BC 1519 Circuitos Elétricos e Fotônica

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1 BC 1519 Circuitos Elétricos e Fotônica Circuitos em Corrente Alternada

2 Circuitos em Corrente Alternada (CA) Cálculos de tensão e corrente em regime permanente senoidal (RPS) Conceitos de fasor e valor eficaz Conceito de Impedância

3 Tensão senoidal v( t) Vmsen( ω t)[v] V m valor de pico (valor máximo em relação ao zero; ω velocidade angular ( α/ t πf ) T período (intervalo de tempo entre repetições sucessivas f frequência (1/ T ) 3

4 Geração de tensão senoidal espira Anéis deslizantes v(t) V m rotor externo escovas circuito externo 4

5 Geração de tensão senoidal B φ Nφ N φ B A N B S cos( ω t) v(t) ω α ω t f v( t). e. m. d v( t) dφ dt [ N B S cos( ω t) ] dt v( t) N B S ω sen( ω t) B v( t) Vm sen( ω t) [V] 5

6 Tensão e Corrente em RPS BC Circuitos Elétricos e Fotônica 6

7 Tensão senoidal e defasagem Se a forma de onda for deslocada para a esquerda ou para a direita, a expressão geral passa a ser: v( t) V sen( ω t ± θ )[V] m v(t) θ Positivo adiantada (deslocamento para a esquerda) θ Negativo atrasada (deslocamento para a direita) Diferença de fase entre duas ondas: defasagem 7

8 Valor eficaz (ou valor rms*) Definição: O valor eficaz (V ef ), ou valor rms (V rms ), de uma tensão (ou corrente) variável no tempo é igual ao valor constante de tensão (ou corrente) que, aplicada num resistor, resulta na mesma potência dissipada no resistor que aquela resultante da tensão variável, no mesmo intervalo de tempo. (*Obs.: Do inglês root mean square) 8

9 Valor eficaz - sinal senoidal i(t) (vazão de entrada) v(t) + água x [ C] R (vazão de saída) p( t) v( t) i( t) V máx Vmáx sen( ω t) sen( ω t) R V R máx sen ( ω t) P T T 1 Vmáx Vmáx p( t) dt sen ( ω t) dt eq.(i) T R R média 0 0 9

10 Valor eficaz I (vazão de entrada) E + água x [ C] R (vazão de saída) E Pmédia EI E R E R eq.(ii) 10

11 Valor eficaz sinal senoidal Igualando-se as equações (I) e (II): máx V R E R V máx E 1,414E [V] Ex: A tensão da rede 110 V ef / 60 Hz. v( t) Vmáxsen( ω t) V ef sen(π f t) 110 sen(π 60 t) 155,56 sen(377t)[v] 11

12 Valor eficaz sinal senoidal 110 V ef /60 Hz v( t) 155,56sen(377t )[V] 110 V 155, V -155,56 T ωt T 1 16,67 ms f 1

13 Valor eficaz sinal senoidal AC + DC As ondas senoidais podem ser 'misturadas' com sinais C.C. ou com outros sinais senoidais e, com isso, produzir novas formas de ondas. ef DC ACef V V V

14 Valor eficaz de sinal qualquer V ef R T T 0 [ v( t) ] R dt T 1 rms [ ( )] V V v t dt ef T 0 14

15 Como se calcula a soma algébrica de duas ou mais tensões (ou correntes) senoidais? 15

16 Números Complexos Representado por um ponto (forma retangular) ou um raio vetor (polar) a partir da origem. Eixo horizontal é o real, enquanto o vertical é o imaginário. Im b a + jb forma retangular θ Re a (plano de Argand-Gauss) θ forma polar j unidade imaginária ( ) j 1 16

17 Números Complexos conversão retangular-polar Im b a + θ arctg b b a θ a Re conversão polar-retangular a cos(θ ) b sen( θ ) 17

18 Soma e Subtração Forma Retangular ou Cartesiana z 1 a 1 + j b 1 z a + j b z 1 ± z ( a 1 ± a ) + j ( b 1 ± b ) j y z 1 + z z 1 z x Multiplicação e Divisão Forma retangular ou Forma Polar ( a. a b. b ) + j( b. a a ). + b ( ). θ + θ a1. a b1. b a. b1 a1. + j a + b a + b b ( ) θ θ 18

19 Conceito de Fasor Fasor: Contém informações sobre a amplitude e defasagem de uma função co-senoidal a frequência é conhecida previamente. 19

20 Números Complexos Uma função cossenoidal pode ser escrita na forma complexa utilizando fórmulas de Euler. Identidade de Euler: relaciona a função exponencial com a função trigonométrica ± θ e j cos( θ ) ± jsen( θ ) Operador Parte Real, Re{ } { ± j } cos( θ ) Re e θ Operador Parte Imaginária, Im{ } { ± j } ± sen( θ ) Im e θ 0

21 Números Complexos especiais e j φ 1 e ± j π/ 1 ± π/ ± j 1 e ± j π 1 ± π 1 Im j e j90 sen(φ) e jφ j 1 j -1 e -j180 e 1 j180 Φ 1 e j0 cos(φ) Re -j e -j90 1

22 Representação Fasorial expressão temporal i( t) Re. { ˆ j t I e ω }. ^ ^ expressão fasorial

23 Impedância () -Razão entre o fasor de tensão e o fasor de corrente de um elemento do circuito; - Unidade: ohm; Vˆ. Iˆ 3

24 Impedância: Resistor e s (t) + i(t) R (ideal) v(t) v( t) V cos( ω t + φ) V ˆ V φ [V] máx [V] máx i( t) v( t) R V máx i( t) cos( ω t + φ) [A] R ˆ ˆ ˆ Vmáx Vmáx φ V V I φ R R R R 4

25 Tensão vs. Corrente no Resistor V máx I máx 0 v(t) i(t) R R 0 [ Ω] forma polar -I máx -V máx ϕ o 0 o 180 o 360 o 540 o R R [Ω] forma retangular 5

26 Impedância: Indutor e s (t) + i(t) L (ideal) v(t) v( t) Vmáx cos( ω t + φ) [V] V ˆ V φ [V] v( t) L di( t) dt máx 1 i ( t) v( t) dt L Vmáx i( t) cos( ω t + φ) dt L 6

27 Impedância Indutiva, L v( t) V cos( ω t + φ) máx [V] Vmáx V i( t) cos( ω t + φ) dt máx sen( ω t + φ) L ωl V máx i( t) cos( ω t + φ 90 ) ωl [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V o j90 V V V I. e.( j) ωl ωl jωl L 7

28 Reatância Indutiva X L Reatância: parte imaginária da indutância e s (t) + i(t) L (ideal) v(t) v( t) Vmáx cos( ω t + φ) [V] V ˆ V φ [V] X ˆI L Vˆ Vˆ Vˆ V jωl jx X max φ L L L máx 90 o ωl X L reatância indutiva [Ω] 8

29 Tensão vs. Corrente no Indutor V máx v(t) L X L 90 [ Ω] I máx i(t) forma polar 0 L jx L [Ω] -I máx -V máx ϕ o 0 o 180 o 360 o 540 o forma retangular X L ωl X L reatância indutiva [Ω] 9

30 Impedância: Capacitor e s (t) + i(t) C (ideal) v(t) v( t) Vmáx cos( ω t + φ) [V] V ˆ V φ [V] dv ( t) i( t) C dt d [ V cos( )] máx ω t + φ i( t) C ωcvmáxsen( ω t + φ) dt máx 30

31 Impedância Capacitiva, C v( t) V cos( ω t + φ) máx [V] Vmáx o i( t) ωcvmáxsen( ω t + φ) cos( ωt + φ + 90 ) 1 ωc ˆ ˆ o ω. j90 ω ˆ I CV e j CV Vˆ C 31

32 Reatância Capacitiva, X C e s (t) + i(t) C (ideal) v(t) v( t) V cos( ω t + φ) V ˆ V φ [V] X C máx [V] 1 ωc Vˆ 1 Vˆ V V 1 jx X jωc máx ˆ ˆ max o I + 90 C C C X C reatância capacitiva [Ω] φ 3

33 Tensão vs. Corrente no Capacitor V máx C X C 90 [ Ω] I máx i(t) v(t) forma polar 0 C jx C [Ω] -I máx -V máx forma retangular ϕ 90 1 X C ωc -180 o 0 o 180 o 360 o 540 o X C reatância capacitiva [Ω] 33

34 34 ). cos( ) ( ) ( θ ω + t R Vm R t v t i ). cos( ) ( π θ ω ω + + t Vm C t i ). cos(. 1 ) ( π θ ω ω + + t Vm L t i

35 35

36 jωl 36

37 Em uma rede linear e a parâmetros constantes, com todas as correntes e tensões senoidais e de mesma frequência (mantendo a mesma relação de fase), tem-se o regime permanente senoidal RPS. s( t) A.cos( wt + θ ) m Obs: A única diferença é o cálculo com números complexos, ao invés dos reais. 37

38 Exemplo 1 Dado o sinal s(t) 5sen (4πt-60º), pede-se: a) Coloque a expressão do sinal na forma padronizada em cosseno. b) Determine a amplitude, fase, frequência, frequência angular e período. c) Determine o fasor associado a este sinal. a) s(t)5cos(4πt-150º); b) ampl.5; fase-150º; fhz; ω4πrad/s; T0,5s; c) ˆ o S 38

39 Exemplo Sejam as correntes dadas por: o o t + e i 5cos(377t 40 ) [A,s] i1 4 sin(377 5 ) [A,s] Pede-se: a) Determine os fasores Iˆ 1 e Iˆ b) Esboce o diagrama de fasores das duas correntes. c) Qual é a defasagem entre i 1 e i? Qual corrente está adiantada? d) Quais os valores eficazes das correntes i 1 e i? e) Utilize a 1ª. Lei de Kirchhoff fasorial e determine a expressão da corrente i 3 (t) da figura. Resp.: ˆ I 1 A ˆ I A 155º; i 1 adiantada; I 1ef,83A; I ef 3,54A i t 0 3 ( ) 8,79cos(377 t 51 ) [A,s] Iˆ 1 i 1 (t) Iˆ i (t) i 3 (t) 39

40 Exemplo 3 Resolva as seguintes operações com números complexos: a) [(5 + j)( 1+ j4) 5 60 o ] b) c) 10 + j j4 o j e π o o Resp.: a) 0,7 138,6º; b) 8,6 14,9º; c) 5,1 101,3 o 40

41 [(5 + j)( 1+ º Q j4) 5 60 [ 5,4 1,8.4,1 76,5 j4,3] [ 5,4 1,8.4, ,5 [ 5,4 1,8.4,1 104,5 j4,3] [,1 15,8,5 j4,3] [ 13+ j17,9,5 j4,3] [ 15,5 + j13,6] o ] conversão retangular-polar j4,3] a + θ arctg b b a conversão polar-retangular a cos(θ ) 0,6 138,7 b sen( θ ) 41

42 10 + j j4 o j5 +,3 + j1,9 + 8, ,9 1,3+ j6,9 5 16,9 14,1 9,3 5 16,9 + 8,7 + j5 + 8,7 + j5,8 97,6 + 8,7 + j5 0,37 j,8 + 8,7 + j5 8,3 + j, 8,6 14, 9 o j5 o j 5 90 e 5 j 1 + 5,1 101, 3 j e π e jπ 4

43 Exemplo 4 Uma tensão v(t) 6cos(100t 30 o ) [V,s] é aplicada a um capacitor de 50 µf. Calcule a corrente i(t) através do capacitor. i t 0 ( ) 30cos(100t + 60 ) Resp.: [ma,s] 43

44 6 30 v(t) 6cos(100t 30 o ) [V,s] Iˆ Vˆ C jωc e j j. e 00. e 30 6 j 30 j90 3 j60. e e j e 00 [ A, s] i( t) 30cos(100t + 60 ) [A, s] 0 44

45 Exemplo 5 Utilize fasores para determinar a tensão v(t) e a corrente i(t) no circuito abaixo. v s 5cos( 10 t) v t 0 ( ),4cos(10t + 63,4 ) Resp.: [V,s] i t 0 ( ) 1,1cos(10 t 6,6 ) [A,s] 45

46 Iˆ Vˆ s R L jωl j 5 0 4,47 6,6 ( 10t 6,6 )[ A, ] 1,1 6,6 A i( t) 1,1 cos s Vˆ Vˆ L L.ˆ I j.1,1 6,6.1,1. e j 90. e j6,6,4. e j 63,43 V v( t),4 cos ( 10t + 63,43 )[ V, s] 46

47 Exemplo 6 Calcule as correntes no circuito em RPS abaixo e esboce o diagrama fasorial das correntes. I & + I & R I & L E & 0 53,1 V 3,33 Ω j,5 Ω Resp.: ˆ 6 53,1 0 0 I R A I ˆ 8 36,9 A ˆ I A L 47

48 , ,16. 8,33. 53,1 0 37,15 4,16 8,33 53,1 0,5 3,33,5 3,33. 53,1 0. ˆ ˆ ˆ j j L R L R e e j j j E E I A I 5 0, 10 ˆ 5,85 53,1 0 A E I R R 1 53, 6 3,33 53,1 0 ˆ ˆ A I e e j E I L j j L L 36,9 8 ˆ,5. 0.,5 53,1 0 ˆ ˆ 90 53,1

49 Exemplo 7 Calcule as correntes nos ramos e a corrente total no circuito em RPS abaixo, sendo: v( t) 169, 71sen(377 t) [V,s] i(t) i 3 ( t) 8 Ω v(t) + i ( t 1 ) 10 Ω i ( t ) 3 Ω 7,95 mh 10,61 mh 94,7 µf

50 ˆ ˆ V 169,71 90 I1 16,97 90 A i1 ( t) 16,97 cos s 10 R10Ω ( 377t 90 )[ A, ] Iˆ Vˆ 169, , , Ω + L10,61mH 3 + j , j4 5 53, 13 R3 ( 377t 143 )[ A, ] 33,94 143,13 A i( t) 33,94 cos s Iˆ 3 R8Ω Vˆ + L7,95mH + C , j.377.7, j377.94, , , ,97 53, 1 A 8 j , , j3 j9 ( 377t 53,1 )[ A, ] i 3( t) 16,97 cos s 50

51 I ˆ Iˆ + Iˆ + 1 Iˆ 3 Î 16, ,94 143, ,97 53, 1 Iˆ 0 j16,97 7,1 j0,8 + 10,19 j13,57 Iˆ 17,0 j50,8 Iˆ 3 0 Q 53,65 71,9 Iˆ 53,65 71, ,65 51, 9 ( 377t + 51,9 )[ A, ] i ( t) 53,65cos s 51

52 Exemplo 7 (continuação) i(t) i 1 (t) i (t) [A] i 3 (t) ωt [graus] 5

53 Exemplo 7 (continuação) v(t) [V] i(t) [A] ωt [graus] 53

54 Exemplo 8 No circuito abaixo: ω 1.00 rad/s; I ˆ 1, 8 A e C I ˆ L 3 53 A. Determine: (a) I ; (b) e (c). ˆS V i ) ˆS R (t IˆR IˆS IˆC VˆS IˆL 54

55 Vˆ Iˆ Iˆ 1 C C.1, j C Vˆ C 40 6 Ω 0 6 R 0 R0Ω A V Iˆ S Iˆ Iˆ C + R Ω 0 1, ,06 + j0,56 + 0,94 j1,77 Iˆ S j1,1 Iˆ S,34 31, A 55

56 Iˆ R Iˆ S + Iˆ L,34 31, Iˆ R 3,81 j1,19 3,99 17, 3 A j1,1 + 1,81 ( 100t + 17,3 )[ A, ] i R ( t) 3,99 cos s j,4 Vˆ S Vˆ R + Vˆ L R.ˆ I R + 39,9 17, e j L.ˆ I L ( ) 10.3,99 17, ,9 17, ,1 + j11,9 8,8 + j1,67 9,3 + j33, 57 V 3 j.3 53 Vˆ S 34,8 74, 5 V 56