Eletromagnetismo II 1 o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci

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Maria Laura Ximenes Guterres
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1 Eletromagetismo 1 o Semestre de 7 Noturo - Prof. Alvaro Vaucci 1 a aula 7/fev/7 ivros-texto: eitz-milford Griffiths Vamos relembrar as 4 equações básicas do Eletromagetismo 1 a ) ei de Gauss: O Fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada correspode à carga itera a esta superície. qit E ˆ da = ; qit ρdv =. osiderado meios materiais ( D = E ), e aplicado o Teorema do Divergete ( F ˆ da = F dv ): D = ρ 1 a Equação de Maxwell a forma diferecial a ) ei do Fluxo Magético: orrespode à lei de Gauss para o magetismo. eflete o fato de ão existirem moopolos magéticos. gualmete: B ˆ da = B = a Equação de Maxwell 3 a ) ei de Ampère: Permite o cálculo do campo magético devido a uma correte elétrica, elaçada por uma circuitação fechada: B dl = µ el.; ˆ el. = J da Em meios materiais ( B = µ H ), e aplicado o Teorema de Stokes: ( ( F) ˆ da = F dl ): H = J 3 a Equação de Maxwell Falta acrescetar a orrete de Deslocameto: D t

2 4 a ) ei de Faraday: dφ = B E = t 4 a Equação de Maxwell Fluxo Mage tico : φ = B da ˆ Vale lembrar também: dφ dφ d d Sedo que : = = d E aida: J = qv ; J = σ E ( ei de Ohm) ρ J = ( Eq. otiuidade) t Auto-idutâcia No semestre passado estudamos o armazeameto de eergia elétrica e magética através de apacitores e dutores, respectivamete, de forma que: U 1 = V ou U = 1 Q e U = 1 ircuitos que variam letamete (podemos desprezar a radiação emitida). Alguma coisa sobre circuitos com tesões costates (..) já foi estudada o semestre aterior. Veremos agora circuitos submetidos a uma difereça de potecial (ddp) variável (.A.) com freqüêcia agular ω=πf. Ficaremos restritos aos casos em que a correte varia letamete, ou seja, as dimesões típicas dos circuitos elétricos l seguem a regra: c π c l << λ ; λ = ct = = f ω sedo λ o comprimeto de oda da radiação emitida. Satisfazedo-se esta codição para todo elemeto dl do circuito (com correte ), haverá um outro - dl a uma distâcia pequea, muito meor que λ. sto produz um cacelameto dos campos produzidos por estes elemetos a partir de algus λ s. Ou seja, os campos criados pelo circuito ficam restritos às imediações dos circuitos e ão há dissipações sigificativas de eergia por radiação.

3 Por exemplo: adiação f (Hz) ω (rad/s) λ (m) l (m) ihas de Trasmissão AM 1 6 (1 MHz) 6, FM,TV 8 1 (1 MHz) 6, ,3 Micro-Odas 1 11 (1 GHz) 6,3 1 1,3,3 Veja que o último caso, para que ão haja perdas sigificativas de eergia, o circuito deve estar bem compactado (veja o caso de um micro-processador de 3 GHz!). ircuito Quado a chave S é fechada, ocorre iicialmete um trasiete e, somete depois, o circuito etra em regime estacioário. Ambos os estados (trasiete e estacioário) são regidos pelas mesmas equações difereciais básicas. Somete as técicas de resolvê-las são geralmete diferetes. S ~ omo exemplo do comportameto trasitório, supomos um circuito com tesão costate. Pela coservação da Potêcia: Ou seja: Pfote = Presistor = Pidutor d 1 d = = S - (cte) d = (Após fechameto da chave) Esta é uma equação diferecial de primeira ordem em e a solução depede apeas de uma costate arbitrária. d Tetado uma solução do tipo: = κ e = κβ e substituido a equação para a dr f.e.m. acima: = κ e κβ e difereciado κβ κβ = e e ; de ode obtemos: β =.

4 Assim: = =. t κ β e κe Se a chave for fechada em t = t =, quado = =, etão da última equação temos: = κ κ = t t ( t) = e = (1 e ) Outra maeira de resolver (por itegração direta): d = d Da equação do circuito: = d = = d tegrado os dois lados: t 1 = d, di Agora, chamado para = i = = i = 1 di = d e como d para = i = di Etão: ( ) l i l = = i Portato: ( ) tl 1 1 = e / / t = 1 e t c.q.d.

5 Observe que para t = = para t = = /, 63 / τ t Defiimos τ = ostate de tempo Tempo ecessário para que a correte atija ~63% do seu valor fial. Em t ~ 5τ, por exemplo, ~,993 fial. o Exemplo: ircuito subitamete coectado a uma tesão costate. Equação diferecial do circuito: Pfote = Presistor Pidutor Pcapacitor d 1 d 1 Q =, ode dq = Q = = d 1. Derivado o tempo, temos d d 1 =. - (cte) Supodo ovamete embrado que apêdice**): = κ e, obtemos (ver apêdice*) t i t i t ω ω ( ) = Ae Be e, ode iθ e cosθ i se ω = 1 4. = θ e pegado a parte real da expressão acima, temos (ver t ( ω ) = De se t ; sedo D uma costate a ser determiada segudo codições iiciais do problema. Na verdade, seriam duas costates, sedo que a seguda seria a costate de fase, de se ω t δ forma que deveríamos escrever ( )

6 O gráfico correspodete, da correte em fução do tempo é: (t) Parte Expoecial t Parte oscilatória (*) Apêdice Equação do circuito : d = κβe d d = ; sedo que d = κβ e Etão: Mas: = κβ e κβ e κ e 1 ± 1 = β β β = = β β ( 1) = 4 = 1 i 4 (supodo-se 1 < ) β1 = i ω 1 1 = κβ e e Portato: β = ± i ; etão: 4 β = iω ( = ω = κβ e e ) Solução Geral: ombiação liear das duas soluções: t ' iωt ' iωt = A k e B k e e = A = B t i t i t 1 = Ae Be e, ode ω = 4 ω ω Fialmete: ( ) t iωt t iωt

7 (**) Usado iθ e cosθ i se iωt iωt = θ ( Ae Be ) = A(cosωt i si ωt) A = a ia B(cosωt i si ωt) ; sedo A e B costates complexas: B = b ib iωt iωt Portato: ( Ae Be ) 1 1 = ( a 1 i a ) cosωt i ( a 1 i a ) seω t 1 1 ( b i b )cos ω t i ( b ib ) seω t = ( a1 b )cos ω t ( a b ) seω t i (... ) Mas: a 1 b 1 Parte magiária a H b a b δ b 1 a 1 iωt iωt Fialmete: ( Ae Be ) cosδ a b H 1 1 = e siδ = = [ ] a b H H cosδ cosω t siδ siω t = H cos( ω t δ )

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