Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 Eletromagnetismo I Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo I Prof. Daniel Orquiza de arvalho

2 Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Ampère na Forma Diferencial (apítulo 7 Páginas 195 a 203) Teorema de tokes e L.A. na Forma Pontual Rotacional do campo magnético em um ponto Eletromagnetismo I 1 Prof. Daniel Orquiza

3 Lei de Ampère (Forma Pontual) A forma diferencial da Lei de Ampère relaciona a densidade de corrente J com o campo magnético H em um ponto (forma pontual). Vimos que na eletrostática, se o divergente de D for não nulo em um ponto, há densidade de carga neste ponto. Na magnetostática, se o rotacional de H for não nulo em um ponto, há densidade de corrente J neste ponto. Assim como I, uma distribuição espacial de densidade de corrente J gera (é fonte de) campo magnético. O campo magnético não é conservativo pois o rotacional de H é diferente de zero.

4 Lei de Ampère A Lei de Ampère na forma integral para distribuições contínuas de corrente é dada por " H d l = J d Teorema de tokes: a circulação de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado é igual a integral de superfície longo de envolvida por. " H d l = do rotacional do campo ao ( H ) d H

5 Lei de Ampère O componente do rotacional de H na direção a n é definido como a circulação de H por unidade de área para uma área infinitesimal Δ tendendo a zero. Vetor normal a Δ ( H ) â n = lim Δs 0 H d l Integrar ao longo de uma superfície envolvida por um caminho fechado corresponde a somar a contribuição (para a circulação) de cada elem. de superfície infinitesimal Δ que compõe. " H H d l = " Δ ( H ) d Ao somar a contribuição de cada elemento Δ, os lados adjacentes dentro da superfície se cancelam e o que resta é: " H d l

6 Lei de Ampère Forma Pontual Igualando os lados direitos da L.A. na forma integral e do teorema de tokes temos: ( H ) d = J d O teorema de tokes é válida para qualquer caminho (e qualquer superfície envolvida por ). Por isso, o integrando em ambos os lados da eq. acima tem que ser igual. Lei de Ampère na forma diferencial: H = J H

7 Lei de Ampère Forma Pontual Uma densidade de campo em um ponto do espaço gera circulação (rot 0) do campo magnético. H = J Assim como na maioria das equações que vimos até o momento, as fontes são colocadas do lado direito. Os campos gerados pelas fontes, são colocados do lado esquerdo da equação. Diferente da eletrostática, onde: E = 0, o campo magnético não é conservativo. H

8 O campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional diferente de zero? Qual componente do rotacional existe? H = H z y H y z â x + H x z H z x â y + H y x H x y â z = J

9 JBV Imagine que o campo vetorial representa a velocidade de um fluído A bola apresentará movimento de rotação? Ao redor de que eixo? H z H y H y H x H x H z H = a y + a x + a z = J y z z x x y

10 H = H z y H y z â x + H x z H z x â y + H y x H x â z = J y 6/27/16 9

11 Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui rotacional? Qual campo vetorial ilustrado abaixo possui divergente? 6/27/16 10

12 Lei de Ampère Forma Pontual Em oord. artesianas a L.A. na forma pontual fica:. H = H z y H y z â x + H x z H z x â y + H y x H x y â z = J Lembrando que o rotacional pode ser calculado pelo determinante de: H = â x â y â z x y z H x H y H z Eletromagnetismo I 11 Prof. Daniel Orquiza

13 Lei de Ampère Forma Pontual A L.A. na forma pontual pode ser expressa em outros istemas de oordenadas usando o operador Rotacional no sistema em questão. Em oordenadas ilíndricas, o operador Rotacional fica: ( ) ρ H = 1 H z ρ φ H φ â ρ + H ρ z z H z â φ + 1 ρh φ ρ ρ 1 H ρ ρ φ âz Em oordenadas Esféricas, o operador Rotacional fica: H = 1 rsenθ ( H φ senθ ) θ H θ φ ( ) H r âr r senθ φ rh φ r + 1 âθ r ( rh θ ) H r r θ â φ Eletromagnetismo I 12 Prof. Daniel Orquiza

14 Exemplo (a) alcule a integral de linha fechada de H ao longo de um caminho retangular definido pelos pontos P 1 (2; 3; 4) a P 2 (4; 3; 4) a P 3 (4; 3; 1) a P 4 (2; 3; 1) a P 1, dado: H = 3za x -2x 3 a z [A/m]. (b) Determine o quociente da integral de linha fechada pela área envolvida pelo caminho como uma aproximação para ( H) y. (c) Determine ( H) y no centro da área. 6/27/16 13

15 Determine a densidade de corrente: (a) Em (2; 1; 3)m se H = 2xy 2 a z [A/m]. (b) Em (3m; 90 o ; 0) se H=r 2 sin(φ )a θ [A/m]. (c) Em (1,5m; 90 o ; 0,5) se H= (2/ρ)cos(0,2φ) a ρ [A/m]. 6/27/16 14

16 Lei de Ampère Duas superfícies de corrente em z = 0 e z = 4m são percorridas por densidades de corrente superficial K = -10 a x [A/m] e K = 10 a x [A/m], respectivamente, determine H em: (a) (1, 1, 1). (b) (0, -3, 10). 6/27/16 15

17 uperfície de corrente K = Ka x [A/m] em z=0: K 6/27/16 16

18 uperfície de corrente K = Ka x [A/m] em z=0: K 6/27/16 17

19 uperfície de corrente K = Ka x [A/m] em z=0: z H 2 K H Resultante 2 H 1 x 1 y 6/27/16 18

20 z b K c 6/27/16 19 w x d a y

21 Lâminas de corrente com extensão finita 6/27/16 20