EES-49/2012 Correção do Exame. QBM1 Esboce o diagrama de Nyquist para a seguinte função de transferência:

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1 EES-49/2012 Correção do Exame QBM1 Esboce o diagrama de Nyquist para a seguinte função de transferência: Analise a estabilidade do sistema em malha fechada (dizendo quantos polos instáveis o sistema tem em cada região do diagrama de Nyquist) com realimentação unitária negativa e ganho - < k < (ou seja, valores positivos e negativos de ganho). Para k < 0, P mf = = 1, sistema instável com 1 polo no spd. Para k > 0, mas não >> 0 P mf = = 2, sistema instável com 2 polos no spd. Para k >> 0, P mf = 1-1 = 0, sistema estável. QN1 Dada a seguinte função de transferência: a) Mostre que, com realimentação negativa unitária e usando apenas um ganho como controlador, não é possível fazer com que os polos em malha fechada sejam -8 ± 6j. Com realimentação unitária negativa e ganho k, o denominador de T(s) fica: E a soma das partes reais dos polos é -8. Portanto se eles forem complexos conjugados sua parte real será -4 e não -8. Podemos observar isso facilmente a partir do LGR também. b) Projete um controlador de avanço de fase para que o sistema em malha fechada tenha um par de polos em -8 ± 6j. Posicione o polo e o zero do controlador de avanço de fase simetricamente em relação à parte real dos polos desejados (bissetriz). Qual a posição do terceiro polo em malha fechada? Qual dos modos (o de 1ª ordem ou o par de polos complexos) deve dominar a resposta ao degrau? Por que? O lead deve ser: E o terceiro polo estará em -3 e deve dominar a resposta ao degrau por ser mais lento que o par de polos complexos e estar razoavelmente afastado do zero em -5.

2 QBM2 Dada a seguinte resposta em frequência, Y(jω), de um sistema de segunda ordem, estável, sem zeros: Obtenha a função de transferência deste sistema. QN2 Dado o seguinte modelo de sistema: Projete uma realimentação de estado, u(t) = -kx(t) + Nr(t) de modo a cancelar o zero do sistema com um dos polos em malha fechada e posicionar os outros dois polos em -6 ± 8j. Projete o valor de N para que o erro em regime para uma entrada em degrau seja nulo. Fazendo uma pequena mudança de variáveis (x 2 por x 3 ) temos: Trocando agora x 1 por x 2 temos E temos um zero em -650/130 = -5. O denominador da função de transferência em malha fechada deve ser portanto: = E os ganhos na forma canônica controlável devem ser: 176, 47 e 5. Que na forma original resultam em: k = [ ] Em regime teremos: E portanto x 2 = 0; x 1 = 0 e x 3 = N/500. Desse modo, y = 650/500 N, e para termos nulo precisamos de N = 10/13. ( 0,77)

3 QBM3 Dado o seguinte sistema: Quais restrições devem ser impostas para k e k t para que o sistema seja estável? s 3 1 s 2 2 s 1 0 s 0 0 Precisamos ter: k > 0 e > 0, > 0,. k > 0 e k t > 0,5 QN3 Dada a seguinte função de transferência: Sabendo que há um atraso total de 0,075 segundo no sistema, projete um controlador de avanço e atraso de fase de modo que a frequência de cruzamento de 0 db da resposta em frequência do sistema em malha aberta seja de cerca de 6 rad/s, a margem de fase seja de cerca de 44 e o erro em regime do sistema em malha fechada para uma entrada em rampa unitária seja de 0,01. Posicione o zero do atraso de fase em 0,6 rad/s. Precisamos de um ganho de 5 para que a frequência de cruzamento de 0 db seja 6 rad/s. Calculando a fase temos: -90 atan(3/4) = ,9 = -126,9 MF de 53,1. Tudo estaria bem, se não fosse o atraso de 0,075 segundo, que em 6 rad/s contribui com uma fase de 25,8, reduzindo a margem de fase para 27,3. Além disso, com o ganho 5, o erro em regime para entrada em rampa seria de 0,13 e não de 0,01. E como o zero do atraso deve ser posicionado em 0,6 rad/s (1/10 da frequência de 0dB), vamos considerar mais 6 do atraso de fase e a margem de fase do sistema sem avanço fica: 21,3. Como o requisito é de 44, precisamos de uma avanço de 22,7. Obtemos então α 0,44 (usando a fórmula 1-sen/1+sen) e. Projetando o controlador lead de modo a não alterar o cruzamento de 0 db, temos: Com o ganho 5 e mais o controlador lead, o erro em regime permanente será de 0,2. Precisamos então de um fator de 20 para que erro seja 0,01. O controlador de atraso de fase será então:

4 E o controlador total de avanço e atraso de fase será: QBM4 Dada a seguinte função de transferência: Apresente uma realização desta função de transferência no espaço de estados que seja não-controlável, não-observável e estabilizável. Estabilizável -> então o polo instável deve ser controlável -> o polo instável é não observável. O polo estável cancelado precisa ser não-controlável e pode ser observável ou não. Escrevendo o sistema na forma diagonal: Com a 0 e bd = 1 temos uma realização da função de transferência que é nãocontrolável (polo em -2), não-observável (polo em 1 e talvez polo em -2, se c = 0) e estabilizável, já que o modo não controlável é estável (polo em -2)., QN4 Dado o seguinte sistema (para o qual o valor em regime é muito mais importante que o transitório da resposta ao degrau): Onde,, r(t) é a entrada de referência, y(t) é a saída e d(t) é uma entrada de perturbação aditiva. Projete um controlador C(s), o mais simples possível, de modo que o erro em regime para uma entrada em degrau unitário seja de exatamente 0,01, quando a perturbação é nula. Para o controlador projetado, qual será o valor em regime permanente caso a entrada seja um degrau de amplitude 5 e a perturbação um degrau de amplitude 1? O grande detalhe desta questão é que o controlador o mais simples possível, não pode ser apenas um ganho, porque nesse caso, o ganho necessário seria de 99, o que deixaria o sistema instável, e o erro ao invés de ser 0,01 seria, o que não atende ao requisito da questão. O mais simples então, é projetar um atraso de fase, com ganho 99. Por exemplo: (s+0,99)/(s+0,01).

5 Existem infinitas possibilidades, desde que o ganho em baixas frequências (s 0) seja 99 e o sistema em malha fechada fique estável. Lembrando que o sistema é linear, a saída para as duas entradas juntas é a soma das saídas para as entradas individuais. O valor em regime devido à entrada degrau de amplitude 5 será 4,95 (erro de 0,01 projetado). Já para a entrada de perturbação basta obtermos a função de transferência de D(s) para Y(s), com R(s) = 0, e usarmos o teorema do valor final. Note que de D(s) para Y(s) é como se tanto C(s) quanto H(s) estivessem na realimentação, portanto, Y(s)/D(s)=G(s)/1+C(s)G(s)H(s). Outra possibilidade é já analisarmos o ganho em regime de cada componente. Temos então que para uma entrada de perturbação de amplitude 1 teremos uma saída em regime permanente de amplitude 1/(1+99) = 0,01. A saída em regime permanente será então: 4,96. QBM5 Dada a seguinte resposta no tempo, y(t), de um sistema de segunda ordem, sem zeros, para uma entrada u(t) degrau unitário: Obtenha a função de transferência aproximada do sistema, G(s) = Y(s)/U(s). QN5 Dado o seguinte modelo não-linear no espaço de estados: a) Linearize o modelo em torno do ponto de operação u(t) =, constante. ou

6 Ou b) Verifique as características de controlabilidade e observabilidade do modelo para diferentes pontos de operação, com 0 < < 10. Existe algum ponto de operação onde o modelo não seja controlável e observável? Se existe, qual o valor de e qual o valor do polo não controlável ou não observável? Podemos construir as matrizes de controlabilidade e observabilidade e verificar quando o determinante delas é igual a zero, ou podelos escrever a função de transferência e verificar quando ocorre um cancelamento de polo com zero. Vamos adotar essa segunda abordagem, porque com ela verificamos imediatamente quem é o polo não controlável ou não observável. G(s) = C(sI-A) -1 B = = = = Para que tenhamos o cancelamento, precisamos ter = (s+2)(s+p), o que acontecerá quando for divisível por (s+2), ou quando. O que acontece quando O modelo linearizado com é sempre controlável e observável. Em EES-51 vocês aprenderão a analisar a estabilidade desses dois possíveis pontos de operação ou pontos de equilíbrio, mas isso não é necessário aqui.