Capítulo 12. Potência em Regime Permanente C.A.

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1 Capítulo Potência em Regime Permanente C.A.

2 . Potência Média Em circuitos lineares cujas entradas são funções periódicas no tempo, as tensões e correntes em regime permanente produzidas são periódicas. Potência instantânea: p vi onde v e i possuem período T. Assim, p ( t + T ) v( t + T ) i( t + T ) v( t ) i( t ) p( t ) Potência instantânea é também periódica com período T.

3 Período fundamental T de p é o mínimo tempo no qual esta potência se repete. T não é necessariamente igual a T mas deve ser seu divisor, isto é, para um dado n positivo: T nt Exemplo: Resistor R percorrido por uma corrente i I m cos(ωt) de período T π/ω. Então, p Note que T π/ω T T. Ri RI RI m m cos ( ωt) [ + cos( ωt )] Relação trigonométrica usada: cos ( α) [ + cos( α) ]

4 i(t), p(t) T T p(t) t i(t)

5 Se a corrente agora é i I m [ + cos(ωt)] de período T π/ω. Então, p Note que T π/ω T T. i(t), p(t) p(t) Ri RI [ + cos( ωt) ] m T T i(t) t

6 Potência média para uma potência instantânea periódica p é dada por: onde t é arbitrário. P T t + T t p dt Potência instantânea periódica p: p(t) Assim, podemos escrever: t t + T t P t + mt t mt p dt

7 Se m é selecionado de tal forma que T mt (período de v ou i), então P T t + T t Portanto, a potência média pode ser obtida por integração no período de v ou i. Integrais para funções senoidais e seus produtos: p dt f(t) π ω f 0 sen(ωt + α), cos(ωt + α) 0 sen(nωt + α), cos(nωt + α) 0 ( t) dt, ω 0 sen (ωt + α), cos (ωt + α) π/ω sen(mωt + α) cos(nωt + α) 0 cos(mωt + α) cos(nωt + β) 0, m n πcos (α - β)/ω, m n

8 Considere o seguinte bipolo genérico em regime permanente: I + V Bipolo Impedância de entrada do dispositivo, no domínio da freqüência: Z Z θ Se v Vm cos t ( ω + φ) Então temos: i Im cos t ( ω + φ θ ) onde I V m m Z A potência média entregue ao dispositivo, tomando t 0 é P t T t + T ωv I π ω p dt m m π cos 0 ( ωt + φ ) cos( ωt + φ θ ) dt

9 Mas, da tabela temos que: 0 π ω cos( mωt + α ) cos( nωt + β ) dt 0 π cos β ω Fazendo m n, α φ e β φ θ, obtemos: ( α ) para m n para m n ωvmim π V P cos π ω I ( θ ) m m cos( θ ) ou seja, a potência absorvida pelo bipolo é determinada pelas amplitudes V m e I m e pelo ângulo θ pelo qual a tensão v antecede a corrente i.

10 Em termos de fasores: V V φ V φ m então ( φ θ ) ( φ θ ) I I I P m V I cos ( ang V angi) onde ang V φ e ang I φ θ. Se o bipolo é um resistor, então θ 0 e V m RI m, assim: P R RI m Note que se i I dc (corrente constante), então ω φ θ 0 e I m I dc, então, P R RI dc

11 Se o bipolo é um indutor, então θ 90º. Se o bipolo é um capacitor, então θ 90º. Assim, para ambos temos: P V m I m cos ( ± 90 ) 0 ou seja, a potência média dissipada em um indutor ideal ou em um capacitor ideal é zero. ( ) Forma alternativa de P V mi m cos θ muito útil, pode ser obtida lembrando: Z { Z} + j Im{ Z} θ Re Z e, portanto, ( θ ) cos Re Z { Z} Im {Z} Z θ como V m Z I m, podemos re-escrever P como: Re{Z}

12 { Z} VmIm Z I Re cos( ) mi P θ m Z Se o dispositivo é uma carga passiva, então a energia entregue a esta carga é não negativa, logo: Re { Z( jω) } 0 π π ou de modo equivalente, θ Se θ 0, o dispositivo é equivalente a um resistor. Se θ π/, o dispositivo é equivalente a uma indutância. I m Re { Z} Se θ π/, o dispositivo é equivalente a uma capacitância. Para π/ < θ < 0, o dispositivo é equivalente a um circuito RC. Para 0 < θ < π/, o dispositivo é equivalente a um circuito RL. Para θ > π/, então P < 0, o dispositivo atua como uma fonte (ativo).

13 Exemplo: Cálculo da potência entregue pela fonte. i 00 Ω v g 00cos(00t) [V] + H Impedância sobre a fonte: Corrente máxima: Potência entregue a Z: I V m m Z Z 00 + j A 45 Ω 00 P V m I m cosθ cos45 5 Ou de outro modo: P I m Re Z 00 5 W { } W

14 Potência dissipada pelo resistor R 00 Ω: P R m RI 00 5 W Portanto, o indutor não dissipa potência. A potência consumida pela fonte é: PR V mim cosθ 5 W Sinal negativo: corrente sai pelo terminal positivo da fonte. Ou seja, fonte entrega 5 W para Z.

15 . Superposição e Potência Circuitos com mais de uma fonte: i R v g + + v g Por superposição, temos i i + i, onde i e i são as correntes em R devido a v g e v g, respectivamente. Potência instantânea: p R ( i + i ) Ri + Rii + Ri p + p + Rii Assim, a superposição não pode ser aplicada diretamente para potência instantânea.

16 No caso de p ser periódica com período T, a potência média é: P T T 0 pdt T T 0 ( p + p + Ri i ) dt P + P + R T T ii 0 dt onde P e P são as potências médias de v g e v g, respectivamente, atuando isoladamente. A superposição para a potência média só se aplica se: T i idt 0 0 o que faz com que: P P + P

17 Caso importante: i ( ω + ) Im cos t φ Assumindo que i i + i é periódica com período T, temos: I Para que a igualdade da equação seja válida devemos ter que: m e n inteiros positivos. ( ω + ) i Im cos t φ [ ( t T ) + φ ] + I cos ω ( t + T ) [ + φ ] I cos( ω t + φ ) + I ( ω φ ) m cos m m m cos ω + t + ω T π m ω T π n Portanto, se ω é um número tal que T π/ω, então ω mω e ω nω.

18 Então, T ii 0 dt ImI m I 0 m I m cos ω ω cos ( φ φ ) ( mωt + φ ) cos( nωt + φ ) m n m n Se m n ω ω a superposição não pode ser aplicada. Se m n a superposição pode ser aplicada. π 0 dt Generalização para o caso de senóide periódica com qualquer número de componentes senoidais de diferentes freqüências: A potência média devida à soma das componentes é a soma das potências médias devida a cada componente atuando isoladamente.

19 Pode ser mostrado que a superposição da potência média é mantida para senóides cujas freqüências não são múltiplos inteiros de uma freqüência ω: Generalização da definição de potência média: P τ lim τ τ pdt 0 que pode ser aplicada também para o caso i i + i, onde i cost i cosπt Neste caso i não é periódica, pois ω /ω /π não é um número racional, mas τ lim i idt τ τ 0 0

20 Exemplo: i 00 Ω 00 cos(377t + 60º) [V] cos(377t) [V] ω ω não se pode usar a superposição para a potência. Superposição para calcular a corrente: I 60 I 0,5 [ A] [ A] I I I + j 0,866 [ A] I m 0,866 [ A] P RIm 00 ( 0,866) 37,5 [ W]

21 Exemplo: i 00 Ω 00 cos(377t + 60º) [V] [V] ω 377 rad/s e ω 0 rad/s pode-se usar a superposição para a potência. [ A] para ω 377 I 60 [ A] para ω 0 I 0,5 P m RI 00 P RIm 00 ( ) 50 [ W] ( 0,5) 5 [ W] P P P + 75 [ W]

22 Estendendo o procedimento do exemplo anterior para uma corrente periódica que é a soma de N + senóides de diferentes freqüências, i dc ( ω t + φ ) + I cos( ω t + φ ) I ( ω t + φ ) I + I cos m cos m mn N N Encontra-se a potência média entregue ao resistor R: ( ) I + I +... I R P RI dc + m m + mn Assim, temos a superposição das potências: P P + P + P dc P N

23 .3 Valores Eficazes Método de comparação da potência entregue por diferentes formas de onda. Valor de uma tensão ou corrente periódica é sempre uma constante igual à tensão ou corrente c.c., respectivamente, que iria entregar a mesma potência média para uma resistência R. Se I é o valor de i, podemos escrever: P RI De onde se tira a corrente : T T 0 Ri dt I T T i dt 0

24 De modo similar, a tensão é: V T T v dt 0 Termo é a tradução da abreviatura de root-mean-square (rms). Valor rms raiz quadrada da média do valor ao quadrado da corrente (tensão). ( ) Considerando uma corrente senoidal i Im cos ω t + φ, a corrente é I ω π ω π 0 I m [ I cos( ωt + φ) ] m dt Assim, uma corrente senoidal de amplitude I m entrega a mesma potência média a uma resistência R, que uma corrente c.c. de valor igual a. I m

25 De modo similar, para uma tensão senoidal com amplitude V m, a tensão é: V ω π ω π 0 V m [ V cos( ωt + φ) ] m dt Note que tanto a corrente como a tensão são independentes da freqüência ω e da fase φ. Assim, a potência média para um bipolo é dada por: ou P V I cosθ P I Re{ Z}

26 Exemplo: Valores es são empregados normalmente nas geração e distribuição de potência. Uma rede com valor de tensão nominal de 7 V, é um valor. A potência que é fornecida em 60 Hz às residências vem através de uma tensão que tem o valor máximo igual a 7 80 V. Valores máximos são geralmente empregados em eletrônica e telecomunicações.

27 Valor da corrente composta de senóides com diferentes freqüências: Potência média: Portanto, o valor da corrente senoidal composta de diferentes freqüências é De forma análoga, ( ω t + φ ) + I cos( ω t + φ ) I ( ω t + φ ) i Idc + Im cos m mn cos ( ) I + I + I + I P R dc... + N dc I I + I + I IN N N dc V V + V + V VN

28 .4 Fator de Potência Potência média entregue a uma carga em regime permanente c.a. é: P V I cosθ O produto V I é denominado de potência aparente. Unidade da potência aparente voltamperes (VA) ou kilovoltamperes (kva). Potência média potência aparente Fator de potência f p no caso senoidal: f p V P I cosθ

29 Cargas puramente resistivas tensão e corrente em fase θ 0 f p potência média potência aparente. Cargas indutivas e capacitivas onde as reatâncias se cancelam tensão e corrente em fase θ 0 f p potência média potência aparente. Carga puramente reativa tensão e corrente a 90º θ ±90º f p 0 potência média 0. Carga onde 90º < θ < 0 é equivalente a um circuito RC. Carga onde 0 < θ < 90º é equivalente a um circuito RL. Como cos θ cos θ, então f p é o mesmo para um circuito RC ou RL com mesmo θ. Para diferenciar: f p é caracterizado como adiantado ou atrasado pela fase da corrente com relação à da tensão (referência).

30 Exemplo: Freqüência 60 Hz 00 Ω v g + 0, H Z 00 + j37,7 06,9 0,66 Ω Fator de potência: f p cos 0,66 0,936 atrasado

31 Exemplo: O fator de potência afeta grandemente a conta de eletricidade. Suponha que um moinho consome 00kW de uma linha de 0 V es, com f p 0,85 atrasado. Corrente do moinho: I V P f p ,8 0 0,85 [ A] Potência aparente fornecida: V I 0 534,8 7,66 [ kva] Suponha que f p é aumentado para 0,95 atrasado, então: P 0 5 I 478,5 V f p 0 0,95 Assim, a potência aparente é reduzida para: V I 0 478,5 05,3 [ A] [ kva]

32 Note que I foi reduzida de 56,3 A. Portanto, a usina precisa gerar uma corrente maior para f p menor. Como as linhas de transmissão têm resistência, a usina precisa produzir uma potência média maior para fornecer os 00 kw à carga. Se a resistência for 0, Ω, então a potência gerada pela fonte deve ser: Portanto, g 5 0 0,I P + P g 8,6,9 kw kw f f p p 0,85 0,95 A usina deve produzir 5,7 kw a mais de potência para fornecer a carga de f p mais baixo.

33 Método de correção do fator de potência de uma carga: Pode-se alterar o fator de potência conectando uma impedância Z em paralelo com a carga Z R + jx. I I Z T Z Z R + jx Note que apenas a corrente I fornecida pelo gerador muda. Associação das impedâncias: Z T ZZ Z + Z

34 Selecionamos Z tal que: Z absorva potência média 0; Z T tenha o fator de potência desejado f p FP. A primeira condição requer que Z seja puramente reativa: A segunda condição requer que: Z jx cos tan Im Re { Z } { Z } T T FP Substituindo Z T em termos de R, X e X, obtemos: X R R tan cos + X [ ( )] FP X [ ( )] FP tan cos > 0 < 0 se FP é atrasado se FP é adiantado

35 Exemplo: Fator de potência alterado para 0,95 atrasado no circuito: i 00 Ω v g 00cos(00t) [V] + H Z 00 + j Ω Fator de potência: f p cos θ cos45 0,707 atrasado Desejamos fator de potência de 0,95, então tan(cos - FP) é positiva: X R R tan cos + X [ ( )] [ ] FP X 00tan cos 0, ,9 Ω

36 Como X < 0, a reatância é uma capacitância C -/ωx 33,6 µf. Impedância de carga torna-se: Z T Potência para a carga corrigida: que é a mesma entregue a Z. ( 00 + j00)( j97,9) ( 00 + j00) + ( j97,9) ZZ 90,0 8, Z + Z 00 P cos 90,0 ( ) ( 8, ) 5 W Corrente atual: I ,37 A Corrente sem correção do fator de carga: corrente reduzida de 0,8 A (5,6%) I I m 0,5 A

37 .5 Potência Complexa Potência complexa em regime permanente c.a. Útil para determinação e a correção de fatores de potência associados a cargas interconectadas. v m cos ( ) ( ) Representações fasoriais para V ω t + φ e i Im cos ωt + φ θ : V V m exp( jφ) Fasores es: V I I m exp j V [ ( φ θ )] V exp ( jφ ) I I I exp j [ ( φ θ )]

38 Potência média: P V I Euler { V I exp( )} cos θ Re jθ mas V I * V I exp ( jθ ) onde I* é o complexo conjugado de I. Logo, P Re { * } V I V I* potência complexa cuja parte real é a potência média: S * V I P + jq onde Q é a potência reativa (unidade: V-A reativo var). Módulo da potência complexa potência aparente: * * S VI V I V I

39 Assim, Q { S} V I θ Im sen Para uma impedância Z, temos que senθ Im{Z}/ Z, logo ou, de forma análoga: { Z} Im V Q V I I Im Z Z Im Im Q V Z { Z} V { Z} I Im{ Z} Componente em fase de I Produz a potência ativa P I cosθ θ I senθ I Re Componente em quadratura de I Produz a potência reativa Q

40 Potência complexa em termos de um diagrama: Carga indutiva (f p atrasado) 0 < θ 90º, Q > 0: Im S θ Q Re Carga capacitiva (f p adiantado) 90º θ < 0, Q < 0: P θ tan Q P Im S P θ Q Re Carga com f p requer Q 0, pois θ 0.

41 Potência complexa associada a uma carga composta de duas impedâncias: I + I, I, V Z Z S ( I + ) I V I V,, S V I, + VI, A potência complexa entregue pela fonte às cargas interconectadas é igual a soma das potências entregues a cada carga individual. Princípio da conservação de potência!

42 A conservação de potência complexa pode ser usada para corrigir o fator de potência. Exemplo: I I Z T Z Z R + jx Potência complexa entregue à carga original Z: S P + jq Conectando uma reatância pura Z em paralelo com Z resulta: S jq Pela conservação de potência complexa, para a carga resultante, temos: S ( Q ) T S + S P + j + Q A potência média P entregue a carga não se altera com o acréscimo de Z.

43 Exemplo: Mudar o fator de potência para FP 0,95 (atrasado). i 00 Ω v g 00cos(00t) [V] + H V 70,7 [ V] Z 00 + j Ω V I 0,3535( j) [ A] Z Potência complexa para a carga não corrigida: S V I P + jq 5 + j5 Temos que Q T Q + Q, então θ tan Q T P

44 Portanto, FP cosθ Q cos tan T P e QT P tan cos [ ( FP )] O valor de Q é: 5tan cos 5tan 8, [ ( )] 0,95 ( 8, ) [ vars] Q QT Q 8, 5 6,78 [ vars] ( ) Im Z Como Q V e Z temos: jx Z Q V X

45 Resolvendo para X obtemos: X V Q ( 70,7) 6,78 97,9 Ω Que representa uma capacitância C /(ωx ) 33,6 µf. i 00 Ω v g 00cos(00t) [V] + 33,6 µf H

46 Exemplo: Z representa uma carga de 0 kw com f p 0,9 (atrasado) e Z representa uma carga de 5 kw com f p 0,95 (adiantado): I + I, I, V Z Z Para Z, temos: S P + jq onde P 04 - [ W] θ cos f p 5, 84 Q P tan θ ( ) 4843 [ vars]

47 Para Z, temos: onde 3 P 5 0 [ W] - θ cos f p 8, S P + jq Q P tan θ ( ) 643 [ vars] A potência complexa total é: ST S + S 4,5 0 + ( 4 ) ( 3 ) 0 + j j643 j300 Portanto, para as cargas associadas: tan, 04 4,5 0 θ f cos θ cos(,04 ) 0,978 ( atrasado) p

48 .5 Medição de Potência Dispositivo que mede a potência média que é entregue a uma carga wattímetro. Wattímetro: possui uma bobina rotativa de alta resistência de tensão conectada em paralelo com a carga e uma bobina fixa de baixa resistência de corrente, que é conectada em série com a carga. Conexão típica: I Bobina de corrente Bobina de tensão ± ± + V Carga

49 Tensão na bobina de corrente 0 Corrente na bobina de tensão 0 Um terminal de cada bobina é marcado com o símbolo ± tal que, se a corrente entra no terminal ± da bobina de corrente e o terminal ± da bobina de tensão é positivo com relação ao outro terminal, então o medidor dá uma medida positiva. Na figura anterior, isto corresponde a carga absorvendo potência. Se a conexão dos terminais ou da bobina de corrente ou da bobina de tensão (mas não ambas) for invertida a leitura será negativa.

50 O wattímetro abaixo está conectado para indicar: P V I cosθ I Bobina de corrente Bobina de tensão ± ± + V Carga Um medidor de potência aparente ou VA simplesmente mede o produto da tensão pela corrente. O varímetro mede a potência reativa.