ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTUM ANGULAR Física Geral I ( ) - Capítulo 08

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1 ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTUM ANGULAR Física Geral I ( ) - Capítulo 08 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 21

2 Sumário Rolamento Rolamento como rotação e translação combinados e como uma rotação pura Energia cinética de rolamento e forças do rolamento Torque Torque revisado Momentum angular Momentum angular, 2 a Lei de Newton na forma angular, Momentum angular de um sistema de partículas e de um corpo rígido Conservação do momentum angular 2 / 21

3 Rolamento como rotação e translação combinados Rolamento Pode-se definir o rolamento, como o movimento que um roda faz ao se deslocar. Por exemplo, uma roda de bicicleta. Este movimento pode ser entendido do ponto de vista físico de duas formas: (1) Como uma combinação do movimento de translação e rotação da roda ou (2) apenas como o movimento de rotação pura. O movimento de rolamento pode ser observado de duas maneiras diferentes. No caso da roda deslizando suavemente, o centro da roda descreve um movimento uniforme, enquanto que um ponto na periferia da roda, descreverá um movimento mais complexo como pode ser visto na Figura abaixo: 3 / 21

4 Rolamento como rotação e translação combinados Imagine o movimento de uma roda de bicicleta que rola suavemente sem deslizar conforme ilustra a figura ao lado. O centro de massa O da roda se move para frente com velocidade de constante de módulo v cm que permanece sempre a mesma distância do ponto P, que é o ponto de contato da roda com o solo, em relação à vertical. Durante um intervalo de tempo t um observado afastado da bicicleta vê o os pontos P e O se moverem para frente a uma distância s. Já o ciclista, olhando para o pneu, vê a roda girar um ângulo θ em torno do eixo da roda. O comprimento de arco s está relacionado com o ângulo θ pela seguinte expressão: s = Rθ em que R é o raio da roda. O módulo velocidade linear do centro de massa é dada por: v cm = ds dt = d dt θr = ωr. 4 / 21

5 Rolamento como rotação e translação combinados Na figura acima pode ser visto que o movimento de rolamento (c) pode ser entendido como a soma do movimento de rotação pura (a) com o movimento de translação pura (b) da roda A figura ao lado mostra mostra a fotografia de uma roda de bicicleta rolando. Esta imagem comprova o que foi explicado acima porque os raios próximos a superfície estão nítidos enquanto que os raios da parte superior estão borrados. 5 / 21

6 Rolamento como rotação pura O rolamento também pode ser enxergado como uma rotação pura em torno do ponto P A figura ao lado mostra a distribuição dos vetores velocidades em diversos pontos da roda. A velocidade angular do movimento em relação à esse novo eixo de rotação visto por um observador estacionário é exatamente igual a velocidade angular que o ciclista atribui a roda quando observa o movimento de rotação pura. Desta maneira, o módulo da velocidade no ponto mais alto da roda, será: v alto = ω2r = 2ωR = 2v cm, que concorda com o que foi discutido para o caso do rolamento como combinação da rotação e da translação. 6 / 21

7 Energia cinética de rolamento Para calcular a energia cinética da roda em movimento por um observador estacionário, considere o rolamento como o caso da rotação pura em torno do ponto P. A energia cinética é dada por: K = 1 2 I Pω 2, no qual, ω é o módulo da velocidade angular da roda e I P é o momentum de inércia em relação ao eixo que passa por P. Do teorema do eixo paralelo tem-se que I P = I cm + MR 2, na qual M é a massa da roda, I cm é o momentum de inércia para o eixo que passa pelo centro de massa da roda de raio R. Combinando essas duas equações, tem-se: K = 1 2 Icmω MR2 ω 2 K = 1 2 Icmω Mv 2 cm. Um objeto rolando possui dois tipos de energia cinética: Um termo devido a rotação em torno do seu centro de massa e outro devido ao movimento de translação do seu centro de massa. 7 / 21

8 Forças do rolamento Se uma roda rola com velocidade constante, nenhuma força atua sobre ela e não existe força de atrito que se oponha ao movimento. Entretanto, se uma força resultante atuar sobre a roda para aumentar ou diminuir sua velocidade, então, a força resultante provoca uma aceleração do centro de massa. Ela também faz a roda gira mais rapidamente ou mais lentamente, o que significa que que ela provoca uma aceleração angular α em torno do centro de massa. Essas acelerações tendem fazer a roda deslizar em torno do ponto P. Assim, uma força de atrito surge para se opor essa tendência. Se a roda não deslizar, a força de atrito será uma força de atrito estática f s e o movimento de rolamento será suave. A aceleração linear do centro de massa neste caso será: a cm = αr. Se a roda deslizar quando a força resultante atuar sobre ela, a força de atrito é dita cinética f k e o rolamento não é suave. Neste curso serão estudados apenas rolamentos suaves. 8 / 21

9 Rolamento numa rampa A figura ao lado mostra um corpo uniforme redondo de massa M e raio R rolando suavemente para baixo numa rampa inclinada de ângulo θ ao longo do eixo x. Escrevendo a componente x da segunda lei de Newton, tem-se f s Mg sin θ = Ma cm. Usando a segunda lei de Newton para sua forma angular fica I cmα = Rf s. Agora α = acm,x, logo f s f s = I cm a cm,x R 2. 9 / 21

10 Rolamento numa rampa Substituindo a última expressão do slide anterior na segunda lei de Newton para as variáveis lineares, tem-se a cm,x = g sin θ 1 + I cm/mr 2 que é a equação que pode ser utilizada para calcular a aceleração linear do centro de massa de qualquer corpo que esteja rolando sobre um plano inclinado de ângulo θ. Para um ioiô que desliza verticalmente num cordão a expressão para a aceleração linear do centro de massa pode ser calculada analogamente por (ver figura ao lado): g a cm =, 1 + I cm/mr0 2 em que I cm é a inércia à rotação do ioiô em torno do seu centro e M é a sua massa. IOIÔ 10 / 21

11 Torque O torque pode ser escrito de uma forma mais ampla, por exemplo para qualquer partícula descrevendo qualquer trajetória e não apenas para o movimento circular como havíamos discutido no capítulo anterior. A Figura acima ilustra essa forma mais geral que pode ser escrita matematicamente por: 11 / 21

12 Torque τ = r F. A direção e o sentido do vetor torque pode ser dada pela regra da mão direita e sua intensidade é definida por τ = rf sin φ, neste caso, φ é o ângulo entre os vetores r e F. Isto implica, que apenas a componente perpendicular à força aplicada contribui para o torque, logo, o módulo do torque também pode ser expresso por: ou τ = r F, τ = rf. 12 / 21

13 Momentum angular Da mesma forma que a quantidade de movimento linear e o princípio de conservação do momentum linear foram importantes para os movimentos de translação. Existe uma grandeza física equivalente na rotação chamada de momentum angular. O momentum angular é uma grandeza vetorial definida por: 13 / 21

14 Momentum angular l = r p = m( r v). neste caso, r é o vetor posição da partícula em relação ao ponto O que é ilustrado na figura do slide anterior. A intensidade do vetor momentum angular é dado por: l = rmv sin φ, em que φ é o ângulo entre r e p. A direção e o sentido do vetor l é dada pela regra da mão direita. Da mesma maneira que o torque, o módulo do momentum angular pode ser calculado por ou l = r mv, l = rmv. MOMENTUM ANGULAR 14 / 21

15 2 a lei de Newton na forma angular Para demonstrar a expressão para a segunda lei de Newton na forma angular, parte-se da definição de momentum angular, ou seja, l = m( r v), derivando com relação ao tempo tem-se d ( l dt = m r d v dt + d r ) dt v agora, d v dt = a e d r dt = v. Portanto, d l = m ( r a + v v) dt mas, v v = 0, logo d l = ( r m a) dt Por fim, pode-se escrever d l dt = r F = τ, que é a segunda lei Newton considerando movimento de rotação e em função do momentum angular. 15 / 21

16 Momentum angular de um sistema de partículas Se for necessário calcular o momentum angular devido a um sistema de partículas, utiliza-se o princípio da superposição, ou seja: L = l1 + l 2 + l l n = n l i, i=1 o índice i identifica as partículas. A variação temporal do momentum angular total do sistema devido à mudanças do momentum angular de um ou mais partículas pode ser escrito por: d L n dt = i=1 d l i dt Utilizando a segunda lei de Newton na forma angular, tem-se d L dt =. n τ res,i, i=1 neste caso, τ res,i é o torque resultante que age sobre a i-ésima partícula. Então, a variação temporal do momentum angular é igual a somas dos torques que atuam sobre as partículas que compõe o sistema. Porém, torques internos são compensados e apenas torque devido à forças externas são capazes de modificar o momentum angular do sistema, desta forma pode-se se escrever: isto é: τ res = d L dt, O torque externo atuando sobre um sistema de partículas é igual à taxa de variação do momentum angular total do sistema. 16 / 21

17 Momentum angular de um corpo rígido Para o esquema da figura ao lado, o corpo rígido gira com velocidade angular ω constante em torno de um eixo fixo. O módulo do momentum linear do elemento de massa m i pode ser calculado por: l i = r i p i sin α = r i p i sin π 2 l i = r i p i = r i m i v i É de interesse, para este caso apenas a componente z, logo l iz = l i sin θ = r i sin θ m i v i. l iz = r i m i v i. 17 / 21

18 Momentum angular de um corpo rígido Somando para todos os elementos de massa m i, tem-se L z = mas I = n l iz = i=1 L z = n m i v i r i i=1 n m i ω i r i 2, i=1 n m i r i 2, então i=1 L = I ω. L é o módulo do momentum angular em torno do eixo fixo z e I é o momentum de inércia do sistema calculando em torno deste mesmo eixo. 18 / 21

19 Conservação do momentum angular Se o torque externo que atua sobre um sistema for nulo, da segunda lei de Newton, tem-se: logo τ res = d L dt = 0, L = constante Li = L f. isto implica que o sistema está isolado, ou seja, nenhuma força externa atua sobre o mesmo. Este o o princípio de conservação do momentum angular que ainda pode ser escrito da seguinte forma: Se o torque resultante que atua sobre um sistema for nulo, o momentum angular do sistema L permanece constante e não importa as mudanças que ocorrem dentro do sistema. O momentum angular é uma grandeza vetorial. Porém, se o torque resultante em uma das componentes do sistema for nula, o momentum angular desse se conservar naquela direção. 19 / 21

20 Conservação do momentum angular EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 EXEMPLO 3 20 / 21

21 Exercícios LIVRO: Fundamentos de Física AUTORES: Halliday e Resnick 8 a Edição. Volume 1 - Mecânica CAPÍTULO 11 - ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTUM ANGULAR - Pág Problemas 06, 08, 22, 24, 30, 35, 41, 55, 59, / 21