Mecânica Quântica. Estados quânticos: a polarização do fóton. A C Tort 1. Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro

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Maria de Belem Antas Caetano
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1 Mecânica Quântica Estados quânticos: a polarização do fóton A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 11 de Abril de 2012

2 A luz é polarizada! (a) (b) (c)

3 Descrição clássica Feixe de luz linearmente polarizado: E = E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)] Re {E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)]}

4 Descrição clássica Feixe de luz linearmente polarizado: E = E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)] Re {E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)]} ou ainda: E = E 0 cos (k r ωt + ϕ)

5 Descrição clássica Feixe de luz linearmente polarizado: E = E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)] Re {E 0 exp [i (k r ωt + ϕ)]} ou ainda: E = E 0 cos (k r ωt + ϕ) A amplitude vetorial E 0 é um vetor real que define o estado de polarização da onda eletromagnética.

6 o vetor k é o vetor que define a direção de propagação da onda: k = ω c ˆk

7 o vetor k é o vetor que define a direção de propagação da onda: k = ω c ˆk A onda eletromagnética é transversa: ˆk E = 0,

8 o vetor k é o vetor que define a direção de propagação da onda: k = ω c ˆk A onda eletromagnética é transversa: ˆk E = 0, e o campo magnético é perpendicular a E e k: B = ˆk E c

9 A média temporal do vetor de Poynting é dada por: S = 1 ( ) E B 2 Re µ 0

10 A média temporal do vetor de Poynting é dada por: S = 1 ( ) E B 2 Re Como: E B = E 0 ˆk E 0 = E 0 2 ˆk c µ 0

11 A média temporal do vetor de Poynting é dada por: S = 1 ( ) E B 2 Re Como: µ 0 e como : temos E B = E 0 ˆk E 0 = E 0 2 ˆk c µ o ǫ 0 = 1/c 2,

12 A média temporal do vetor de Poynting é dada por: S = 1 ( ) E B 2 Re Como: µ 0 e como : temos E B = E 0 ˆk E 0 = E 0 2 ˆk c µ o ǫ 0 = 1/c 2, S = ǫ 0 E c ˆk = ρ em c ˆk

13 A média temporal do vetor de Poynting é dada por: S = 1 ( ) E B 2 Re Como: e como : temos µ 0 E B = E 0 ˆk E 0 = E 0 2 ˆk c µ o ǫ 0 = 1/c 2, S = ǫ 0 E c ˆk = ρ em c ˆk A intensidade da radiação é dada por: I = S ˆk E 0 2!

14 Caso particular: polarização na direção x e propagação na direção z: E = E 0 ˆx exp [i(kz ωt + δ)] S 0 = ǫ 0 E c ẑ; I 0 = ǫ 0 E c. Figura: Onda EM plana e harmônica polarizada na direção x e que se propaga na direção z.

15 x E = E 0 ˆx cos(k z z ωt + δ) Polarização da onda incidente: y n 0 E z ˆn 0 = ˆx

16 Após passar pelo primeiro polarizador: E = (E ˆn θ ) ˆn θ θ x E = (E 0 cos θ) cos(k z ωt + δ) ˆn θ I(θ) = ǫ 0 (E 0 cos θ) 2 2 c E E I(θ) = I 0 cos 2 θ y n θ z Polarização P θ : ˆn θ = cos θ ˆx + sin θ ŷ

17 Enquanto isto no analisador: E = (E ˆn ϕ ) ˆn ϕ ϕ θ x E ˆn ϕ ˆn θ ˆn ϕ cos (ϕ θ) I(θ,ϕ) = I(θ) cos 2 (ϕ θ) y E E z

18 Descrição quântica

19 Descrição quântica A onda plana monocromática descreve o comportamento coletivo de n fótons linearmente polarizados que obedecem à relação: E = h ν = ω onde h = 6, J s.

20 Descrição quântica A onda plana monocromática descreve o comportamento coletivo de n fótons linearmente polarizados que obedecem à relação: E = h ν = ω onde h = 6, J s. Como não há fração de fóton, um fóton passa inteiro pelos polaróides ou não simplesmente não passa.

21 Descrição quântica A onda plana monocromática descreve o comportamento coletivo de n fótons linearmente polarizados que obedecem à relação: E = h ν = ω onde h = 6, J s. Como não há fração de fóton, um fóton passa inteiro pelos polaróides ou não simplesmente não passa. A intensidade do feixe é proporcional ao número de fótons. I N hν

22 Não é possível predizer o comportamento de cada fóton individualmente.

23 Não é possível predizer o comportamento de cada fóton individualmente. Interpretação quântica: a probabilidade de que 1 fóton no estado de polarização P θ passe pelo analisador e consequentemente se encontre no estado de polarização P ϕ é: P cos 2 (ϕ θ)

24 Um pouco de matemática Observe que: cos(θ ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ ou ainda:

25 Observe que: Um pouco de matemática cos(θ ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ ou ainda: ( cos ϕ cos (θ ϕ) = (cos θ sin θ) sin ϕ )

26 Observe que: Um pouco de matemática cos(θ ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ ou ainda: ( cos ϕ cos (θ ϕ) = (cos θ sin θ) sin ϕ ) Considere os kets:

27 Observe que: Um pouco de matemática cos(θ ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ ou ainda: ( cos ϕ cos (θ ϕ) = (cos θ sin θ) sin ϕ ) Considere os kets: ( cos θ θ = sin θ ) ϕ = ( cos ϕ sin ϕ )

28 Observe que: Um pouco de matemática cos(θ ϕ) = cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ ou ainda: ( cos ϕ cos (θ ϕ) = (cos θ sin θ) sin ϕ ) Considere os kets: ( cos θ θ = sin θ ) ϕ = ( cos ϕ sin ϕ ) e os bras: θ = (cos θ sin θ) ϕ = (cos ϕ sin ϕ)

29 Então: θ ϕ = cos(θ ϕ)

30 Então: θ ϕ = cos(θ ϕ) O ket (vetor de estado) θ descreve o estado de polarização P θ : ˆn θ θ

31 Então: θ ϕ = cos(θ ϕ) O ket (vetor de estado) θ descreve o estado de polarização P θ : ˆn θ θ O ket (vetor de estado) ϕ descreve o estado de polarização P ϕ : ˆn ϕ ϕ

32 A probabilidade de que um fóton no estado de polarizção P θ seja encontrado depois de passar pelo analisador no estado de polarizção P ϕ é dada por: ϕ θ 2 = cos 2 (θ ϕ) θ ˆx ϕ ŷ Figura: Espaço dos estados de polarização do fóton.

33 Uma base ortonormal para o espaço matemático dos estado de polarização do fóton são os kets: ˆx = ( 1 0 ) ŷ = ( 0 1 )

34 Uma base ortonormal para o espaço matemático dos estado de polarização do fóton são os kets: ˆx = ( 1 0 ) e os bras correspondentes: ŷ = ( 0 1 ˆx = (1 0) y = (0 1) )

35 Uma base ortonormal para o espaço matemático dos estado de polarização do fóton são os kets: ˆx = ( 1 0 ) e os bras correspondentes: com as propriedades: ŷ = ( 0 1 ˆx = (1 0) y = (0 1) ) ˆx ˆx = ŷ ŷ = 1 x y = y x = 0

36 Uma base ortonormal para o espaço matemático dos estado de polarização do fóton são os kets: ˆx = ( 1 0 ) e os bras correspondentes: com as propriedades: ŷ = ( 0 1 ˆx = (1 0) y = (0 1) ) ˆx ˆx = ŷ ŷ = 1 x y = y x = 0 Por exemplo: ˆx ŷ = (1 0) ( 0 1 ) = 0

37 Um estado de polarização qualquer do fóton pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, por exemplo: θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ onde C 1 e C 2 são coeficientes complexos (em princípio!).

38 Um estado de polarização qualquer do fóton pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, por exemplo: θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ onde C 1 e C 2 são coeficientes complexos (em princípio!). Os coeficientes da combinação podem ser calculados fazendo uso das propriedades da base ortonormal: C 1 = ˆx θ C 2 = ŷ θ

39 Um estado de polarização qualquer do fóton pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, por exemplo: θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ onde C 1 e C 2 são coeficientes complexos (em princípio!). Os coeficientes da combinação podem ser calculados fazendo uso das propriedades da base ortonormal: C 1 = ˆx θ C 2 = ŷ θ O bra de estado θ se escreve (nesta notação): θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ

40 Um estado de polarização qualquer do fóton pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, por exemplo: θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ onde C 1 e C 2 são coeficientes complexos (em princípio!). Os coeficientes da combinação podem ser calculados fazendo uso das propriedades da base ortonormal: C 1 = ˆx θ C 2 = ŷ θ O bra de estado θ se escreve (nesta notação): A norma ao quadrado é: θ = C 1 ˆx + C 2 ŷ θ 2 = θ θ = C C 2 2

41 Qual a interpretação física dos coeficientes C 1 e C 2?

42 Qual a interpretação física dos coeficientes C 1 e C 2? Ambos são amplitudes de probabilidade!

43 Qual a interpretação física dos coeficientes C 1 e C 2? Ambos são amplitudes de probabilidade! O módulo ao quadrado desses coeficientes representam probabilidades!

44 Qual a interpretação física dos coeficientes C 1 e C 2? Ambos são amplitudes de probabilidade! O módulo ao quadrado desses coeficientes representam probabilidades! C 1 2 = probabilidade de encontar um fóton inicialmente no estado de polarização P θ no estado de polarização P x imediatamente após passar pelo analisador;

45 Qual a interpretação física dos coeficientes C 1 e C 2? Ambos são amplitudes de probabilidade! O módulo ao quadrado desses coeficientes representam probabilidades! C 1 2 = probabilidade de encontar um fóton inicialmente no estado de polarização P θ no estado de polarização P x imediatamente após passar pelo analisador; C 2 2 = probabilidade de encontar um fóton inicialmente no estado de polarização P θ no estado de polarização P y imediatamente após passar pelo analisador

46 θ = cos θ ˆx + sin θ ŷ ŷ E θ ˆx ẑ C 1 2 = cos 2 θ C 2 2 = sin 2 θ C C 2 2 = 1

47 THE END

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