Erros de Estado Estacionário. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Erros de Estado Estacionário Carlos Alexandre Mello 1

2 Introdução Projeto e análise de sistemas de controle: Resposta de Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário (ou Permanente) Diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste pré-determinada quando t Entradas de teste comuns: degrau, rampa ou parábola 2

3 Introdução Como estamos preocupados com a diferença entre a entrada e saída de um sistema de controle com re-alimentação depois de alcançar o estado estacionário, vamos nos limitar a estudar sistemas estáveis, onde a resposta natural tende a zero quando t Considere os exemplos a seguir... 3

4 Introdução Exemplo 1: Uma entrada degrau gera duas possíveis saídas: output1 tem erro de estado estacionário zero e output2 tem erro finito, e 2 (no infinito) 4

5 Introdução Exemplo 2: Aqui, para uma rampa de entrada, temos erro zero para a output1, erro finito para output2 e infinito para a output3 5

6 Introdução Sistemas com Re-Alimentação Unitária Sistema de controle re-alimentado onde o ganho do laço de re-alimentação é 1 Malha Fechada (Representação Geral) T(s) é a função de transferência equivalente Erro C(s) = R(s)T(s) E(s) = R(s) C(s) = R(s) R(s)T(s) E(s) = R(s)[1 - T(s)] 6

7 Introdução Sistemas com Re-Alimentação Unitária Malha Fechada (Re-Alimentação Unitária) Erro C(s) = E(s)G(s) E(s) = R(s) C(s) = R(s) E(s)G(s) E(s)[1 + G(s)] = R(s) E(s) = R(s)/[1 + G(s)] 7

8 Introdução Erro de estado estacionário finito para uma entrada degrau E(s) = R(s)/(1 + K) E(s) = 1/[s(1 + K)] e(t) = [1/(1+K)]u(t) = 1/(1 + K) K e(t) 0 8

9 Introdução Erro de estado estacionário zero para uma entrada degrau E(s) = R(s)/(1 + K/s) E(s) = 1/[s(1 + K/s)] e(t) = 1/(s + K) = e -Kt u(t) = e -Kt Ou seja, o erro decai até zero. 9

10 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária O erro de estado estacionário pode ser calculado a partir da função de transferência de um sistema de malha fechada (T(s)) ou aberta (G(s)) para sistemas com re-alimentação unitária Vamos começar analisando o erro em relação à função de transferência de malha fechada T(s) Depois, analisaremos o sistema em malha aberta G(s), introduzindo a re-alimentação unitária 10

11 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Considere o erro E(s), a entrada R(s) e a saída C(s) para o sistema de malha fechada abaixo Lembrando que T(s) é a função de transferência equivalente Como calculamos antes, E(s) = R(s)[1 T(s)] Estamos interessados em e(t), quando t 11

12 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária e( ) = lim t e(t) A transformada de Laplace da derivada de uma função é, por definição (Teorema do valor final): Quando s 0: 12

13 Assim: Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária e( ) = lim t e(t) = lim s 0 se(s) Com isso: e( ) = lim s 0 s{r(s)[1 T(s)]} 13

14 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo: Dado o sistema abaixo Seja: Assim: Para R(s) = 1/s 14

15 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo (cont.): T(s) é estável, pois só tem polos no semi-plano esquerdo (-2 e -5) Assim, E(s) também não tem polos no semi-plano direito ou complexos (seu único novo polo é a origem) Com isso, podemos aplicar o Teorema do Valor Final e( ) = lim t e(t) = lim s 0 se(s) e( ) = 1/2 15

16 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Sistema com malha fechada com re-alimentação unitária Solução 1: Achar a função equivalente T(s) e analisar como antes Solução 2: Definir o erro de estado estacionário em função de G(s) 16

17 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Sistema com malha fechada com re-alimentação unitária Com a re-alimentação unitária, E(s) é realmente o erro entre a entrada e a saída E(s) = R(s) C(s) C(s) = E(s)G(s) E(s) = R(s) E(s)G(s) E(s) = R(s)/[1 + G(s)] 17

18 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Aplicando o Teorema do Valor Final E(s) = R(s)/[1 + G(s)] e( ) = lim s 0 sr(s)/[1 + G(s)] Essa expressão calcula o erro de estado estacionário, e( ), dada a entrada R(s) e o sistema G(s) Vamos analisar o erro para três tipos diferentes de entrada... 18

19 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Degrau: R(s) = 1/s e degrau ( ) = lim s 0 s(1/s)/[1 + G(s)] e degrau ( ) = 1/[1 + lim s 0 G(s)] O termo lim s 0 G(s) é o termo dc da função de transferência já que s, a variável de frequência, se aproxima de zero Para ter erro estacionário zero devemos ter lim s 0 G(s) 19

20 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Degrau: Para uma entrada degrau para um sistema de realimentação unitária, o erro de estado estacionário será zero se existir pelo menos um integrador puro no caminho à frente Isso implica que G(s) terá, pelo menos, um 1/s (polo na origem) o que leva G(s), quando s 0 n 1 Se não existir integração, então o erro será finito e diferente de zero 20

21 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Rampa: R(s) = 1/s 2 e rampa ( ) = lim s 0 s(1/s 2 )/[1 + G(s)] = lim s 0 1/[s + sg(s)] e rampa ( ) = 1/lim s 0 sg(s) Para ter erro estacionário zero devemos ter lim s 0 sg(s) Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir pelo menos dois integradores no caminho à frente n 2 21

22 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Rampa: R(s) = 1/s 2 Se houver apenas um integrador, o erro será finito Se não houver integrador, o erro será infinito Já que 22

23 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Parabólica: R(s) = 1/s 3 e parábola ( ) = lim s 0 s(1/s 3 )/[1 + G(s)] = lim s 0 1/[s 2 + s 2 G(s)] e parábola ( ) = 1/lim s 0 s 2 G(s) Para ter erro estacionário zero devemos ter lim s 0 s 2 G(s) Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir pelo menos três integradores no caminho à frente n 3 23

24 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Entrada Parabólica: R(s) = 1/s 3 Se houver apenas dois integradores, o erro será finito Se não houver integrador, o erro será infinito Já que 24

25 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo 1: Erros de estado estacionário para sistemas sem Integradores Entradas: 5u(t) 5tu(t) 5t 2 u(t) Sistema estável: duas raízes reais no semi-plano esquerdo 25

26 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo 1 (cont.): Entrada 5u(t): Entrada 5tu(t): Entrada 5t 2 u(t): 26

27 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo 2: Erros de estado estacionário para sistemas com um Integrador Entradas: 5u(t) 5tu(t) 5t 2 u(t) Sistema estável: três raízes reais no semi-plano esquerdo 27

28 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo 2 (cont.): Entrada 5u(t): Entrada 5tu(t): Entrada 5t 2 u(t): 28

29 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária Exemplo 3: Ache o erro de estado estacionário para as entradas 15ut, 15tu(t), 15t 2 u(t) para a seguinte função de transferência: Solução: O sistema é instável (há raiz com multiplicidade dupla), logo nenhum cálculo precisa ser feito 29

30 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Constantes de Erro Estático: especificações de desempenho de erro de estado estacionário Como definimos antes taxa de amortecimento, frequência natural, tempo de acomodação, etc. Constante de Posição: K p Constante de Velocidade: K v Constante de Aceleração: K a 30

31 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo: Entrada degrau: Entrada rampa: Entrada parabólica: 31

32 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Tipo de Sistema Continuando com sistemas com re-alimentação unitária negativa As constantes de erro estático dependem da forma de G(s), principalmente, do número de integrações puras no caminho à frente O tipo do sistema depende do número n de integrações 32

33 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Tipo de Sistema 33

34 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 1: Um sistema com re-alimentação unitária tem a seguinte função de transferência à frente Defina o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka Ache as respostas para entrada degrau, rampa e parabólica 34

35 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 1 (cont.): Kp = lim s 0 G(s) = 8000/63 = 127 Kv = lim s 0 sg(s) = 0 Ka = lim s 0 s 2 G(s) = 0 Assim: e degrau ( ) = 1/(1 + Kp) = 1/( ) = 0,0078 e rampa ( ) = 1/Kv = e parábola ( ) = 1/Ka = 35

36 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 1 (cont.): 36

37 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 2: Que informações as constantes de erro estático podem trazer: Suponha um sistema com Kv = 1000: O sistema é estável O sistema é do Tipo 1, já que Kv é constante Kv = 0 para Tipo 0 e Kv = para Tipo 2 A entrada de teste foi uma rampa O erro de estado estacionário é 1/Kv 37

38 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 3: Que informações temos de um sistema com especificação Kp = 1000? O sistema é estável O sistema é do Tipo 0 Kp = para sistemas Tipo 1 e 2 A entrada de teste é um degrau e degrau ( ) = 1/(1 + Kp) = 1/1001 0,001 38

39 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 4: Dado o sistema de controle a seguir, encontre o valor de K tal que o erro de estado estacionário seja de 10% 39

40 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 4 (cont.): Primeiro: Definir tipo do sistema Kp = lim s 0 G(s) = Kv = lim s 0 sg(s) = 5K/336 Ka = lim s 0 s 2 G(s) = 0 Logo, o sistema é do Tipo 1 Usando a especificação dada no problema: e( ) = 1/Kv = 0,1 Kv = 10 Assim, K = 672 Podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para confirmar a estabilidade para esse valor de K 40

41 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 5: Dado o sistema de controle a seguir, encontre o valor de K tal que o erro de estado estacionário seja de 10% 41

42 Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema Exemplo 5 (cont.): Primeiro: Definir tipo do sistema Kp = lim s 0 G(s) = 12K/252 Kv = lim s 0 sg(s) = 0 Ka = lim s 0 s 2 G(s) = 0 Logo, o sistema é do Tipo 0 Usando a especificação dada no problema: e( ) = 1/(1 + Kp) = 0,1 1 + Kp = 10 Kp = 9 Assim, K = 189 Novamente, podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para confirmar a estabilidade para esse valor de K 42

43 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Sistema genérico com re-alimentação Transdutor de Entrada Controlador e Planta Feedback Fazendo uma redução no diagrama, temos... 43

44 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Sistema genérico com re-alimentação Onde, G(s) = G 1 (s)g 2 (s) e H(s) = H 1 (s)/g 1 (s) 44

45 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Primeiro, vamos transformar o sistema de controle com re-alimentação não-unitária em um sistema com re-alimentação unitária adicionando e subtraindo caminhos de re-alimentação unitária 45

46 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Em seguida, combinamos H(s) com a realimentação unitária negativa... 46

47 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Finalmente, combinamos G(s) com H(s) -1 Passamos a ter uma re-alimentação unitária e E(s) em função de R(s) e C(s) 47

48 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Exemplo: Para o sistema abaixo, ache o tipo de sistema, a constante de erro apropriada ao sistema e o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário 48

49 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Exemplo (cont.): O primeiro passo é transformar o sistema em um sistema de re-alimentação unitária De acordo com o processo anterior, temos: Com: 49

50 Erro de Estado Estacionário para Sistemas de Re-Alimentação Não-Unitária Exemplo (cont.): O sistema é do Tipo 0 já que não tem nenhuma integração pura Assim, Kp = lim s 0 G e (s) = 500/(-400) = -1,25 e( ) = 1/(1 + K p ) = 1/(1 1,25) = -4 O valor negativo do erro de estado estacionário implica que o degrau de saída é maior que o degrau de entrada 50

51 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 7, Problemas: 1, 3, 4, 5, 9, 11, 13,18, 21, 23, 38, 42 51

52 A Seguir... Lugar das Raízes 52