Eletromagnetismo II. 1 Equações de Maxwell. Antonio Carlos Siqueira de Lima Primeira Lista de Exercícios

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1 Eletromagnetismo II Antonio Carlos Siqueira de Lima Primeira Lista de Exercícios 1 Equações de Maxwell 1. Considere uma onda eletromagnética no espaço livre dada por E = E 0 expjkz jωt) H = H 0 expjkz jωt) 1) Pede-se: a) Encontre a relação entre k e ω, bem como a relação entre os campos. Compare esses resultados com aqueles obtidos caso a variação temporal seja do tipo expjωt). b) Mostre que E 0 e H 0 satisfazem as equações para eletrostática e magnetostática no caso de espaço livre. c) Quais são as condições de fronteira do campo eletromagnético na superfícies de um condutor perfeito. d) Considere que a onda em 1) se propaga em um cabo coaxial, suponha que o condutor central e a blindagem são condutores ideais, esboce os campos elétricos e magnéticos na seção transversal do cabo. Solução Parcial Conforme mostrado em sala de aula o rotacional do campo elétrico pode ser escrito como E = jk ẑ E 0 + E 0 ) expjkz jωt) 2) e uma expressão similar pode ser obtida para H, sabendo que as equações de Maxwell no espaço livre são dadas por E = B t pode se escrever o seguinte sistema de equações B = 1 c 2 E t 3) jk ẑ E 0 = jωb 0 E 0 jk ẑ B 0 = jω c 2 E 0 B 0 4) onde B 0 = µh 0 e como E 0 e B 0 estão limitados no plano xy o rotacional gera um vetor no eixo z, e ẑ E 0 e ẑ B 0 representam vetores no plano xy é necessário que E 0 = 0 B 0 = 0 5) A partir do resultado em 5), H 0 = 0 resposta do item b)). Com isso ẑ E 0 = ω k B 0 ẑ B 0 = ω kc 2 E 0 6) para a resolução da 6) é necessário que k 2 c 2 = ω 2 e logo k = ω c 7) A solução do item c) foi apresentada em sala de aula. 1

2 2. Mostre que se E = E 0 x, y) sin ωt βz), onde E 0 x, y) = E x x, y) ˆx + E y x, y) ŷ pode ser reduzida ao seguinte sistema de equações diferenciais 1 2 Ex x 2 2 E y x E x y 2 = E y y 2 = 0 8) Solução Parcial A equação de onda para o campo elétrico é dada por onde o Laplaciano do campo elétrico é dado por 2 E = β 2 E x 2 E x y 2 2 E x x 2 Já a derivada temporal é dada por 2 E + 1 ν 2 2 E t 2 = 0 9) ) sinωt βz)ˆx + ) β 2 E y 2 E y x 2 2 E y y 2 sinωt βz)ŷ 10) 2 E t 2 = ω2 sinωt βz) E xˆx + E y ŷ) 11) Escrevendo a equação de onda leva para cada um dos compoentes, i.e., igualando cada um dos componentes em 11) /ν 2 com 10) leva a ω 2 ν 2 β 2) E x + ν 2 2 ) E x y E x x 2 = 0 ω 2 ν 2 β 2) E y + ν 2 2 ) 12) E y y E y x 2 = 0 por se tratar de uma onda ω = νβ, levado-se as expressões do enunciado. 3. Considere uma onda se propagando em meio sem perdas onde o campo elétrico possui apenas componente na direção x, de forma que no domínio da frequência o campo elétrico é dado por E x = E 0 exp jkz) 13) e no domínio do tempo é dado por Et) = 2E 0 cosωt kz), sabendo-se que o campo magnético é dado por H y = E 0 µ/ɛ exp jkz) 14) Calcule a expressão do campo magnético no domínio do tempo e a partir dos valores no domínio do tempo calcule a energia acumulada no campo elétrico e no campo magnético. Calcule o vetor de Poynting a partir dos componentes temporais e no domínio da frequência e compare esses valores. Solução Parcial O comportamento de campo magnético no domínio do tempo por ser expresso por 2 Ht) = E 0 cosωt kz) 15) Z c onde Z c = µ/ɛ, e as energias associadas aos campos podem ser dadas por w e = ɛ 2 Et)2 = ɛe 2 0 cos 2 ωt kz) w m = µ 2 Ht)2 = ɛe 2 0 cos 2 ωt kz) 16) As expressões do vetor de Poynting no domínio do tempo e no domínio da frequência são apresentadas abaixo St) = Et) Ht) = 2 Z c E 2 0 cos 2 ωt kz)ẑ Sω) = E H = E2 0 Z c ẑ 1 por questão de simplificação de notação onde está E x entenda-se por E xx, y) e E y por E yx, y) 17) 2

3 4. Considere um campo eletromagnético dado por E = Ax + By) exp jωz ) c H = Bx + Ay) exp jωz ) 18) c onde A = 2 B e B = B expjπ/2). Esboce o comportamento do campo elétrico para diversos instantes de tempo pra o plano z = 0. O que pode ser aferido com relação a polarização da onda a partir desse resultado. Solução Parcial No domínio do tempo as componentes x e y do campo elétrico são dadas por E x = 2 A cosωt kz) E y = 2 B cosωt kz + π/2) = 2 A 2 sinωt kz) 19) As expressões acima nada mais são que as equações paramétricas de uma elipse se considerando o plano z = 0. O mesmo raciocíonio é válido para planos onde z é constante, logo podemos dizer que a onda se encontra com polarização elíptica. 2 Potenciais Vetores, Escalares & Vetor de Hertz 1. O vetor de Hertz num meio homogêneo pode ser usado para definir os campos elétrico e magnético conforme mostra a 43) para uma variação temporal do tipo expjωt) H = jωɛ Π) E = Π) + ω 2 µɛπ 20) A equação que define o vetor de Hertz está relacionado ao vetor de polarização, 24). A relação entre P e as fontes é dada por 45). 2 Π + ω 2 µɛ Π = 1/ɛP 21) J = jωp ρ = P 22) Mostre que os campos elétricos e magnéticos derivados dessa maneira são consistentes com as equações de Maxwell. Solução Parcial O rotatacional do campo elétrico é dada por E = [ Π) + ω 2 µɛ Π ] = B t = jωµh = ω2 µɛ Π 23) levando-se em conta que Π) = 0, a equação acima está atendida. 2. Um dipolo oscila com M expjωt) de forma que a uma distância r o vetor de Hertz pode ser dado por Mostre que Π = 1 M expjωt r/c)) z 24) 4πɛ 0 r A = µ 0 ɛ 0 Π t φ = Π) 25) A partir do resultado acima calcule o campo elétrico e o campo magnético para r 0 Solução Parcial As expressões do campo elétrico para o dipolo oscilante pode ser encontradas no item das notas de aulas. A partir das expressões de H é possível obter e das expressões de A, e a partir das expressões de E é possível obter o potencial escalar φ. 3. Através da analogia da expressão integral do potencial vetor magnético A e do potencial escalar φ, escreva a expressão integral do Vetor de Hertz Π em termos do vetor de polarização P. Considere a relação temporal do tipo harmônica, i.e., expjωt). 3

4 Solução Parcial A expressão do vetor de Hertz é do tipo 2 Π µɛ 2 Π t 2 Como H = B/µ = A/µ pode ser definido por = P ɛ 26) H = jωɛ Π 27) logo A = jωµɛ Π, e a expressão integral pode ser dada por ρx, y, z, t R/ν) Π = dv 28) 4πɛR V 4. Considere um elemento de corrente de comprimento l carregando uma corrente I localizado na origem de um sistema de coordenada cilíndrica ρ, φ, z). O vetor de Hertz está orientado no eixo z de forma que Π = Il exp γr) z 29) 4πσ + jωɛ)r sendo r = ρ 2 + z 2. Calcule as componentes do campo elétrico e magnético. Solução Parcial O campo magnético, que possui componente apenas em φ é dado por onde H φ = σ + jωɛ) Π = σ + jωɛ) Π z ρ = Il 1 + γr) exp γr) sin θ 30) 4πr2 o campo elétrico é obtido a partir de r = ρ 2 + z 2 sin θ = ρ r 31) E = γ 2 Π + Π) 32) 5. Considere um laço de corrente com área da carregando uma corrente uniforme I. A área desse laço é centrada na origem de um sistema de coordenadas cilíndricas ρ, φ, z). Calcule o campo elétrico e magnético empregando o vetor de Hertz do tipo magnético. Solução Parcial O vetor de Hertz é dado por Π = IdA exp γr) ẑ 33) 4πR onde R é a distância do laço de corrente até o observador, das notas de aula 2 γ 2) Π 34) Aplicando as definições dos componentes de campo elétrico e magnético temos E φ = jωµida 4πr γr) exp γr) sin θ H r = IdA 1 + γr) exp γr) cos θ 2πr3 H φ = IdA 1 + γr + γ 2 4πr 3 r ) exp γr) sin θ 6. Na grande maioria dos casos de ordem prática, o campo e a distribuição de corrente dentro de um condutor metálico, mesmo em altas frequências, pode ser determinado a partir do vetor potencial magnético, A conforme mostrado a seguir. E = jωa J = jωσa 2 A + jωσa = 0 A = 0 36) Qual a relação temporal considerada nas equações acima? Aplique essas equações pra encontrar a distribuição longitudinal de corrente na seção circular de um condutor longo e reto. Encontre uma expressão para a componente longitudinal de E na superfície do condutor de forma que E w = R i I + L i di dt onde R i é a resitência interna do condutor e L i a indutância interna, ambas por unidade de comprimento. O que essa formulação é capaz de informar com respeito a presença ou não de campos externos ao condutor? Qual seria o impacto desses campos externos para o fator de propagação dentro do condutor? 35) 37) 4

5 3 Ondas Planas 1. Duas aeronvaes estão se deslocando a velocidades constantes e distam d uma da outra e a uma altura h sobre a superfície da água, suposta aqui plana. Uma das aeronaves envia sinais de rádio a outra, podendo ambas antenas serem caracterizadas por condutores verticais de comprimento l. Calcule a razão da intensidade do sinal recebido e do sinal refletido pela água em função da permissividade da água ɛ. Solução Parcial O campo magnético pode ser representado por um vetor normal ao plano de incidência. A radiação ocorre na direção r sendo proporcional a r 1 sin θ, conforme visto em exercício anterior. A amplitude da onda refletida é reduzida pelo fator tanθ θ t ) cotθ + cotθ + θ t ) A razão é dada por Após alguma manipulação é possível chegar ao seguinte resultado onde u 1 = tanθ + θ t ) tanθ θ t ) = cscθ θ t) sinθ + θ t ) 38) d 6 d 2 + 4h 2 ) 3 u 1 u 2 u 1 + u 2 39) u 1 = d 2 ɛ ɛ 0 ) + ɛ4h 2 u 2 = 2ɛɛ 1/2 0 h 40) 2. Considere uma onda plana se propagando no vácuo onde E 0 é a amplitude do campo elétrico em volts/metro e S o valor médio do vetor de Poynting. Mostre que S = 1, E 2 0 E 0 = 27, 45 S 41) 3. Seja E 0 a amplitude em V/m do vetor campo elétrico associado a uma onda plana que se propaga no vácuo. Calcule H 0 amplitude do campo magnético) e mostre que, caso uma carga q se mova com velocidade v no campo de uma onda plana, a razão das forças exercidas pelo componente magnético e elétrico é da ordem de v/c. 4. Considere uma onda plana se propagando num meio meio 1) sem perdas com ɛ 1 e incidindo normal em um meio meio 2) com ɛ 2. O valor médio do vetor de Poynting no meio 2 é apenas a diferença entre o vetor de Poynting associado as ondas incidente e refletida no meio 1. Se o meio 1 possuir perdas esse afirmativa não é mais válida, explique. 5. Uma onda plana se propaga em meio sem perdas de parâmetros µ 1 e ɛ 1 e incide com ângulo θ 1 no meio 2 também sem perdas e de parâmetros µ 2 e ɛ 2. Essa onda, por sua vez incide a partir do Meio 2 no meio 3 com ângulo θ 3 e parâmetros µ 3, ɛ 3. Essa onda, por fim, incide em meio com parâmetros iguais ao primeiro meio, conforme mostra a Fig. abaixo. Calcule a relação entre os campos transmitidos e os campos incidentes no Meio 1. Suponha que em cada meio não ocorra reflexão. Meio 1 Meio 2 Meio 3 θ 5 θ 3 θ 4 θ 1 θ 2 Meio 1 Figura 1: Onda plana incidente em múltiplos meios 5

6 6. Considere uma onda plana no vácuo onde E x = µ 0 /ɛ 0 H y = E 0 expjωt γz) 42) sendo γ = jω µ 0 ɛ 0. Mostre que uma solução aproximada das equações de Maxwell pode ser obtida considerando E 0 como uma função lentamente variante em x e y e adicionando os seguintes componentes, onde β = jγ. E z = j β E 0 x exp j ωt βz)) H x = j β ɛ0 /µ 0 E 0 y exp j ωt βz)) 43) 7. Para as duas questões a seguir utilize as expressões assintóticas para as funções de Bessel 2 J ν ξ) π ξ cos ξ π ) ν) 44) a) Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo possuindo os seguintes componentes para o campo magnético em coordenadas cilíndricas usando coordenadas {r, φ, z}) B r = 0 B φ = J 0 k r cos α) 1 ) r J 1k r cos α) exp jk z cos α + ωt)) B z = 0 Calcule o campo elétrico associado. b) Calcule x em H z = x µ 0 exp lz)j 0 r x ) H φ = a µ 0 exp lz)j 1 r x ) H r = l µ 0 exp lz)j 1 r x ) 45) de forma que as expressões acima representem os componentes do campo magnético de uma onda onda eletromagnética que se propaga no vácuo. 8. Considere um condutor com uma corrente it), calcule os valores de E e H na superfície do condutor, calcule o vetor de Poynting e mostre que ele representa o fluxo de energia no interior do fio. 9. Calcule a energia do campo elétrico e do campo magnéitco asociadas a uma onda plana trafegando num condutor real e mostre que há diferenças entre elas. O que acontece no caso limite σ 0 e σ 10. Na ausência de carga, a solução da equação de Maxwell pode ser obtida apenas pelo vetor potencial A considerando que o potencial escalar é nulo. A partir desse resultado considere uma onda plana se propagando ao longo do eixo z, mostre que o vetor potencial pode ter duas amplitudes complexas arbitrárias para os componentes em x e y, com uma dependência com z do tipo expjωt γz). Verifique o comportamento entre E e H. 6