Primeira Lista de Exercícios de Métodos Numéricos II Primeiro semestre de 2015

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1 Primeira Lista de Exercícios de Métodos Numéricos II Primeiro semestre de 015 Introdução Antes de apresentar a lista, introduzirei alguns problemas já vistos em sala de aula para orientar e facilitar a solução dos problemas propostos. Um programa novo foi colocado na página da disciplina com o nome de Euler_heun_rk4.c. É o mesmo programa apresentado em sala de aula e que contém a implementação dos métodos de Euler, Heun e Runge-Kutta clássico de quarta ordem de forma a podermos comparar as questões relativas à estabilidade condicional dos métodos e as sensibilidades de cada um. Descreverei cada um dos exemplos, valores dos parâmetros usados e o que pode ser observado. Para simplificar ao máximo a experimentação numérica, mantenho as condições iniciais iguais para todos os casos. As indicações de compilação e descarga da saída do arquivo são deixadas em aberto pois estas podem variar dependendo da ferramenta usada por você. As indicações feitas na geração de gráficos leva em conta que a ferramenta usada é o gnuplot. A escolha pelo gnuplot se deu pelo fato dele, um programa criado em 1986, estar em plena evolução e aperfeiçoamento até a data de hoje. Além disto, existem versões para a grande maioria das plataformas existentes. Assim, não há risco de incompatibilidades no processo de geração e verificação dos gráficos. No entanto, você está livre para usar qualquer outra ferramenta de criar gráfico desde que não seja numa planilha. As particularidades de cada planilha podem gerar uma dificuldade extra no processo de correção dos trabalhos. Suporei que o nome do arquivo gerado em todos os casos seja ehr.dat. O programa gera um arquivo constituído de quatro colunas: a primeira são os valores de x, a segunda os valores de y segundo o método de Euler, a terceira coluna tem os valores dados pelo método de Heun e a quarta os valores obtidos pelo método de Runge-Kutta clássico de quarta ordem que será indicado no restante do texto como RK4. A geração dos gráficos será ilustrada pelo uso do gnuplot em linha de comando. São simples as adaptações para o gnuplot usando sistemas de janelas. Na página da disciplina você encontrará indicação de manuais e tutoriais do gnuplot. I) dx = y ; y (0)=1 Este é um caso muito simples do qual a solução analítica é y (x)=e x. Neste exemplo iniciamos por usar h = 1 / e o valor de x final será 5. Ao gerar o gráfico usando o comando gnuplot> plot ehr.dat u 1: w l, ehr.dat u 1:3 w l, ehr.dat u 1:4 w l você verá três curvas indicadas nas legendas com cada coluna usada. Você notará que os valores dados pelo método de Euler são uma sub-avaliação dos valores da solução exata. Heun e RK4 ainda subestimam os valores mas menos gritantemente. Uma possibilidade interessante está em você modificar o programa para que ele gere o valor da solução exata de forma compará-la visualmente com as soluções aproximadas.

2 Modifique agora o valor de h para 1 / 4 e você notará que haverá uma discrepância menor entre Heun e RK4. Diminua h para, por exemplo, 1 / 10 e você notará que visualmente haverá uma discrepância bem pequena entre os métodos de Heun e RK4. Lembremos que você não pode chegar a conclusão que assim está bom. O olhômetro é um péssimo instrumento de medida. II) = y sen(x); y (0)=1 dx Este é um problema ligeiramente mais complexo que o anterior e a solução analítica é y (x)=e 1 cos x. O valor de h inicialmente será 1 / 4 e o valor final para x será 1 para facilitar a observação das oscilações que caracterizam a solução desta equação diferencial. Novamente usando o comando do gnuplot gnuplot> plot ehr.dat u 1: w l, ehr.dat u 1:3 w l, ehr.dat u 1:4 w l você verá mais informações que no exemplo anterior no qual a função era monotonamente crescente. Algo em comum com o exemplo posterior será percebido: o pior desempenho do método de Euler frente aos outros métodos. No entanto, você poderá observar que quando o comportamento da solução estiver numa região de crescimento ou decrescimento mais contínuo, o comportamento da inclinação das curvas será bem próximas, mesmo que os valores sejam diferentes. Algo mais sutil está acontecendo. Observe que quando a solução muda o sinal da derivada, o método de Euler, por assim dizer, demora um pouco a perceber esta mudança, ou seja, ele custa um pouco a perceber a mudança. É fácil de compreender o porque disto. O método de Euler é de ordem 1, ou seja, ele é equivalente à série de Taylor com apenas o primeiro termo que é a derivada de y. Assim, Euler é sensível às variações de y mas não à derivada segunda de y que carrega a informação da troca de sinal da derivada; em outras palavras, a concavidade da curva. Os métodos de Heun e RK4 já são ambos sensíveis à derivada segunda e é por isto que eles descrevem melhor as mudanças no sinal da derivada. Experimente diminuir um pouco mais o valor de h e observe as diferenças. III) = 10 y ; y (0)=1 dx Aqui temos mais um exemplo simples e de solução analítica y (x)=e 10 x. É fácil de perceber que a solução cai rapidamente para zero. Comecemos por usar h = 1 / e resolvamos numericamente até x = 1,5. Usando o comando gnuplot> plot ehr.dat u 1: w l, ehr.dat u 1:3 w l, ehr.dat u 1:4 w l Talvez seja necessário uma mudança nas escalas da figura para que você observe todos os detalhes da mesma. Você notará que os métodos darão resultados com comportamentos completamente diferentes da solução analítica. Euler dá uma função periódica constituída por uma poligonal, Heun dá um valor constante enquanto RK4 dá valores que descem negativamente. O motivo disto é sutil mas que já foi apresentado no material didático: o valor dado para h faz com que os termos truncados pela série de Taylor tenham uma contribuição maior que o próprio método! Ou, em outras palavras, as fórmulas não

3 funcionam mais como métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias. Diminuindo h para 0,4 e depois para 0,3 e suscetivamente até 0,1 veremos os resultados aos poucos se comportar como esperado. Isto é, portanto, um alerta que demonstra que a escolha de h não é arbitrária. Lembrem-se que pelo que vimos na teoria diminuir h arbitrariamente também não é solução. IV) = 5 y ; y (0)=1 dx Este caso tem como solução analítica y (x)= 1 5 ( + 3e 5 x ). Os valores usados para h são semelhantes aos usados no caso anterior, havendo modificação apenas no valor final de x que vai para 3. O interessante é que apesar das soluções serem bem diferentes, para valores maiores de h os comportamentos são muito parecidos demonstrando que as fórmulas efetivamente não funcionam como métodos de resolução de equações diferenciais para estes valores de h. Observações sobre o valor de h No desenvolvimento teórico vimos que não podemos diminuir indefinidamente o valor de h. Há uma relação de compromisso entre a diminuição de h e o valor mínimo representável na máquina utilizada para os cálculos. Assim, para contrabalançar as questões observadas os exemplos anteriores, vamos discutir aqui o efeito numérico de usarmos valores 'pequenos' para h. Aqui não levaremos em consideração a questão relativa à eficiência pois claramente quanto menor for h, maior será o tempo de processamento. Abaixo vai a saída de um programa que calcula a derivada de sen(x) usando a definição da derivada usada matemática, ou seja, dx =lim h y (x+ h) y (x) h. No entanto, usaremos esta expressão não no sentido matemático por dois motivos: i) nós não trabalhamos aqui com infinitesimais; ii) num computador/calculadora existe um número mínimo representável abaixo do qual o valor representado é zero. Estes dois fatores mostram que a noção de limite não é aplicável num computador. Assim, usaremos a definição da derivada como uma forma de aproximar a derivada matemática usando um valor de h não infinitesimal. Como veremos na segunda parte da matéria, o uso da definição desta maneira nos dará uma aproximação de primeira ordem em h. Existem outras aproximações mais precisas e apresento uma aproximação de segunda ordem em h logo abaixo: y (x+ h) y(x h) dx h. O programa derivada gera valores aproximados da derivada de três tipos: usando a fórmula de primeira ordem com ponto flutuante de quatro baites, usando a fórmula de primeira ordem com ponto flutuante de oito baites e usando a fórmula de segunda ordem com ponto flutuante de quatro baites. O programa que gerará os pontos é o derivada.c e

4 ele se encontra na página da disciplina e supomos que o arquivo gerado leva o nome de derivada.dat. Para a visualização de todos os pontos será necessário gerar gráficos di-log, ou seja, de escala logarítmica nos eixos x e y. No caso do gnuplot basta executar os comandos gnuplot> set logscale x gnuplot> set logscale y e gerar o gráfico no seguinte modo gnuplot> plot derivada.dat u 1: w l, derivada.dat u 1:3 w l, derivada.dat u 1:4 w l o qual resultará num gráfico com o seguinte aspecto: Em vermelho temos a fórmula de primeira ordem em h e quatro baites de ponto flutuante, em azul a fórmula de segunda ordem em h e quatro baites de ponto flutuante e a terceira a fórmula de primeira ordem em h e oito baites de ponto flutuante. Observe que todas as fórmulas dão resultados piores quando vão abaixo de um determinado valor de h. O número que a partir do qual isto ocorre varia com a ordem do método e com o número de baites que usamos para as variáveis envolvidas.

5 Questões I) Abaixo está apresentado um sistema constituído de um pêndulo cujo o fio de suspensão é uma mola de constante elástica k e tem comprimento l sem qualquer força aplicada. A massa na ponta do pêndulo tem valor m. As equações são dadas por m[ d r r ( d Θ ) ] +k (r l)=mg cosθ e m[ r d Θ + ( d r )( d Θ = mg senθ )] onde Θ é o ângulo tomado a partir do ponto de repouso, r é o comprimento da mola e g é a aceleração da gravidade. Simule tempo suficiente para que haja pelo menos quatro oscilações em torno do ponto de equilíbrio. Use os seguintes valores para a massa e constante de mola: a)m=1 ;k=1 b)m=4 ; k=1 c )m=1; k= Faça comparações entre os casos. Monitore o sistema pela a energia que neste caso é dada por T = m [( dr ) +r ( dθ ) ] ;V = mgr cosθ+ k (r l) ; E=T +V. Use ainda as seguintes condições iniciais: Use g=1; l=1. Θ(0)=1; dθ t=0=0 ; e r(0)=1 ; d r t =0=0;. Faça gráficos da evolução do ângulo e do comprimento do pêndulo com o tempo. Faça ainda os mapas de fase tanto da equação angular quanto a do comprimento do pêndulo ( d Θ dr Θ contra e r contra ). O que você observa de interessante? Brincar um pouco com os parâmetros pode ajudar...

6 Sugestões: a) Comece a implementação como se o método de resolução fosse de segunda ordem na discretização. Simplifica identificar erros no início e se implementa de forma incremental. b) Comece por um sistema de apenas duas equações que você saiba a solução. Verifique em qualquer livro de equações diferenciais. Faça uso também do exemplo do pêndulo simples que está implementado e apresentado na página do curso. II) Usando calculadora, determine o valor de y no ponto x = 1. Use um método de segunda ordem de passo simples, um método de previsão-correção de passo dois e um método de previsão-correção de passo 4 e Runge-Kutta-Nyström de quarta ordem. Use ainda h = 1; 0,5 e 0;5 para cada método. Compare os resultados dentro do mesmo método e dos métodos entre si. 4 d y y=0; y (0)= 1; dx dx dx = x=0 IV) Resolva com o uso da calculadora o problema abaixo usando Heun, previsão-correção de passo e previsão-correção de passo 4. dx = x+y ; y (1)=0; y (1,5)=? ;(h=0,1 e 0,15) x Compare os resultados para os valores de h diferentes e os métodos diferentes. Qual à conclusão a qual você chega? Sugestões: faça gráficos dos métodos sobrepostos para o mesmo h e outros de cada método com valores de h diferentes. V) Resolva o problema abaixo com o uso de calculadora usando um método de segunda ordem. d y dx + ( dx ) 4 +sen(x)=0 ; y(0)=1; dx =0 ; y (0,)=? ;(h=0,05) x=0 VI) Verifique a ordem do método abaixo, assim como se ele é consistente e estável y i+1 = y i 1 + h 3 (f i +1+4 f i +f i 1 ). Atenção: Todos estes resultados poderão ser verificados usando o Scilab ou o Maxima!

7 DESAFIO Os problemas associados à vários fenômenos difusivos (calor, como evolui uma espécie invasora numa região nova ou um boato pré-internet) podem ser descritos pela a equação abaixo φ t =α φ onde aqui α é a difusibilidade do fenômeno descrito por φ que varia com o tempo t e φ= φ x + φ y + φ z é chamado de laplaciano. No entanto, faremos uso do caso em uma dimensão φ t =α φ x que é o suficiente para um bom estudo. Veremos na segunda parte do curso que é possível descrever uma aproximação deste problema com na equação abaixo d j j 1 j i 1 ;k = x onde aqui o índice j, que varia de 0 até n, indica a posição x j do espaço onde calculamos o valor de φ e x é a discretização espacial. Teremos um sistema de n-1 equações diferenciais ordinárias pois os valores de φ nos pontos x 0 e x n são conhecidos. Resolva um caso especial do problema acima que será constituído por quatro equações dadas abaixo d d 3 1 d d onde para todo tempo vale 0 =0 ; 5 =100 e para t = 0 vale 1 =80 ; =60; 3 =40 ; 4 =0. Temos ainda que os valores para a difusibilidade e a discretização espacial serão =1 ; x=1/5 e as coordenadas espaciais serão x 0 =0 ; x 1 =0, ; x =0,4 ; x 3 =0,6; x 4 =0,8; x 5 =1,0. Calcule a evolução no tempo até que os valores nos pontos dados mostrem uma tendência francamente linear (se você fizer um ajuste de uma reta por mínimos quadrados o coeficiente angular será aproximadamente 100). Use os métodos de previsão-correção de segunda e quarta ordens sabendo que os valores para φ são limitados ao intervalo [0, 100]. Monitore os erros locais e faça os gráficos sobrepostos da evolução em cada ponto espacial no tempo.

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