A experiência de Oersted

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1 Os pólos de um ímã á séculos, o homem observou que determinadas pedras têm a propriedade de atrair pedaços de ferro ou interagir entre si. Essas pedras foram chamadas de ímãs e os fenômenos, que de modo espontâneo se manifestam na Naturea, foram denominados fenômenos magnéticos. Um ímã em forma de barra tem dois pólos: sul e norte, em torno dos quais há um campo magnético. Os ímãs podem ser permanentes ou temporários e os materiais utiliados em cada tipo diferem entre si. Um material ferromagnético pode ser transformado em um ímã quando colocado na parte central de uma bobina elétrica ou solenóide, ao se passar uma corrente de grande intensidade através do enrolamento.

2 Os pólos de um ímã De acordo com a composição, o material receberá seu magnetismo depois que a corrente tiver sido cortada. Ímãs permanentes são fabricados a partir de materiais duros tais como aço, níquel e cobalto. Alguns materiais retêm pouco ou nenhum magnetismo após a corrente ter sido cortada. Ao tentarmos aproximar o pólo norte de um ímã do pólo norte de outro ímã, notaremos que haverá uma força magnética de repulsão entre esses pólos.

3 Os pólos de um ímã Do mesmo modo, notaremos que há uma força de repulsão entre os pólos sul de dois ímãs, enquanto que entre o pólo sul e norte haverá uma força de atração magnética. Resumindo: Pólos magnéticos de mesmo nome se repelem e pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem. Os pólos de um ímã são inseparáveis. Se você quebrar ao meio um ímã em forma de barra, as duas metades obtidas serão ímãs completos. Por mais que você quebre, nunca obterá um ímã com um único pólo.

4 A experiência de Oersted Até o ano de 1820, os cientistas pensavam que os fenômenos elétricos e magnéticos eram totalmente independentes, isto é, que não havia qualquer relação entre eles. Nesse ano, o físico dinamarquês ans Christian Oersted, professor da Universidade de Copenhague, realiou uma experiência que se tornou famosa por alterar completamente essas idéias: - Um fio retilíneo (no qual não havia corrente elétrica) foi colocado próximo a uma agulha magnética, orientada livremente na direção norte-sul; - Faendo-se passar uma corrente no fio, observou-se que a agulha se desviava; - Interrompendo-se a corrente no fio, a agulha voltava a se orientar na direção norte-sul.

5 A experiência de Oersted Portanto, a corrente elétrica no fio atuou sobre a agulha magnética de maneira semelhante a um ímã que fosse colocado próximo à agulha. Em outras palavras, a corrente elétrica estabeleceu um campo magnético no espaço em torno dela, e esse campo foi o agente responsável pelo desvio da agulha magnética. Como já sabemos que a corrente elétrica é constituída por cargas elétricas em movimento, podemos tirar a seguinte conclusão: cargas elétricas em movimento (corrente elétrica) criam, no espaço em torno delas, um campo magnético.

6 Introdução O campo magnético é capa de exercer forças não apenas sobre ímãs, mas também sobre condutores percorridos por correntes elétricas. A força gerada é a soma das pequenas forças que o campo magnético exerce sobre cada elétron em movimento. Não é, porém, necessário que os elétrons estejam dentro do fio para que sofram a ação do campo magnético. Isso também ocorre quando eles estão no exterior e se movem livremente.

7 Introdução Em geral, cada partícula carregada e em movimento sofre a ação de uma força exercida pelo campo magnético. Essa força é grande quando a partícula se desloca perpendicularmente às linhas de campo, e é igual a ero quando a partícula se move na mesma direção do campo magnético. A direção da força é perpendicular tanto à direção do movimento como à do campo magnético.

8 Introdução A força que um campo magnético exerce sobre um condutor percorrido por corrente pode ser utiliada para realiar trabalho. É o que ocorre nos motores elétricos, que transformam energia elétrica em energia mecânica. Essa força também é usada para faer funcionar uma grande variedade de aparelhos elétricos de medida, como amperímetros e voltímetros.

9 Lei de Biot-Savart Fontes de um campo magnético: - Imã permanente; - Campo elétrico variável linearmente no tempo; - Corrente contínua. A intensidade de campo magnético d produido por um elemento diferencial de corrente I 1 dl 1 é dada pela Lei de Biot-Savart.

10 Lei de Biot-Savart Em um ponto P qualquer no espaço, a intensidade do campo magnético produido por um elemento diferencial de corrente é proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo entre o filamento e linha que conecta o filamento do ponto P, onde o campo está sendo medido. d d 2 IdL ar A/ m 2 4πR IdL1 a 4πR R

11 Lei de Biot-Savart A Lei de Biot-Savart guarda certa semelhança com a Lei de Coulomb: de 2 Principal diferença: Direção do campo. dq 1 a 4πε R 0 R A Lei de Biot-Savart também é conhecida como Lei de Ampère para o elemento de corrente.

12 Lei de Biot-Savart Pela equação da continuidade corrente, tem-se: ρv. J t Como a corrente. J e, S 0 pelo J ds 0 é constante, Teorema da Divergência, A corrente acima é nula, já que atravessa uma superfície fechada, e será a fonte do campo magnético em estudo. A Lei de Biot-Savart só poderá ser verificada experimentalmente na forma integral em uma superfície fechada, isto é: Id L 4πR a 2 R

13 Lei de Biot-Savart O campo magnético produido pela corrente elétrica em um fio retilíneo depende basicamente de dois fatores: da intensidade da corrente e da distância ao fio. Quanto maior for o valor da corrente, maior será o campo magnético criado por ela. Por outro lado, quanto maior for a distância ao fio, menor será o valor do campo magnético. As linhas do campo magnético são circulares, centradas no fio. O sentido das linhas de campo magnético pode ser obtido pela regra da mão direita: segure o condutor com a sua mão direita, de maneira que o dedo polegar aponte o sentido da corrente. Os seus dedos apontarão no sentido das linhas de campo.

14 Lei de Biot-Savart Se o condutor tiver forma circular, ele se denomina uma espira. O campo magnético no centro de uma espira, depende do raio do círculo e da intensidade da corrente elétrica. Quanto maior a corrente, maior o valor do campo. Quanto maior o raio da espira, menor o valor do campo. Observe que as linhas de indução se concentram no interior do círculo e continua valendo a regra da mão direita para a determinação do seu sentido.

15 Lei de Biot-Savart Uma bobina, ou solenóide, é constituída por um fio enrolado várias vees, tomando uma forma cilíndrica. Cada uma das voltas do fio da bobina é uma espira. Ligando-se as extremidades da bobina a uma bateria, isto é, estabelecendo-se uma corrente em suas espiras, essa corrente cria um campo magnético no interior do solenóide. Seu valor, ao longo do eixo central, depende da intensidade da corrente elétrica, do número de espiras e do comprimento do solenóide.

16 Lei de Biot-Savart Para saber qual das extremidades de um solenóide é o pólo norte, você pode aplicar a regra da mão direita, da mesma maneira que fe com o fio condutor e com a espira. A intensidade de um eletroímã depende também do facilidade com que o material em seu interior é magnetiado. A maior parte dos eletroímãs são feitos de ferro puro, que se magnetia facilmente. Os eletroímãs são utiliados nas campainhas elétricas, telégrafos, telefones, amperímetros, voltímetros, etc.

17 Lei de Biot-Savart Linhas de fluxo magnético em torno de um filamento infinitamente longo.

18 Lei de Biot-Savart A Lei de Biot-Savart pode ser expressa em função da Densidade de Corrente (J) e da Densidade de Corrente de Superfície (K). A corrente de superfície flui em uma camada infinitesimal do condutor. Neste caso, a densidade J tende a infinito. A densidade de corrente de superfície (K) é medida em ampères por metro, na direção transversal (dn) ao sentido da corrente: K di I dn KdN

19 Lei de Biot-Savart O elemento diferencial de corrente I.dL, na direção da corrente, pode, portanto ser expresso em termos de J e K: IdL KdS Jdv A Lei de Biot-Savart transforma-se em: RdS Rdv K a e J a S 2 2 4π R vol 4π R

20 Lei de Biot-Savart Campo magnético devido a um filamento retilíneo percorrido por uma corrente constante. Não há variação em nem em φ. Tem-se, ainda, que: R 12 ρa ρ a a R 12 ρa ρ ρ 2 a + 2

21 dl 2 2 ρa I 4π ρ Integrando d Id Id + Iρa 4π Campo magnético estacionário Lei de Biot-Savart ρd φa a 4π a 4π + - ( ρa ) ρ a ( 2 2 ) 3 / 2 ρ + ( ρa ) ρ a ( 2 2 ) 3 / 2 ρ + ( 2 2 ρ + ) se φ φ ρd a ρ em 2 + ρ d a φ 3 / 2, 2 + tem se φ constante. I a 2πρ φ

22 Exercício 8.1 (a) Determinar o vetor campo magnético () em componentes cartesianas no ponto P(2 ; 3 ; 4) devido a um filamento conduindo uma corrente de 8 ma no eixo, na direção a. (b) Repetir o item a para um filamento localiado em x - 1 e y 2. (c) Encontrar o valor de se ambos os filamentos estiverem presentes.

23 Lei (Circuital) de Ampère As aplicações da Lei de Biot-Savart que envolvem alto grau de simetria podem ser mais facilmente resolvidas pela Lei Circuital de Ampère. Condutor atravessado por uma corrente total I. A Lei de Ampère estabelece que a integral de linha de um campo magnético em qualquer percurso fechado é igual à corrente enlaçada pelo percurso. A integral no percurso c é menor que I, visto que a corrente total não é enlaçada pelo caminho..dl I

24 Lei (Circuital) de Ampère Retornando à situação de um filamento infinitamente longo atravessado por uma corrente, coincidindo com o eixo, tem-se que o deslocamento da corrente se dá na direção definida por a. O campo magnético devido à corrente está em plano perpendicular ao filamento. Logo, não possui variação em. Além disso, as linhas que definem o campo magnético são circulares, o que indica que não há variação, também, em φ. Podemos aplicar a Lei Circuital de Ampère supondo um deslocamento dl igual a ρdφ, conforme se segue, observando que o campo magnético possui apenas componente em φ.

25 Lei (Circuital) de Ampère 2π 2π. d L ρdφ ρ dφ 2πρ I φ φ φ 0 0 φ 1 2πρ

26 Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial Seção reta de um cabo coaxial com uma corrente constante I no condutor interno e I no condutor externo, ambas uniformemente distribuídas. Os filamentos de corrente produem componentes de em ρ e φ, que se cancelam. Não existem componentes de na direção.

27 Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial Para ρ maior que o raio a do condutor interno e menor que o raio b do condutor externo, temos que a corrente enlaçada é: I φ ( a < ρ < b) 2πρ Para ρ menor que o raio a do condutor interno, a corrente enlaçada será: I enl I πρ πa 2 2 I ρ a 2 2 φ Iρ 2πa 2

28 Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial Se ρ for maior que o raio c do condutor externo, a corrente será igual a ero. φ 0 ( ρ > c)

29 Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial Se o percurso estiver dentro do condutor externo, a corrente atravessa a região cujo raio está definido por b<ρ<c será a total menos a corrente correspondente à região cujo raio está definido por ρ>b, isto é: ρ b ρ b I I 2πρ I I c b c b 2 2 I c ρ φ ( b< ρ < c) 2 2 2πρ c b φ 2 2

30 Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial Variação do campo magnético em um cabo coaxial, em função do raio.

31 Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme Densidade de corrente de superfície ipótese: a corrente de retorno estará dividida entre duas lâminas eqüidistantes da lâmina acima.

32 Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme Fatos: 1) Como a corrente está na direção de y, não há componente y; 2) Como a corrente de retorno é suposta simétrica em relação à lâmina, as componentes se cancelam; 3) Só há a componente x. 4) O percurso de integração escolhido é , cujos segmentos são paralelos ou perpendiculares a x.

33 Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme Aplicando a Lei Circuital de Ampère ao percurso de integração teremos: L+ ( L) K L x1 x2 y K x1 x2 y Aplicando a mesma Lei, agora ao percurso de integração , vem: K x3 x2 y x3 x1 Portanto, x é o mesmo, tanto para valores positivos quanto negativos de, porém simétricos. 1 1 x Ky, > 0 x Ky, < 0 2 2

34 Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme Em termos genéricos, e considerando o vetor unitário a N perpendicular à lâmina, podemos escrever, para qualquer valor de : 1 K a 2 Supondo a existência de uma segunda lâmina em h, paralela à primeira e com corrente fluindo no sentido contrário, isto é, K - K y a y, a expressão anterior indica que o campo na região entre ambas as lâminas será: K an (0 < < h) e 0 ( < 0, > h) N

35 Lei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide Solenóide ideal de comprimento infinito, com uma lâmina circular de corrente K K φ a φ. Solenóide real de comprimento finito d, com N espiras.

36 Lei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide Para um solenóide real de comprimento finito d, com N espiras, percorrido por uma corrente filamentar I, o valor do campo magnético para pontos no interior do solenóide, pode ser obtido pela fórmula aproximada: NI d a A fórmula acima não é valida para pontos mais próximos da superfície do solenóide do que duas vees a separação entre as espiras, nem para pontos mais próximos das extremidades do que duas vees o raio do solenóide..

37 Lei Circuital de Ampère aplicada a um toróide Toróide ideal com uma corrente superficial K. Toróide real com N espiras, percorrido por uma corrente I. Para fórmulas mais precisas e mais abrangentes sobre solenóides, toróides e espiras de formas diversas, consultar: Standard andbook for Electrical Engineers.

38 Aplicando-se a Lei Circuital de Ampère aos 4 lados do percurso incremental ao lado, tem-se: y x x x y y x y y x J x x dl J y y dl J y x y x dl. lim. lim. lim 0 0 0

39 A combinação das 3 equações anteriores gera o elemento denominado rotacional. O rotacional de qualquer vetor é um vetor. Em termos matemáticos, tem-se: ( ) a a a + + rot y x x y rot S dl rot x y y x x y n S n n 0 lim

40 Teorema de Stokes O Teorema de Stokes define a equivalência entre a integral de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada formada por elementos dl e a integral do rotacional do referido campo na superfície ds, limitada pelo percurso formado pelos elementos dl. Por extensão ao campo magnético, temos: dl ids S ( )

41 Fluxo Magnético O Fluxo Magnético Φ, semelhantemente ao fluxo elétrico, pode ser considerado como uma grandea associada ao número de linhas que atravessa uma superfície. Analogamente, podemos definir a Densidade de Fluxo Magnético B, como sendo a relação B µ sendo µ a permeabilidade do meio. O Fluxo Magnético Φ, é medido em weber (Wb), enquanto a Densidade de Fluxo Magnético B é medida em weber por metro quadrado (Wb/m 2 ), ou tesla (T). µ é definido em henry por metro (/m). Para o vácuo, µ 0 4π x 10-7 /m.

42 Fluxo Magnético As relações B µ e D εe permitem que se estabeleça uma analogia entre os campos elétrico e magnético. O Fluxo Magnético Φ, pode ser escrito como: Φ BidS Wb, valendo lembrar que Ψ DidS C S S As linhas de fluxo magnético não terminam em uma carga magnética. Assim, a Lei de Gauss para o campo magnético é expressa por: Φ BidS0 S Logo, pelo Teorema da Divergência, i B0

43 Equações de Maxwell As Equações de Maxwell podem agora ser resumidas pela tabela abaixo: Forma diferencial Forma integral id ρ v S DidSQ vol ρ dv v E 0 EidL0 J idli JidS S ib 0 BidS 0 S

44 Potenciais magnéticos escalar e vetorial Foi visto anteriormente que um campo elétrico pode ser obtido a partir do potencial elétrico, mediante a relação: E V Partindo da hipótese que é possível definir um potencial magnético, com analogia ao campo elétrico, tem-se: V m O potencial magnético só tem significado físico em Física Quântica. No eletromagnetismo clássico, possui somente significado matemático. ib 0 A equação de Maxwell define que não existem monopolos magnéticos. Uma ve que o divergente de um campo vetorial é nulo, e, Das propriedades da divergência, podemos reescrever o divergente como sendo o rotacional de um outro campo vetorial: i A 0

45 Potenciais magnéticos escalar e vetorial Temos, pois, que: B A O campo vetorial A é denominado potencial magnético vetorial, a partir do qual pode-se determinar o campo magnético com a operação acima. Assim, 1 A µ A B B A µ J µ 2 2 i ( A) A µ J A µ J A a + A a + A a µ ( J a + J a + J a ) x x y y x x y y

46 Potenciais magnéticos escalar e vetorial Logo, A µ J A µ J A µ J x x y y As relações acima tomam a forma da Equação de Poisson e, portanto: µ µ µ Ax Jxdv Ay Jydv A Jdv 4πR vol 4πR vol 4πR vol µ A Jdv 4π R vol A expressão acima tem o mesmo significado da Lei de Biot-Savart.

47 Potenciais magnéticos escalar e vetorial Portanto, A pode ser re-escrito como, que corresponde a uma corrente I que flui ao longo de um filamento condutor, do qual dl é um elemento diferencial e R é a distância para a qual se deseja calcular A. da µ IdL 4π R Na forma diferencial,. µ A IdL 4π R

48 Potenciais magnéticos escalar e vetorial da da µ Id 4π 4π ρ 2 2 µ Id ρ + a Note-se que a direção de da é a mesma de IdL. Agora pode-se calcular o campo magnético a partir de A. 1 1 da Id ρ d da φ d φ µ µ ρ a a 4π ( ) ρ + Este resultado é o mesmo obtido pela Lei de Biot-Savart

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