SCS Sistemas de Controle / Servomecanismos. Aula 04 Diagrama do lugar geométrico das raízes

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1 Aula 04 Diagrama do lugar geométrico das raízes Definição: O lugar das raízes de um sistema é um gráfico que representa a trajetória das raízes de sua equação característica pólos da função de transferência em malha fechada obtida a partir da variação de um parâmetro deste sistema Para um sistema dinâmico de ordem n, quando o parâmetro de interesse é variado de forma contínua, o lugar das raízes é constituído de uma família de n ramos (ou caminhos) traçados a partir das n raízes da equação característica Nas discussões acerca do lugar das raízes, é comum usar como base um sistema como o da figura abaixo, com 0 K Rs + - K H s Gs Sistema para análise do lugar das raízes Y s Na figura ao lado, assume-se que Gs inclui as funções de transferência do controlador p G s Gc s e da planta, Atualmente, aplicativos computacionais como o MATLAB e o LabView calculam o lugar das raízes de um sistema de forma rápida e eficiente Entretanto, um bom conhecimento das regras e técnicas de construção do lugar das raízes proporciona uma compreensão aguçada dos efeitos causados pelas mudanças de parâmetros e da adição de pólos e zeros ao sistema Regras para a construção do diagrama de Lugar das Raízes: A teoria referente às técnicas de construção é muito mais extensa do que a apresentada neste material, porém, acredito que este material, juntamente com os exercícios realizados na sala de aula, será suficiente para compreensão destas técnicas Para a construção do diagrama de Lugar das Raízes faz-se necessário seguir cinco regras bem definidas e de fácil entendimento, a tabela abaixo reúne estas regras aplicadas a um sistema descrito pela equação característica K G s H s 0 Tabela: Regras para construção do diagrama do lugar das raízes Regra O diagrama do lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real Regra O diagrama do lugar das raízes se origina nos pólos de G s H s para K 0 e termina nos zeros de G s H s, incluindo os que ocorrem no infinito, quando K Regra 3 Se a função de malha aberta possui zeros no infinito,, o diagrama do lugar das raízes se aproxima de assíntotas à medida que K tende ao infinito Os ângulos destas assíntotas são dados por r 80 com r, 3, 5,

2 e o intercepto das assíntotas no eixo real ocorre no ponto a soma dos pólos finitos soma dos zeros fin itos número de pólos finit os número de zeros finit os Regra 4 O lugar das raízes inclui todos os pontos do eixo real à esquerda de um número ímpar de freqüências críticas reais Regra 5 Os pontos de quebra ou ruptura do diagrama do lugar das raízes serão obtidos a partir do conjunto das raízes do polinômio gerado por ou, de forma equivalente, N s D s N s D s 0 d G s H s ds 0 em que G s H s N s e Ds são, respectivamente, os polinômios do numerador e do denominador de O traçado do lugar das raízes de um sistema em malha fechada, em função de um ganho de ramo direto, pode ser obtido diretamente no MATLAB pela função rlocus A partir da função de transferência em malha aberta, s G n d s s obtém-se o lugar das raízes do sistema em malha fechada, usando rlocus(n,d); ou rlocus(g); % Sendo G = tf(n,d) Neste caso, o MATLAB utiliza um vetor de ganhos criado automaticamente, com k p variando de 0 a + Este vetor também pode ser fornecido pelo usuário, como no exemplo a seguir: VG = [0:05:0]; % Cria vetor com ganhos de 0 a 0 rlocus(n,d,vg); % Obtém o lugar das raízes O resultado é apresentado em uma janela de figura com os pólos e zeros de malha aberta indicados por "" e " ", respectivamente A função rlocus também pode fornecer as raízes calculadas e o vetor de ganhos utilizado nos cálculos, sem traçar o gráfico, usando-se: [R Kp] = rlocus(n,d) % R = matriz de raízes; Kp = vetor de ganhos Analisando-se estes valores de retorno é possível descobrir, por exemplo, quais valores de k p podem tornar o sistema instável

3 Exemplo Utilizando o comando rlocus: Considere um sistema como o da figura 5, com: G s 3 s 4s 6s O lugar das raízes deste sistema pode ser obtido, digitando-se: >> MA = tf(,[ 4 6 ]); >> rlocus(ma); O resultado gráfico está representado na figura abaixo As setas indicam o sentido de deslocamento dos pólos de malha fechada do sistema com o aumento de k p Pólo de malha aberta Lugar das raízes Análise gráfica do lugar das raízes: A análise dos pólos do sistema em relação ao ganho k p também pode ser feita de forma gráfica pelo uso da função rlocfind Esta função calcula o ganho de ramo direto necessário para que um certo pólo, selecionado pelo mouse na janela do lugar das raízes, seja obtido Para ver um exemplo de como isto pode ser feito, obtenha o lugar das raízes do sistema desejado e digite: >> [g p] = rlocfind(ma) 3

4 A mensagem "Select a point in the graphics window" será mostrada na janela de comando do MATLAB e um cursor e forma de cruz aparecerá na janela de figura, aguardando que um ponto seja selecionado No exemplo a seguir foi considerado o lugar das raízes do sistema descrito como exemplo anterior Figura 53: Seleção de um ponto sobre o lugar das raízes Os resultados correspondentes são exibidos na janela de comando assim que um ponto for selecionado Para o exemplo da figura 53, tem-se: selected_point = i g = 57 p = i i Os pólos calculados no vetor p ficam destacados na janela de figura até que o gráfico seja redesenhado Importante: a função rlocfind só funciona se existir uma janela de lugar das raízes criada pelo comando rlocus Exercícios: ) Determine o ganho crítico (limite da estabilidade) para um sistema com: Na condição crítica, quais pólos são dominantes? s s G s s s s 3 4

5 ) Considere um sistema realimentado definido por: G s s s s 4s 5 Verifique se é possível obter pólos dominantes com parte real igual a -0,35 e determine para qual valor de k p isto acontece 3) Considere um sistema definido pela função de transferência: s 9 G s s s Determine o valor do ganho k p para o qual os três pólos de malha fechada são reais e iguais 4) Determine o ganho crítico (limite da estabilidade) para um sistema com: s s G s s s s 3 Confira o valor obtido, simulando a resposta ao degrau do sistema Na condição crítica, quais pólos são dominantes? 5) Considere um sistema definido pela função de transferência: s 9 G s s s Determine o valor do ganho K p para o qual os três pólos de malha fechada são reais e iguais 6) Considere o sistema mostrado a seguir, no qual G C s representa um controlador R(s) + - G C (s) G(s) C(s) K s, 5 G C s s G s 0, 5s 0, 5s Pode-se mostrar que o sistema possui tempo de acomodação menor que s e erro estacionário nulo para entrada em degrau se os pólos complexos (supostamente) dominantes em malha fechada estiverem à esquerda de uma linha vertical traçada em s =,5 Determine o ganho mínimo que permite obter esta especificação de desempenho e verifique se os pólos complexos são realmente dominantes (critério: parte real 0 vezes menor do que a dos demais pólos) 5

6 Configurações típicas: O esboço de diagramas do lugar das raízes depende fortemente da experiência Desta forma, é útil o conhecimento prévio de algumas configurações típicas desses diagramas A Tabela abaixo fornece configurações para sistemas de ordem reduzida Os diagramas (f) e (g) ilustram alguns dos problemas que ocorrem na construção do lugar das raízes Nestes casos, os sistemas em estudo possuem um pólo real e dois complexos conjugados Entretanto, deve-se notar a posição relativa entre os pólos complexos e o pólo real Para funções de malha aberta como as representadas nos diagramas (f) e (g), o cálculo dos pontos de quebra indica qual dos esboços deve ser aplicado deve-se notar que (f) possui dois desses pontos à esquerda de p enquanto (g) não possui nenhum Configurações típicas de diagramas do lugar das raízes 6