcia de variáveis aleatórias idepedetes defiidas um espaço de probabilidade (Ω, F, P) com: lim + N, E Z = µ, N, V (Z ) = σ > 0, E Z i µ i 3 ( ) 3/ = 0. (5) σ i 3

4 Etão S o que quer dizer P S N(0, 1). (Z i µ i ) σ i N(0, 1), Prova: Suporemos que existe uma seqüêcia {G } N de variáveis aleatórias iid N(0, 1) e idepedetes das Z, defiidas sobre um mesmo espaço de probabilidade. Suporemos aida que E Z i = 0 para todo i. Exercício 3. Explique o que fazer quado estas suposições ão se verificarem. Defia Σ = σ i. Nosso objetivo é provar que: E φ ( Z i Σ ) φ(x) e x / dx 0 R π para cada φ Cc (R, R). Fixemos, pois, uma φ. Dado N, defia, para x = (x 1,..., x ) R, a fução: f (x) = φ( x i ). Exercício 4. Prove que para cada b N e 1 j, b j f(x) = φ(b) ( x i). Deduza que c f C φ para alguma costate C φ > 0 que depede apeas de φ. Aplicaremos o Teorema da Substituição com f = f, X i Z i /Σ e Y i = σ i G i /Σ. Exercício 5. Verifique que as hipóteses do Teorema são satisfeitas. Notado que E X i 3 E Z i 3 /Σ 3 e que E Z i 3/ = σ 3 i E Z i 3, temos a seguite cota: E Z i 3 + σi 3 E φ( X i ) E φ( Y i ) D φ Σ 3 0 pela hipótese (5). Exercício 6. Nesta última equação, D φ > 0 só depede de φ. De ode veio esta costate? Qual a sua relação com C φ? 4

5 O teorema segue de X i = Z i/σ e Y i = σ ig i /Σ = d N(0, 1). Exercício 7. Por que σ ig i /Σ = d N(0, 1)? 4 O teorema de Lidberg O teorema a seguir é essecialmete a forma mais geral do TCL. Teorema 4. Supoha que para cada N temos uma seqüêcia {Z i, : Ω R} M de variáveis aleatórias idepedetes defiidas um espaço de probabilidade (Ω, F, P). Supoha aida que temos: ɛ > 0, N, 1 i M, E Z i, = 0, lim + N, V (Z ) = σ i, > 0 com E Zi,I { Zi, ɛ} σi, = 1, = 0. (6) (Esta última liha é a chamada codição de Lidberg.) Etão ou melhor P S N(0, 1). S Z i, N(0, 1), Exercício 8. Usado a otação do Teorema aterior, sejam M =, Z i, = (Z i µ i )/ σ i. Mostre que a codição (5) o Teorema aterior implica (6) o Teorema atual. A demostração a seguir se baseia as ideias da aterior e será apeas esboçada. A maior difereça aparece em como se cota o termo de resto que aparece em virtude do Pricípio da Substituição. Prova: Mais uma vez supomos que existem G i s como a prova aterior. Fixamos uma φ Cc vemos que c f C φ para alguma costate que só depede de φ. Para cada N, defiimos (R, R), tomamos f (x) φ( M x i). Mais uma vez X = (X 1,..., X M ), Y = (Y 1,..., Y M ) : Ω R M 5

6 com Y i = σ i, G i e X i Z i, para 1 i M. Aplicado o Pricípio da substituição e usado o fato que M Y i = N(0, 1): E φ(s ) φ dn(0, 1) = E φ(s ) E φ( Y i ) R D φ ( E Z i, 3 Zi, + σ 3/ i, ), (7) para algum D φ > 0 qe só depede de φ. Mostraremos agora que (6) implica que a primeira soma em (7) vai para 0 quado cresce. De fato, veja que para qualquer ɛ > 0, logo lim sup Z i, 3 Z i, (ɛ + I { Zi, >ɛ})z i,, E Z i, 3 Z i, ɛ lim sup E Z i, +lim sup E I { Zi, >ɛ}zi, e o segudo termo é 0 pela codição de Lidberg. Já o primeiro termo é ɛ porque M Z E i, = i σ i, = 1 para cada. Deduzimos que: ɛ > 0, lim sup E Z i, 3 Zi, ɛ, o que implica, como esperado, que a primeira soma em (7) coverge a 0. Cotamos a seguda soma da seguite forma: σi, 3 ( max σ j, ) Agora veja que para cada ɛ > 0, σ i, = ( max σ j, ). (8) max σj, = max E Z j, ɛ + max E Z j,i { Zj, >ɛ} ɛ + E Zi,I { Zi, ɛ}. 6

7 Como a última cota coverge para 0, temos que lim sup max 1 j M σj, ɛ para todo ɛ > 0, logo max 1 j M σj, 0. Juto com (8), isto implica que a seguda soma em (7) vai para 0. Isto termia a prova de que: E φ(s ) φ dn(0, 1) 0 para qualquer φ C c (R, R) o que implica P S N(0, 1). R 7