Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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Isaac Gonçalves das Neves
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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Equações de Maxwell e Equação de Onda (Capítulo 9 Páginas 288 a 292) (Capítulo 11 Páginas 267 a 272) Equações de Maxwell Relações constitutivas Condições de Contorno Equivalência entre Eqs de Maxwell e Eq. de Onda para campos EM Eletromagnetismo I 1 Prof. Daniel Orquiza

3 Equações de Maxwell Juntando a L.F., L.A., e as Leis de Gauss Elétrica e Magnética, temos as 4 equações de Maxwell, no domínio do tempo: E=! - B! t H! =! J+ D! t D=! ρ v! B= 0 (Lei de Faraday) (Lei de Ampère) (Lei de Gauss Elétrica) (Lei de Gauss Magnética) Estas equações em seu conjunto regem dois tipos de fenômenos: o Os campos gerados por cargas (paradas e em movimento), e portanto a força que estas cargas exercem umas sobre as outras. o A radiação eletromagnética (ondas de radio, microondas, luz, Raios X, etc...). (1) (2) (3) (4) 1

4 Equações de Maxwell Antes de prosseguir, é importante mencionar alguns fatos: o As equações constitutivas (relacionando D e E ou B e H) ainda são válidas. o Os dipolos continuam interagindo com os campos instantaneamente. Para campos com variação senoidal os dipolos oscilam na mesma freq. dos campos. o Os vetores polarização e magnetização são dependentes do tempo M(t) e P(t) o As condições de contorno na interface entre os diferentes meios que vimos não são modificadas (também são satisfeitas instantaneamente). o As forças entre cargas e correntes podem ser calculadas usando os campos e vão ter seus valores instantâneos associados a estes. 2

5 Equações de Maxwell e Equação de Onda A L.F. e a L.A. em conjunto são equivalentes a uma equação de onda para os campos. As soluções matemática de uma equação de onda são ondas propagantes ou estacionárias. Para derivar a Eq. de Onda das duas leis, começamos tomando o rotacional dos dois lados da Lei de Faraday:! E= -! B t ( ) ( E! )= - B! t Onde o operador rotacional foi aplicado diretamente sobre B do lado direito. (5) Se considerarmos um meio sem cargas ou correntes, a L.A. pode ser reescrita na forma:! H =! J+! D t B=! µ D! t = µε! E t 3

6 Equações de Maxwell e Equação de Onda Onde assumiu-se que o meio é homogêneo em termos de µ e ε.! B Substituindo no lado direito de (5) resulta em: ( E!! )= -µε 2 E t 2 Podemos aplicar a seguinte identidade vetorial no lado esquerdo da Eq. acima: A equação resultante é: ( A! ) = ( A! )! 2 A! E ( ) 2! E= -µε 2! E t 2 (6) 4

7 Equações de Maxwell e Equação de Onda No entanto, para meio sem densidade de carga, a L.G.E. implica:! D = ε! E = 0! E = 0 Substituindo este resultado na Eq. (6), temos: 2! E -µε 2! E t 2 = 0 (7) Note que das duas primeiras equações de Maxwell, chegamos em uma equação em função de E somente. Além disso a Eq. envolve derivadas duplas no tempo e no espaço. Esta equação é a forma vetorial da Eq. de Onda, cujas soluções gerais são ondas (propagantes ou estacionárias). 5

8 Equações de Maxwell e Equação de Onda A forma geral da equação que descreve uma onda se propagando com velocidade de fase v é: 2! E - 1 v 2 2! E t 2 = 0 (8) Comparando (7) e (8) vemos que a velocidade da onda (Eletromagnética) num meio depende dos parâmetros constitutivos do meio da seguinte forma: v = 1 µε Caso a onda se propague no espaço livre, µ = µ 0 e ε = ε 0. A veloc. da luz no espaço livre é: c = 1 µ 0 ε 0 = 2, m / s 6

9 Equação de Onda A equação de onda (7) vetorial corresponde a três equações escalares (1 por componente): 2 E x x E x y E x z 2 - µε 2 E x t 2 = 0, 2 E y x E y y E y z 2 - µε 2 E y t 2 = 0 e 2 E z x E z y E z z 2 - µε 2 E z t 2 = 0. 7

10 Equação de Onda Estas equações podem representar ondas se propagando em direções arbitrárias no espaço. Veremos que se a onda se propaga em uma direção somente (por exemplo, a do eixo z ) elas são simplificadas bastante. Alguns anos após os trabalhos teóricos de Maxwell, Hertz gerou e detectou radiação eletromagnética usando antenas rudimentares. Radiação EM compreende ondas com frequências desde raios gama até ondas de radio, passando pelo visível. Ondas EM em diferentes frequências interagem com a matéria de formas diferentes. 8

Espectro Eletromagnético Comprimento de onda (metros) 10 3 10-2 10-5 0,5x10-6 10-8 10-10

11 Espectro Eletromagnético Comprimento de onda (metros) ,5x Tamanho aprox. Prédio Humanos Abelha Ponta de Alfinete Protozoários Moléculas Átomo Núcleo 9

12 Equação de Onda A equação de onda será usada par descrever o comportamento dos modos em guias de onda e linhas de transmissão (Ondas e Linhas). Os modos são superposições de onda planas. Ela também será a base para a descrição das ondas esféricas geradas por antenas. 10

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