B e sabendo que.( ) = 0 B = A (A é o vector potencial magnético) ( A) A t

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Ilda Caldeira Almeida
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1 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 1 o Funções potenciais A divergência de um campo magnético é zero. 0 podemos escrever: B e sabendo que.( ) 0 B A (A é o vector potencial magnético) ( A) B Sabendo que ( grad ) 0 ou A 0 + A (Identidade II) V, a quantidade pode ser expressa como um gradiente. Para ser consistente com a definição de potencial eléctrico V escrevemos: + A gradv A A grad V no caso estático 0 e gradv. O campo eléctrico pode ser visto como sendo composto por duas partes: a primeira parte gradv é devido à distribuição de cargas r e a segunda parte A/ t é devida à variação de corrente J. V 1 ρ dv V 4π R e µ J A dv V 4π R

2 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - o Funções potenciais H J + B A gradv D A µ J + µ gradv V A ou grad(. A) A µ J gradµ µ A A A µ µ J + grad. A + µ V V A partir de. A + µ 0 (condição de Lorentz para potenciais) obtemos: A A µ µ J quação de onda não homogénea para o vector potencial A

3 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 3 o Funções potenciais É uma equação de onda porque as suas soluções representam ondas a viajar à velocidade µ 1. ρ δ + + t A V t A V D D grad. - grad. para e constante ( ) ρ + A t V. Utilizando a condição de Lorentz para potenciais 0. + t V A µ obtemos: ρ µ t V V quação de onda não homogénea para o potencial escalar V

4 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 4 o Condições fronteira De modo a ser possível resolver problemas que envolvam regiões com diferentes parâmetros constitutivos é necessário conhecer as condições fronteira que os vectores, D, B e H deverão satisfazer nas interfaces. Utilizando as equações de Maxwell e os mesmos métodos utilizados para os campos estáticos: o t t 1 A componente tangencial do campo eléctrico é contínua através da interface. ˆ A componente tangencial do campo magnético H é descontínua através n da interface onde existe uma densidade de corrente superficial J S. o a ( H 1 H ) J S aˆ D D. ρ A componente normal do campo densidade de campo eléctrico D é descontínua através da interface onde existe uma densidade de carga superficial. o ( 1 ) n S o B n B n 1 A componente normal do campo densidade de fluxo magnético B através da interface é contínua.

5 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 5 o Condições fronteira Interface entre dois meios lineares sem perdas Um meio linear sem perdas pode ser especificado por e, m e s0. Como não existem cargas livres e correntes superficiais r S 0 e J S 0. Condições fronteira 1 t t D D 1t t 1 H 1 t H t B B 1t t µ µ 1 1 1n n 1 D n D n B1 n B µ H 1n µ H n n 1

6 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 6 o Condições fronteira Interface entre um dieléctrico e um condutor perfeito Um condutor perfeito tem condutividade infinita. De modo a simplificar-se a solução, vamos considerar que os bons condutores são condutores perfeitos. No interior de um condutor perfeito, o campo eléctrico é zero (de outro modo, iria produzir uma densidade de corrente infinita) e qualquer cargas do condutor terão que residir na superfície. A dependência entre (, D) e (B, H), através das equações de Maxwell, implica que B e H também sejam zero no interior do condutor numa situação de variação temporal. Uma corrente eléctrica estável num condutor produz um campo magnético que não afecta o campo eléctrico, e D dentro de um condutor são zero mas B e H poderão não ser. Condições fronteira 1 t 0 t 0 a ˆ H t 0 H 1 J S n D1 n D n D n 0 B 1 n 0 B n 0

7 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 7 o Fasores As funções sinusoidais têm características únicas. São fáceis de gerar e os sinais podem ser expandidos numa série de componentes sinusoidais através da sua expansão em série ou transformada de Fourier. Como as equações de Maxwell são equações lineares, as variações sinusoidais de uma fonte com uma dada frequência irão produzir variações de e H com a mesma frequência. Para fontes com uma dependência temporal arbitrária, os campos electromagnéticos gerados podem ser determinados através da sua decomposição em análise de Fourier. A aplicação do princípio da sobreposição irá fornecer o campo electromagnético resultante. Para campos temporais harmónicos é conveniente o uso da notação de fasores. O valor instantâneo de uma quantidade sinusoidal, como a corrente i, pode ser escrita como uma função cosseno ou seno. Se escolhermos a função cosseno como referência, o que normalmente acontece, então todos os resultados irão ter como referência a função cosseno.

8 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 8 o Fasores A especificação de uma quantidade sinusoidal requer o conhecimento de 3 parâmetros: amplitude, frequência e fase, por exemplo: i ( t) I cos( ω t + φ) o I amplitude, w frequência angular (rad/s), wpf, f frequência (Hz), f fase em relação à função cosseno. Podemos rescrever a função como: onde f f+p/. i ( t) I sin( ω t + φ) Um número complexo pode ser escrito na forma de uma exponencial: θ e j cosθ + j sinθ

9 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 9 o Fasores É possível então escrever i(t) como: i ( t) Genericamente iremos escrever: Derivada e o integral de i(t): I cos j ( ωt + φ ) ( ωt + φ ) IRe{ e } j ( ωt + φ ) jφ ( t) Ie Ie i d dt i j ( ωt + φ ) ( t) jωie jωi( t ) j ( ωt + φ ) Ie i( t) dt jω i( t) jω Para extrairmos o resultado final basta extrairmos a parte real do resultado e ficamos assim com uma função cosseno. Genericamente iremos ter: jωt ( x, y, z, t) Re{ ( x, y, z) e }

10 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 10 o Campos harmónicos Vamos considerar que temos ondas com variação sinusoidal, para a simplificação dos cálculos vamos utilizar fasores. jωµ H H J + ρ. D. H 0 jω quações de Maxwell para um meio linear, isotrópico e homogéneo. As equações de onda são agora: A + K A µ J e V + K V ρ onde K ω µ é chamado de número de onda. A condição de Lorentz é agora:. A + jωµv 0

11 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 11 o Campos harmónicos Campos em meios simples jωµ H H. D 0. H 0 jω quações de Maxwell para um meio sem cargas. quações de onda transformam-se em equações homogéneas: H + K H 0 e + K 0 Se o meio for condutor s 0 e flui uma corrente J σ H σ ( σ + jω ) jω + jω C jω σ permitividade complexa ω com j ( F m) C / As restantes equações de Maxwell não se alteram.

12 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 1 o Campos harmónicos Campos em meios simples Se aplicarmos um campo eléctrico externo a um material, este irá produzir um alinhamento (polarização) das moléculas do material. Se o campo eléctrico for variável no tempo, a polarização irá variar com a mesma frequência do campo aplicado. À medida que a frequência aumenta, a inércia das partículas carregadas irá fazer com que o movimento das partículas não esteja em fase com o campo aplicado. ste fenómeno provoca perdas devido ao efeito do campo provocado pelas partículas. Se também existirem cargas livres irão também existir perdas óhmicas. ste fenómeno pode ser caracterizado por uma permitividade complexa. É normal incluir os efeitos das perdas na parte complexa da permitividade: onde e e e são funções da frequência. C j ' '' ( F m)

13 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 13 o Campos harmónicos Campos em meios simples Podemos definir uma condutividade equivalente que represente as perdas no meio: σ ω As equações de onda têm que ser alteradas de modo a incluírem um número de onda complexo: K C ω µ C ω '' µ ( ) ' j '' A razão e /e é chamada de tangente de perdas porque é uma medida da perda de potência no meio. tanδ C '' ' σ ω Um meio é bom condutor se s>>we e um bom isolador se we>>s. Um material pode ser um bom condutor em baixas frequências mas pode ter propriedades de um dieléctrico com perdas em alta frequência.

14 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 14 o Campos harmónicos Campos em meios simples A terra húmida tem aproximadamente uma constante dieléctrica e r 10 e uma condutividade s10-3 S/m. A tangente de perdas s/we é igual a 1, a 1 KHz, o que a torna um bom condutor. A 10 GHz s/we tem um valor de 1, e a terra húmida comporta-se mais como um isolador. Um campo eléctrico sinusoidal de amplitude 50 V/m e frequência 1 GHz é aplicado num dieléctrico com perdas e permitividade e r igual a,5 e uma tangente de perdas de 0,001. Calcular a potência média dissipada no meio por metro cúbico. σ tan δ 0,001 C ω 9 4 e σ 0,001( π10 ),5 1,39 10 ( S m) 0 r π , p J σ ( W m )

15 Campos variáveis no tempo e equações de Maxwell - 15 o O espectro electromagnético Velha Nova Gama de frequências (GHz) Ka K K K K J 18-0 Ku J X J X I 8-10 C H 6-8 C G 4-6 S F 3-4 S -3 L D 1 - UHF C Designação das bandas para a zona das microondas

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