Projeto pelo Lugar das Raízes

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1 Projeto pelo Lugar das Raízes 0.1 Introdução Controle 1 Prof. Paulo Roberto Brero de Campos Neste apostila serão estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema realimentado, utilizando-se o Lugar Geométrico das Raízes, denotado LGR ou, simplesmente, LR. O método do lugar das raízes é uma forma gráfica de se obter as raízes da equação característica (que equivale aos pólos em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito. 0.2 Informações teóricas Os sistemas de controle são projetados para desempenhar tarefas específicas, sendo que os requisitos impostos aos sistemas de controle são chamados de especificações de desempenho. resposta, etc. Estas especificações podem ser relativas à estabilidade, velocidade de O objetivo do projeto é posicionar os pólos em malha fechada em um determinado lugar no plano complexo s, de forma que atenda as especificações de desempenho. Algumas vezes apenas o ajuste do ganho permite atender às especificações. Outras vezes será necessário acrescentar um outro sistema na malha de realimentação, denominado compensador ou controlador, para atender às especificações. O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 1, no qual o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar alguma característica do sistema em malha fechada. A função de transferência em malha fechada 1

2 é dada por: F (s) = Y (s) R(s) = KC(s)G(s)H(s) 1+KC(s)G(s)H(s) R(s) + Y(s) K C(s) G(s) H(s) Figura 1: Função de transferência em malha fechada Considerações preliminares de projeto O projeto no lugar das raízes é um método de tentativa e erro procurando-se posicionar os pólos em malha fechada em uma determinada região. Sempre no projeto busca-se posicionar um par de pólos na região de interesse de forma que eles sejam dominantes na resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um número grande de pólos, mas aqueles que estiverem mais próximos do eixo imaginário irão determinar o tipo de resposta. Efeito da adição de pólos A adição de um pólo na função de transferência de malha aberta possui o efeito de repelir o lugar das raízes. Normalmente o pólo é posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das raízes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodação. Efeito da adição de zeros A adição de um zero na função de transferência de malha aberta possui o efeito de atrair o lugar das raízes. Normalmente o zero é posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das raízes tenda para a região que em que o zero se encontra, aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodação. O efeito do zero é introduzir um grau de antecipação no sistema aumentando a velocidade transitória. 2

3 Estabilidade relativa Indica o quanto um sistema está próximo da instabilidade. Existem diversas formas de se fazer esta avaliação. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do pólo, verificando quanto próximo ela se encontra do eixo imaginário. Estabilidade absoluta A estabilidade absoluta indica se um sistema é estável ou não Tipos de compensadores Os compensadores podem ser classificados em três tipos: 1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): P ID = K P + K I s + K d s, podendo-se trabalhar com os elementos também de forma isolada, como por exemplo: a) proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + s derivativo: K P + K d s; d) integral: K I s Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) P ID = K P (1 + K I s + K ds); b) P ID = K P (1 + I s + Ds). 2. Compensador avanço de fase (Lead): é um filtro passa alta. Lead = K s+a s+b, sendo que a < b. Isto é o zero está mais próximo da origem, no semi plano esquerdo 3. Compensador atraso de fase (Lag): é um filtro passa baixa. Lag = K s+c s+d, sendo que d < c. Isto é o pólo está mais próximo da origem, no semi plano esquerdo Diretrizes gerais para o projeto do compensador O projeto do compensador é feito pela colocação de pólos e zeros. Como o sistema deve ser causal, o número de pólos deve ser sempre maior ou igual o número de zeros. Se o compensador tiver um pólo e um zero afastados entre si, ele irá alterar o lugar das raízes. 3

4 Se o pólo e o zero estiverem muito próximos entre si, eles não alteram de forma significativa o lugar das raízes: a) a contribuição em termos de ângulos do pólo e do zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em consideração ao pólo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam. Exemplo Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das raízes é inserir pólos e zeros para alterar o lugar das raízes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os pólos dominantes definam as características do sistema. Na figura 2, no ítem a, é mostrado o lugar das raízes para o sistema G(s) = 1 s(s+1)(s+6) sem compensação. Com o objetivo de tornar o sistema mais rápido, os pólos em malha fechada devem ser posicionados o mais a esquerda possível no semi-plano esquerdo s. Para isto é colocado um zero em s = 1, 5 e o pólo em s = 30. Isto é mostrado no item b, da figura 2. Figura 2: Compensação atrair o lugar das raízes mais para a esquerda Compensação por atraso de fase (LAG) A forma geral do compensador Lag é: C(s) = K s+ 1 T α = K T s+1 s+ 1 αt s+1, com α > 1. αt No compensador atraso de fase o pólo está mais próximo da origem do que o zero, p < z. Exemplo de compensação por atraso de fase 4

5 Neste projeto a compensação por atraso de fase baseia-se na colocação de um pólo e um zero próximos entre si e próximos da origem. Como eles estão próximos entre si, as contribuições de fase se cancelam e o lugar das raízes original não é alterado. Na figura 3 é mostrada a colocação de um compensador atraso de fase no lugar das raízes. A compensação por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de malha, sem alterar o lugar das raízes. Figura 3: Compensação atraso de fase Note que apesar do lugar das raízes não sofrer alteração, o ganho em regime (ganho estático, que equivale ao ganho DC) é alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e pólo p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final G lag = K s+0,1 s+0,01 = K 0,1 0,01 = K10. O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original. Lembrando que Kp = lim s 0 GH, ao acrescentar o compensador K p = lim s 0 CGH = lim s 0 K s+z GH = k z G(0)H(0). Note que o ganho estático compensado é aumentado pela s+p p relação z p em relação ao sistema original. Isto pode ser útil, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro estático). OBS: Note que o par pólo-zero muito próximo da origem, pode afetar a resposta transitória. Neste caso, uma das raízes em malha fechada estará próxima do zero do compensador de atraso de fase. A resposta transitória correspondente a esta raiz terá um termo que decairá lentamente, mas que terá uma magnitude pequena porque o zero quase irá cancelar o pólo na função de transferência. Ainda assim, o decaimento será lento e este termo poderá influenciar seriamente o tempo de estabilização. Além disto, o zero não estará presente na resposta a um degrau do torque de perturbação e o transitório lento será muito mais evidente nesta situação. Devido a este efeito é importante colocar o pólo e o zero do compensador em freqüências o mais alto possível, mas sem causar uma 5

6 alteração na localização das raízes dominantes Compensação por avanço de fase No compensador avanço de fase o zero está mais próximo da origem do que o pólo, z < p. A forma geral do compensador Lead é: C(s) = K α s+ 1 T s+ 1 αt = K T s+1 αt s+1, com α < 1. Exemplo de compensação por avanço de fase (LEAD) Neste exemplo, o compensador lead é caracterizado por um par pólo-zero ajustável, colocado longe da origem no eixo real negativo. Neste compensador, colocando o pólo bem mais distante do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular do compensador é ainda positiva, pois angulo zero > angulo polo. Normalmente o pólo do compensador é colocado bem a esquerda dos outros pólos do sistema. Na figura 4 é mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanço de fase. O sistema em malha aberta tem pólos em s 1 = 2 e s 2 = 3. Deseja-se colocar os pólos dominantes no ponto P (s = 4 ± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa inicial o zero foi colocado em s = 4. O pólo do compensador deverá ser calculado para que θ 1 + θ 2 + θ 4 θ 3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = 4 e polo = 7.6. Só que neste caso, devido à proximidade do zero com os pólos complexos haverá 3 pólos dominantes. Figura 4: Compensação avanço de fase 6

7 Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = 5 e repete-se o processo. Obtendose o resultado desejado com o pólo em s = 9, Exemplos de lugar das raízes Figura 5: Exemplos de lugar das raízes 7

8 Figura 6: Exemplos de lugar das raízes 8