10/05/17. Ondas e Linhas

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Luiz Felipe Bergler Martins
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2 Guias de Onda (pags 95 a 10 do Pozar) Equações de Maxwell e equação de onda Solução geral para Modos TEM Solução geral para Modos TE e TM 10/05/17

3 Guias de Onda Guias de onda são estruturas que confinam e suportam a propagação de ondas eletromagnéticas. Tecnicamente, linhas de transmissão também são guias de onda, mas na prática o termo guia de onda é usado para estruturas que não suportam modos TEM. No geral, linhas de transmissão possuem dois ou mais condutores e guias de onda (metálicos) possuem apenas um condutor. Veremos que os modos suportados em guias de onda possuem frequências de corte. 10/05/17 3

4 Linhas de Transmissão Guias de Onda PLACAS PARALELAS MICROSTRIP y z RETANGULAR x CABO COAXIAL CIRCULAR 10/05/17 4

5 Equação de Onda Sabemos que ondas eletromagnéticas satisfazem as equações de Maxwell. Em um meio homogêneo e sem fontes ( J = 0 e ρ v = 0): E = jωµ H Tomando o rotacional em ambos os lados: E = jωµ H ( ( ) E) Usando a igualdade vetorial E = E : E ( ) E = jωµ H 0 10/05/17 5

6 Equação de Onda Para um meio sem fontes, ρ v = 0. Pela lei de Gauss: E = jωµ ( jωε E ) A equação resultante é a Equação de Helmholtz: E +ω µε E = 0 É possível chegar a uma equação equivalente para o campo magnético. H +ω µε H = 0 10/05/17 6

7 Soluções Modais Considerando uma onda se propagando num guia na direção do eixo z, o campo eletromagnético tem a forma: E(x, y, z) = E(x, y)e jβz e H(x, y, z) = H(x, y)e jβz Utilizando estas soluções nas equações de Maxwell, chegamos a expressões para os campos transversais em função de Ez e Hz: E x = j k c β E z x + ωµ H z y H x = j k c ωε E z y β H z x E y = j k c β E z y + ωµ H z x H y = j k c ωε E z x + β H z y 10/05/17 7

8 Equação de Onda Considerando como solução geral uma onda plana com vetor de onda k = k â k : E( r) = E 0 e j k r Substituindo esta solução na Eq. de Helmholtz temos: Onde: k k = k = ω v p k = k x + k y + k z v p = 1 µε x z E 0 H 0 y k 10/05/17 8

9 Modos TEM Os modos TEM se comportam como ondas planas dentro das Linhas de Transmissão, com E z = H z = 0. O vetor de onda k só possui componente na direção de propagação (eixo z abaixo). β = k (É comum chamar o componente do vetor de onda na direção de propagação de β ) y x z E 0 H 0 k 10/05/17 9

10 Modos TEM (E z = H z = 0) Além disso k c = 0 (β = k). Veremos que isso implica que não há frequência de corte. A equação de onda (Helmholtz) para o componente E y é: x + y + z + k E y = 0 β E y Mas β = k para modos TEM. Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TEM é a equação de Laplace: x + y E y = 0 Resolver usando C. C. na linha de Transmissão 10/05/17 10

11 Modos TEM A impedância de onda para modos TEM é a mesma que a da onda plana uniforme: Z TEM = E y H x = E x H y = η = µ ε Se conhecermos o campo elétrico, podemos calculado o campo magnético para modos TEM usando: H(x, y) = 1 Z TEM â z E(x, y) 10/05/17 11

Modos TE e TM Os modos TE e TM são compostos de superposições de ondas planas. Modos TE não possuem componente E z e modos TM não possuem componente H z.

12 Modos TE e TM Os modos TE e TM são compostos de superposições de ondas planas. Modos TE não possuem componente E z e modos TM não possuem componente H z. Os modos TE e TM possuem componente transversal k c do vetor de onda: Modo TM k = k x + k y + k z E 0 k = k c + β E 0 y x z E 0 k k E 0 k k 1 10/05/17 1

13 Modos TE Os modos TE são caracterizados por ter E z = 0 (H z 0). Além disso k c = k - β. Há frequência de corte. A equação de onda (Helmholtz) para o componente H z é: x + y + z + k H z (x, y, z) = 0 A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é H z z = β H z Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TE é a equação de Helmholtz D: x + y + k c H z (x, y) = 0 Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda 10/05/17 13

14 Modos TE A impedância de onda para modos TE é dada por: Z TE = E x H y = E y H x = ωµ β = kη β Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes E x e H y para os modos TE: E x = j k c H y = j k c ωµ H z y β H z y 10/05/17 14

15 Modos TM Os modos TM são caracterizados por ter H z = 0 (E z 0). Além disso k c = k - β. Há frequência de corte. A equação de onda (Helmholtz) para o componente E z é: x + y + z + k E z (x, y, z) = 0 A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é E z z = β E z Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TM é a equação de Helmholtz D: x + y + k c E z (x, y) = 0 Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda 10/05/17 15

16 Modos TM A impedância de onda para modos TM é dada por: Z TM = E x H y = E y H x = β ωε = βη k Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes Ex e Hy para os modos TM: E x = j k c β E z x H y = j k c ωε E z x 10/05/17 16

17 Constante de Atenuação A constante de atenuação α d, devido a perdas no material dielétrico, para modos TE e TM é: Para modos TEM, β = k, e a constante de atenuação α d, devido a perdas no material dielétrico, é: α d = k tanδ β [Np / m] α d = k tan δ [Np / m] 10/05/17 17

18 Trabalho de Final de semestre Projetar guias de onda e Linhas de transmissão para operar em uma frequência a ser especificada e com número de modos a ser especificado (de acordo com Grupo. Escolher um material dielétrico (pesquisar os mais usados) e projetar as dimensões do guia/l.t. de acordo com o dielétrico escolhido. Identificar nome da banda de operação. Discutir aplicações (dentro e fora das telecomunicações) para aquela banda de frequência. Plotar (usando Matlab) os campos eletromagnéticos dos modos especificados de acordo com o grupo. NÃO USAR PACOTES DE MATEMÁTICA SIMBÓLICA.

19 Trabalho de Final de semestre No máximo 8 páginas com Figuras e Código. Em cada caso, pesquisar formas de acoplamento da onda (do gerador para o guia/ linha). Citar as referências usadas. Para os guias de onda, quando possível, identificar o padrão do guia de onda (ex: WR-## para guias retangulares). Para linha de placas paralelas, relacionar dimensões com a de uma linha do tipo Microstrip. Apresentações e entrega: 08 /06 / 017 e 13 /06 / 017

20 Trabalho de Final de semestre Grupo 1 v Guia de onda circular operando em 56 GHz. v O guia deve suportar 1 modo TE somente. v Plotar campo elétrico e magnético. Grupo v Guia de onda retangular operando em 45 GHz. v O guia deve suportar 3 modos TE somente. v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo. v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

21 Grupo 3 v Guia de onda retangular operando em 1 GHz. v O guia deve suportar 3 modos TM somente. v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo. v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação. Grupo 4 v L.T. de placas paralelas operando em 3 GHz. v O guia deve suportar 3 modos TE somente (além do TEM). v Plotar campo elétrico e magnético. v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.

22 Grupo 5 v Guia de onda retangular operando em 7 GHz. v O guia deve suportar somente um modo da polarização TM. v Plotar campo elétrico e magnético. v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação. Grupo 6 v Guia de onda circular operando em 100 GHz. v O guia deve suportar 1 modo TE somente. v Plotar campo elétrico e magnético.

23 Grupo 7 v L.T. de placas paralelas operando em 1,6 GHz. v O guia deve suportar 3 modos TM somente. v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo. v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação. Grupo 8 v Guia de onda circular operando em 500 MHz. v O guia deve suportar 1 modo TE somente. v Plotar campo elétrico e magnético.

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