Ondas e Linhas. Prof. Daniel Orquiza Ondas e Linhas. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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Bruna Bergmann Quintão
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1 Prof. Daniel Orquiza Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Linhas de transmissão aspectos básicos (Páginas 48 a 56 no Livro texto) Objetivos: Discutir comportamento de L.T. Em altas frequências. Introduzir Eqs. Telegráficas. Soluções das Eqs. Telegráficas. Eletromagnetismo I 1 Prof. Daniel Orquiza

3 Linhas de transmissão Principais tipos Seção Transversal Par de fios condutores Cabo coaxial D 2a b Microstrip w 07/03/17 2

4 Linhas de Transmissão Par trançado Microstrip Cabo coaxial 3 Prof. Daniel Orquiza

5 Linhas de transmissão Visão Geral Gerador Linha Carga V g ( t ) Pergunta: que tipos de carga podemos ter? 07/03/17 4

6 Linhas de transmissão V A B distância V(t) carga A B V(t) carga 07/03/17 5

7 Linhas de transmissão Se as dimensões de um circuito elétrico são comparáveis ao comprimento de onda, a utilização do modelo de parâmetros concentrado deixa de ser válida. Temos que começar a falar em parâmetros distribuídos. Pergunta? Qual é a ordem de grandeza do comprimento de onda de um sinal senoidal em: (a) 60Hz? (b) 3GHz? 07/03/17 6

8 Linhas de transmissão Se as dimensões de um circuito elétrico são comparáveis ao comprimento de onda, a utilização do modelo de parâmetros concentrado deixa de ser válida. Temos que começar a falar em parâmetros distribuídos. V A B distância V(t) carga A B V(t) carga 07/03/17 7

9 Linhas de transmissão Linhas de transmissão (Compr. Diferencial) 07/03/17 8

10 Linhas de transmissão Circuito Equivalente 07/03/17 9

11 Linhas de transmissão Exemplo (parâmetros distribuídos): no lugar de trabalharmos com resistência, utilizamos resistência por unidade de comprimento. Cabo Coaxial Placas Paralelas Unidades [H/m] [F/m] [Ω/m] [S/m] Onde a resistência superficial é definida como: 07/03/17 10 R S = 1 R S = π f µ σ δ s σ c

Linhas de transmissão Podemos obter a equação de onda para linhas de transmissão aplicando a teoria de circuitos para um elemento de comprimento diferencial Δz de linha de

12 Linhas de transmissão Podemos obter a equação de onda para linhas de transmissão aplicando a teoria de circuitos para um elemento de comprimento diferencial Δz de linha de transmissão. Usamos as Leis de Kirchhoff para relacionar tensões e correntes na saída com as da entrada. Linhas de transmissão (Compr. Diferencial) Circuito Equivalente 07/03/17 11

13 Linhas de transmissão Utilizando a 1ª L.K. (Lei das Correntes): i(z, t) GΔzv(z+Δz, t) CΔz v(z+δz, t) t i(z+δz, t) = 0 Utilizando a 2ª L.K. (Lei das Tensões): v(z, t) RΔzi(z, t) LΔz i(z, t) t v(z+δz, t) = 0 07/03/17 12

14 Equações telegráficas Após alguma manipulação algébrica e tomando o limite de Δz à 0, primeira equação se torna: i(z, t) z = Gv(z, t) C v(z, t) t A segunda equação fica: v(z, t) z = Ri(z, t) L i(z, t) t 07/03/17 13

15 Equações telegráficas Considerando soluções harmônicas e utilizando a forma fasorial, a primeira equação fica: I(z) z = (G +jωc)v(z) A segunda equação fica: V(z) z = (R +jωl)i(z) 07/03/17 14

16 Equações de onda Usando as duas equações anteriores e isolando V(z) e I(z), obtemos as duas equações de onda que descrevem a propagação de ondas em Linhas de Transmissão. e d 2 V(z) dz 2 γ 2 V(z) = 0 d 2 I(z) γ 2 I(z) = 0 dz 2 A constante de propagação complexa γ é definida como: γ = α + jβ = (R+jωL)(G+jωC) 07/03/17 15

17 Equações de onda A solução da equação de ondas é uma combinação linear de ondas progressivas e regressiva. Na forma fasorial, a tensão ao longo da linha é escrita: V(z) = V 0 + e γz +V 0 e γz A corrente ao longo da linha é escrita: I(z) = I 0 + e γz + I 0 e γz 07/03/17 16

18 Equações de onda Utilizando as equações telegráficas, é possível relacionar a corrente ao longo da linha com a tensão ao longo da mesma: I(z) = V + 0 e γz V 0 e γz Z 0 Z 0 A definição de Impedância Característica Z 0 da linha de transmissão é: Z 0 = V + 0 I = V I = R + jωl 0 G + jωc 07/03/17 17

19 Equações de onda A solução da equação de ondas na forma instantânea é: v(z, t) = V 0 + cos(ωt - βz + φ + )e αz + V 0 cos(ωt + βz + φ )e αz O comprimento de onda pode ser calculado por: V 0 λ = 2π β e -αz A velocidade de fase v p é definida por: v p = ω β = λf 07/03/17 18 v(z, 0) -V 0

20 Equações de onda V 0 e -αz v(z, 0) -V /03/17

21 Equações de onda Linhas de transmissão sem perdas (α = 0): γ = α + jβ= jω LC onde: β=ω LC A Impedância Característica Z 0 da linha sem perdas é: Z 0 = L C 07/03/17 20

22 Equações de onda Para Linhas de transmissão sem perdas (α = 0), a tensão ao longo da linha é: A corrente ao longo da linha é: V(z) = V 0 + e jβz + V 0 e jβz I(z) = V + 0 e jβz V 0 e jβz Z 0 Z 0 O comprimento de onda e a velocidade de fase são: λ = 2π β = 2π ω LC 07/03/17 21 v p = ω β = 1 LC

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