Fundamentos de Controlo

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1 Fundamentos de Controlo 5 a Série Análise no Domínio da Frequência: Diagrama de Bode e Critério de Nyquist. S5. Exercícios Resolvidos P5. Considere o SLIT causal cujo mapa polos/zeros se representa na Figura. Im(s) +j0 Re(s) j0 Figura a) Sabendo que o valor nal da resposta ao escalão unitário é unitário, determine a função de transferência. b) Desenhe o diagrama de Bode do sistema, não se limitando ao assimptótico. c) Caracterize a resposta de frequência do sistema. Resolução: a) Atendendo ao mapa polos/zeros, a função de transferência do sistema é s + H(s) = K s 2 + 2s + 0, em que K representa um ganho a determinar. Pelo teorema de valor nal sabe-se que em que Para a entrada escalão unitário lim t y(t) = lim sy (s), s 0 Y (s) = H(s)X(s). Y (s) = H(s) s, pelo que lim y(t) = lim sh(s) t s 0 s = lim H(s). s 0 Tendo em conta que o valor nal da resposta ao escalão unitário é unitário, resulta lim H(s) = lim K s + s 0 s 0 s 2 + 2s + 0 = K 0 = K = 0, pelo que s + H(s) = 0 s 2 + 2s + 0.

2 b) O sistema tem zero em s =, zero de frequência ω = rad/s, e par de polos complexos conjugados em s = ± j0, polos de frequência natural ω n = rad/s e coeciente de amotecimento ξ = ω n 0.. Tendo em conta as frequências do zero e dos polos, o diagrama de Bode deverá ser representado para ω [0 2, 0 3 ] rad/s, i.e., desde 2 décadas antes da frequência mais baixa até 2 décadas depois da frequência mais elevada. O ganho estático do sistema (ganho de baixa frequência) é o valor nal da resposta à entrada escalão unitário, i.e., K 0 = K 0 db = 20 log K 0 = 0 db e arg K 0 = 0 rad, pelo que não inuenciará o traçado do diagrama de Bode. O diagrama de Bode assimptótico de H(s), representado na Figura 2, é a soma das contribuições do zero e do par de polos complexos conjugados. H(jω) db 40 zero em s = ω nal 40 polos em s = ± j0 arg H(jω) π 2 π 2 π zero em s = ω nal polos em s = ± j0 Figura 2 O diagrama de Bode real vai diferir do assimptótico essencialmente em torno das frequências do zero e do par de polos complexos conjugados:. Na frequência do zero (ω = rad/s) a característica de amplitude real passa 3 db acima da característica assimptótica; 2. Devido ao pequeno valor do coeciente de amortecimento dos polos complexos ( ξ 0.), a característica de amplitude real vai exibir um pico de ressonância na frequência de valor, em unidades lineares, igual a ω r = ω n 2ξ2 ω n 0 rad/s 2ξ ξ 2 2ξ 0, que corresponde a um desvio de +20 db em relação à característica assimptótica. Relativamente à fase, o baixo valor do coeciente de amortecimento vai levar a que a variação de fase de π em torno da frequência natural ω n se processe de forma mais abrupta. Estes desvios podem ser observados na Figura 3 em que se sobrepuseram os diagramas de Bode real e assimptótico. 2

3 Figura 3 c) Pela caracterísica de amplitude da resposta de frequência conclui-se que o sistema atenua fortemente a alta frequência, i.e., lim H(jω) db = lim H(jω) = 0, ω ω enquanto que apresenta ganho nito diferente de zero (K 0 = ) na baixa frequência. Consequentemente, a resposta de frequência do sistema é a de um ltro passa-baixo. P5.2 O diagrama de Bode assimptótico de um SLIT causal e estável é o representado na Figura 4. G(jω) db ω 20 arg G(jω) ω π 2π Figura 4 a) Sabendo que o sistema não possui polos e/ou zeros complexos, determine a sua função de transferência e desenhe o mapa polos/zeros. b) Qual dos sinais da Figura 5 representa a resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário? Figura 5 3

4 Resolução: a) Analisando a característica de amplitude verica-se que na baixa frequência o ganho (ganho estático) é constante e igual a K 0 db = 20 db, e que a partir de ω = 00 rad/s começa a descer com um declive de 40 db/década. Consequentemente, o sistema tem um polo duplo de frequência ω = 00 rad/s. Analisando a característica de fase observa-se que na baixa frequência arg K 0 = 0 rad, e que para ω [, 000] rad/s a fase diminui de 2π rad. O polo duplo de frequência ω = 00 rad/s, estando situado no semiplano complexo esquerdo, apenas provoca uma diminuição de fase de π rad. Consequentemente, terão de existir polos/zeros adicionais cujo efeito não se observe na característica de amplitude mas que originem um decaimento adicional na fase de π rad no intervalo de frequências ω [, 00] rad/s, i.e., tem de existir um polo no semiplano complexo esquerdo e um zero no semiplano complexo direito, ambos de frequência ω = 0 rad/s. Assim, os factores elementares que compõem a função de transferência do sistema são. ganho estático { K0 db = 20 db arg K 0 = 0 rad 2. polo real duplo em s = 00, 3. polo real em s = 0, 4. zero real em s = +0, obtendo-se a função de transferência K 0 = 0, G(s) = 0 (s + 00) 2 s + 0 cujo mapa polos/zeros se representa na Figura 6 s 0 0 = 05 s 0 (s + 0)(s + 00) 2, Im(s) Re(s) Figura 6 b) É o Sinal II porque a existência de um zero no semiplano complexo direito (sistema de fase não-mínima) faz com que a resposta no tempo à entrada escalão unitário comece por se afastar do valor nal para que converge quando t. P5.3 Um fabricante de equipamento pneumático contratou uma tipograa para editar os manuais com as características técnicas e a análise de comportamento dos sistemas que produz. Numa primeira fase, o fabricante enviou para a tipograa a documentação relativa a três SLITs causais contínuos, onde se incluia a resposta no tempo à entrada escalão unitário de cada um desses sistemas. Na Figura 7 representam-se as respostas no tempo ao escalão unitário dos sistemas A, B e C. 4

5 Figura 7 Figura 8 5

6 Uns dias mais tarde, o fabricante resolveu complementar a informação sobre o comportamento dos três SLITs incluindo nos manuais as respectivas respostas de frequência (amplitude e fase). Para o efeito, enviou para a tipograa as respostas de frequência representadas na Figura 8, tendo-se esquecido de indicar a que sistema correspondiam. a) Seleccione, na Figura 8, a resposta de frequência (I, II e III) para os sistemas A, B e C. Figura 9 b) Na Figura 9 representa-se o sinal de entrada x(t) = sin(0 t)u (t) e a correspondente resposta em regime estacionário, y est (t), de um dos sistemas dados. Qual a resposta de frequência, I, II ou III, que deu origem a este sinal de saída? Qual a amplitude A do sinal de saída? Resolução: a) A resposta ao escalão do sistema A é descontínua na origem pelo que a sua função de transferência tem um n o de polos igual ao n o de zeros. Consequentemente, a característica de amplitude da sua resposta em frequência tem declive nulo quando ω. Assim, a resposta em frequência do sistema A é a III. O valor nal da resposta ao escalão unitárioa do sistema B é igual a, i.e., o ganho estático (ganho de baixa frequência) do sistema é { K0 K 0 = db = 0 db arg K 0 = 0 rad Consequentemente, a resposta em frequência do sistema B é a I. Finalmente, o valor nal da resposta ao escalão unitário do sistema C é zero, pelo que este sistema tem pelo menos zero na origem. Consequentemente, a característica de amplitude da sua resposta em frequência tem de ter declive positivo (múltiplo de +20 db) na baixa frequência, como é o caso da resposta em frequência II. b) A resposta estacionária do sistema ao sinal x(t) dado é y est (t) = G(j0) sin (0t + arg G(j0)) u (t). Observando os grácos da Figura 9, verica-se que o sinal de saída vem atrasado em relação ao sinal de entrada (o primeiro máximo ocorre na saída para um instante superior ao da entrada) pelo que arg G(j0) < 0, o que só se verica na resposta em frequência I. Da característica de amplitude I conclui-se que pelo que A 7.. G(j0) db 7 db G(j0) , 6

7 P5.4 A Figura 0 representa o diagrama de Bode de um SLIT causal. Figura 0 a) Determine a função de transferência do sistema. b) Qual a resposta em regime estacionário do sistema ao sinal de entrada x(t) = [sin(0.t) + 2 sin (40t)] u (t)? Resolução: a) Na Figura representa-se a característica de amplitude da resposta em frequência do sis- tema com as assimptotas sobrepostas (a vermelho). Tendo em conta as frequências de cruzamento das assimptotas e os seus declives conclui-se que o sistema tem um par de zeros complexos conjugados de frequência natural ωn = 0 rad/s porque o declive passa de 0 db/década para 40 db/década e existe um pico de ressonância, três polos reais de Figura frequência ω = 00 rad/seg porque o declive das assimptotas passa de +40 db/década para 20 db/década, i.e., existe uma variação de declive de 60 db/década e não se observa qualquer pico de ressonância, e um zero de frequência ω = 000 rad/s porque o declive das assimptotas aumenta de 20 db/década para 0 db/década. Analisando a característica de fase, observa-se que a fase aumenta em torno da frequência dos zeros e diminui em torno da frequência dos polos concluindo-se que tanto os zeros como os polos se situam no semiplano complexo esquerdo. 7

8 Os factores elementares que compõem a função de transferência do sistema são:. Ganho estático { K0 db = 0 db arg K 0 = 0 rad. K 0 =, 2. Um par de zeros complexos conjugados de frequência natural ω n = 0 rad/s. A amplitude do pico de ressonância é de aproximadamente 4 db, que corresponde a 0.2 em unidades lineares, obtendo-se para coeciente de amortecimento 2ξ 0.2 ξ Um polo triplo em s = Um zero em s = 000. Assim, a função de transferência é G(s) = s2 + 2s s (s + 00) = 0 (s2 + 2s + 00)(s + 000) (s + 00) 3 b) A resposta estacionária de um SLIT a um sinal sinusoidal de frequência ω 0 é x(t) = sin(ω 0 t)u (t) y est (t) = G(jω 0 ) sin(ω 0 t + arg G(jω 0 ))u (t). Do diagrama de Bode sabe-se que pelo que G(j0.) db = 0dB G(j0.) = e arg G(j0.) = 0 rad G(j40) db 20dB G(j40) = 0 e arg G(j40) 5π 8 rad, x (t) = sin(0.t)u (t) y est (t) = sin(0.t)u ( (t) x 2 (t) = sin(40t)u (t) y 2est (t) 0 sin 40t + 5π 8 ) u (t). Como o sistema é linear, aplicando o princípio da sobreposição obtém-se [ ( x(t) = [sin(0.t) + 2 sin (40t)] u (t) y(t) = sin(0.t) + 20 sin 40t + 5π 8 )] u (t). P5.5 Considere o sistema em malha fechada representado na Figura 2. R + Y K s 2 + 2s + 2 s + Figura 2 a) Com K =, esboce o diagrama de Bode do sistema em malha aberta. b) Com K =, dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist. Analise a estabilidade de sistema em malha fechada como função de < K < +. c) Para K =, determine as margens de ganho e de fase do sistema. 8

9 Resolução: a) Com K =, a função de transferência do sistema em malha aberta é G(s)H(s) = (s 2 + 2s + 2)(s + ) = 2 2 s 2 + 2s + 2 s +, pelo que o diagrama de Bode do sistema, cuja aproximação assimptótica se representa na Figura 3, é a soma das contribuições dos factores elementares:. Ganho estático K 0 = 2 K 0 db 6 db e arg K 0 = 0 o ; 2. Par de polos complexos conjugados caracterizados por ω n = 2 e ξ = 3. Polo real em s =. 2 2 ; G(jω)H(jω) db ganho nal polo real ω polos complexos arg[g(jω)h(jω)]( o ) ω 90 polo real 80 polos complexos 270 nal Figura 3 Figura 4 Note-se que o par de polos complexos conjugados tem um coeciente de amortecimento para o qual já não existe pico de ressonância pelo que a aproximação assimptótica descreve relativamente bem o diagrama de Bode do sistema, como se pode concluir comparando com o diagrama real representado na Figura 4. 9

10 b) Na Figura 5 representa-se o contorno de Nyquist e o correspondente diagrama de Nyquist para K =. O número de polos da função de transferência em anel aberto dentro do contorno de Nyquist é P = 0. O número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico é N = 0. Consequentemente, Z = N + P = 0, i.e., para K = o sistema em anel fechado é estável pois não tem polos no semiplano complexo direito. Figura 5 A resposta em frequência do sistema em anel aberto é G(jω)H(jω) = ((jω) 2 + 2jω + 2)(jω + ) = (2 ω 2 + j2ω)( + jω). A intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo ocorre na frequência ω para a qual a resposta em frequência da malha aberta tem fase de 80 o, i.e., arg[g(jω)h(jω)] = arctan 2ω 2 ω 2 arctan ω = 80o. Calculando a tangente dos dois membros da equação anterior, e tendo em conta que obtém-se ( tan arctan tan(α + β) = 2ω ) 2 ω + arctan ω = 2 tan α + tan β tan α tan β, 2ω 2 ω 2 + ω 2ω2 2 ω 2 = 4ω + ω3 2 3ω 2 = 0 ω = 0 ω = ±2. Para a frequência ω = 0 rad/s tem-se arg G(j0)H(j0) = arctan 2ω 2 ω 2 arctan ω ω=0 = 0 o ω=0 G(j0)H(j0) = (2 ω2 ) 2 + 2ω ω=0 2 + ω 2 = ω=0 2, pelo que a intersecção com o eixo real positivo ocorre no ponto 2. tem-se arg G(j2)H(j2) = arctan 2ω 2 ω 2 arctan ω ω=2 = 80 o ω=2 G(j2)H(j2) = (2 ω2 ) 2 + 2ω ω=2 2 + ω 2 = ω=2 0, Para ω = 2 rad/s 0

11 i.e., a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto. Este resultado podia 0 ter sido obtido directamente a partir do diagrama de Bode: da característica de fase conclui-se que a fase de 80 o ocorre para a frequência ω = 2 rad/s, e da característica de amplitude verica-se que, nesta frequência, o ganho é de 20 db, i.e., em unidades 0 lineares. Aumentando o ganho K >, o diagrama de Nyquist vai expandir, intersectando o eixo real negativo no ponto crítico quando K = 0. Para K > 0, a intersecção com o eixo real negativo ocorre à esquerda do ponto. Neste caso, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno deste ponto é N = 2, pelo que o sistema em anel fechado irá ter 2 polos no semiplano complexo direito (Z = N +P = 2) sendo instável. O diagrama de Nyquist para K =, Figura 6, corresponde a efectuar uma rotação de 80 o sobre o diagrama para K > 0. Assim, a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto. Aumentando o K >, o diagrama de Nyquist vai expandir, intersectando 2 o eixo real negativo no ponto crítico quando K = 2. Para K < 2, a intersecção com o eixo real negativo ocorre à esquerda do ponto. Neste caso, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno deste ponto é N =, pelo que o sistema em anel fechado irá ter polo no semiplano complexo direito (Z = N +P = ) sendo instável. Figura 6 Concluindo, o sistema em anel fechado é estável para 2 < K < 0, tornando-se instável para K < 2 ou K > 0. c) Como a intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo é no ponto 0, a margem de ganho é MG = 0. Este valor também poderia ter sido determinado a partir do diagrama de Bode: como para a fase de 80 o a amplitude da resposta em frequência é de 20 db, a margem de ganho é MG db = +20 db MG = 0 em unidades lineares. Como a amplitude da resposta em frequência é sempre inferior a 0 db, qualquer que seja a rotação realizada sobre o diagrama de Nyquist conduz a um sistema estável em anel fechado pelo que MF = 360 o. P5.6 Considere o sistema em malha fechada representado na Figura 7. R + s + K Y s + 0 s Figura 7

12 a) Com K =, esboce o diagrama de Bode do sistema em malha aberta, dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist. b) Aplique o critério de Nyquist e determine para que valores de K o sistema em malha fechada é estável. Resolução: a) Com K =, a função de transferência do sistema em malha aberta é G(s)H(s) = s + (s + 0)(s ) = 0 0 s + 0 s s +, pelo que o diagrama de Bode, cuja aproximação assimptótica se representa na Figura 8, é a soma das contribuições dos factores elementares:. Ganho estático K 0 = 0 K 0 db 20 db e arg K 0 = 80 o ; 2. Polo real em s = 0; 3. Polo real em s = +; 4. Zero real em s = G(jω)H(jω) db zero s = ω ganho polo s = 0 polo s = + nal arg[g(jω)h(jω)]( o ) 90 0 polo s = + zero s = ω 90 nal polo s = 0 80 ganho Figura 8 Note-se que os polos e o zero são reais pelo que a aproximação assimptótica descreve relativamente bem o diagrama de Bode do sistema. A diferença mais signicativa ocorre para a frequência ω = 0 rad/s em que a característica de amplitude real passa 3 db abaixo da característica assimptótica. Na Figura 9 representa-se o contorno de Nyquist e o correspondente diagrama de Nyquist para K =. A parte do diagrama de Nyquist que é a imagem do troço do contorno que coincide com o eixo imaginário positivo (s = jω) pode ser construída a partir do diagrama de Bode da Figura 8. Note-se que a fase de 80 o é atingida quando ω = 0 rad/s. Como 2

13 Figura 9 o ganho de baixa frequência é 20 db, a interseção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo ocorre no ponto 0. b) Analisando o contorno de Nyquist e o correspondente diagrama de Nyquist representados na Figura 9, verica-se que o número de polos da função de transferência em anel aberto dentro do contorno é P = (polo em s = +) e o número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico é N = 0. Consequentemente, Z = N +P =, i.e., para K = o sistema em anel fechado é instável pois tem polo no semiplano complexo direito. Aumentando o ganho K >, o diagrama de Nyquist vai expandir, intersectando o eixo real negativo no ponto crítico quando K = 0. Para K > 0, a intersecção com o eixo real negativo ocorre à esquerda do ponto. Neste caso, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno deste ponto é N = ( volta em sentido contrário ao do contorno de Nyquist), pelo que Z = N + P = + = 0, i.e., o sistema em anel fechado é estável pois não tem polos no semiplano complexo direito. O diagrama de Nyquist para K = obtém-se do diagrama para K = efectuando uma rotação de 80 o (Figura 20). Neste caso, a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto 0 independentemente do valor de K < 0. Assim, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno do ponto crítico é N = 0. O sistema em anel fechado é instável pois tem polo no semiplano complexo direito (Z = N + P = ). Figura 20 Concluindo, o sistema em anel fechado é estável sse K > 0. P5.7 Considere o sistema da Figura 2 em que G(s) = 3 (s + ) 2.

14 R + Y C(s) G(s) Figura 2 Para cada um dos seguintes controladores: i) C(s) = K ii) C(s) = K s K( + 0.2s) iii) C(s) = s dena o contorno de Nyquist, esboce o diagrama de Nyquist e analise a estabilidade do sistema em malha fechada em função de < K < +. Conclua sobre o efeito dos diferentes controladores na estabilidade relativa. Para K =, determine a margem de ganho para cada um dos casos. Resolução: i) Com o controlador proporcional C(s) = K, a função de transferência em anel aberto é C(s)G(s) = K (s + ) 2. Figura 22 Figura 23 Nas Figuras 22 e 23 representam-se, para K =, os diagramas de Bode e de Nyquist do sistema em anel aberto. O número de polos da função de transferência em anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do 4

15 ponto crítico é N = 0, obtendo-se Z = N + P = 0, i.e., para K = o sistema em anel fechado não tem polos no semiplano complexo direito pelo que é estável. Aumentando o ganho K >, o diagrama de Nyquist vai expandir mas sem nunca intersectar o eixo real negativo. Consequentemente, o sistema em anel fechado é estável K > 0 e a margem de ganho é MG =. O diagrama de Nyquist para K = obtém-se do diagrama para K = efectuando uma rotação de 80 o (Figura 24). Neste caso, a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto crítico. Assim, para K < o diagrama de Nyquist vai expandir passando a envolver o ponto crítico (N = ), o sistema em anel fechado vai ter polo no semiplano complexo direito (Z = N + P = ) tornando-se instável. Figura 24 Em conclusão, com o controlador proporcional o sistema em anel fechado é estável sse K >. ii) Com o controlador integral C(s) = K, a função de transferência em anel aberto é s C(s)G(s) = K s(s + ). 2 Figura 25 Nas Figuras 25 e 26 representam-se, para K =, os diagramas de Bode e de Nyquist do sistema em anel aberto. No traçado do diagrama de Nyquist representou-se a amplitude em escala logarítmica para melhor visualizar o que acontece quando ω. O ponto crítico está indicado por um sobre a circunferência dos 0 db de amplitude. A parte do diagrama de Nyquist que é a imagem do troço do contorno que coincide com o 5

16 Figura 26 eixo imaginário positivo (s = jω) pode ser construída a partir do diagrama de Bode da Figura 25. A imagem da semi-circunferência em torno do polo na origem é determinada substituindo os pontos desta semi-circunferência (s = εe jθ com 90 o < θ < 90 o ) na função de transferência em anel aberto, e calculando o limite quando ε 0: lim ε 0 C(εejθ )G(εe jθ ) = lim ε 0 εe jθ (εe jθ + ) = lim 2 ε 0 ε e jθ. Da equação anterior conclui-se que s = εe j90o C(s)G(s) = ε ej90o s = εe j0o C(s)G(s) = ε ej0o s = εe j90o C(s)G(s) = ε e j90o i.e., a imagem da semi-circunferência innitesimal (ε 0) é uma semi-circunferência de raio innito ( ) percorrida em sentido contrário ao da semi-circunferência innitesimal e que se fecha pela direita. O número de polos da função de transferência em ε anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico é N = 0, obtendo-se Z = N + P = 0, i.e., para K = o sistema em anel fechado não tem polos no semiplano complexo direito pelo que é estável. A resposta em frequência do sistema em anel aberto é C(jω)G(jω) = jω(jω + ) 2. A intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo ocorre na frequência ω para a qual a resposta em frequência da malha aberta tem fase de 80 o, i.e., arg[c(jω)g(jω)] = 90 o 2 arctan ω = 80 o arctan ω = 45 o ω = rad/s. Para esta frequência C(j)G(j) = jω(jω + ) 2 = ω= 2, pelo que a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto. Este resultado podia ter sido obtido directamente a partir do diagrama de Bode: da característica de 2 fase 6

17 conclui-se que a fase de 80 o ocorre para a frequência ω = rad/s, e da característica de amplitude verica-se que, nesta frequência, o ganho é de 6 db, i.e., em unidades 2 lineares. Aumentando o ganho K >, o diagrama de Nyquist vai expandir, intersectando o eixo real negativo no ponto crítico quando K = 2. Para K > 2, a intersecção com o eixo real negativo ocorre à esquerda do ponto. Neste caso, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno deste ponto é N = 2, pelo que o sistema em anel fechado é instável pois tem 2 polos no semiplano complexo direito (Z = N + P = 2). A margem de ganho é MG = 2. Figura 27 O diagrama de Nyquist para K = obtém-se do diagrama para K = efectuando uma rotação de 80 o (Figura 27). K < 0, o diagrama de Nyquist vai envolver o ponto crítico (N = ). Consequentemente, o sistema em anel fechado é instável pois tem polo no semiplano complexo direito (Z = N + P = ) sendo instável. Concluindo, com o controlador integral o sistema em anel fechado é estável sse 0 < K < 2. K( + 0.2s) iii) Com o controlador proporcional-integral C(s) = = 0.2K s + 5, a função de s s transferência em anel aberto é C(s)G(s) = 0.2K s + 5 s(s + ) 2. Figura 28 Nas Figuras 28 e 29 representam-se, para K =, os diagramas de Bode e de Nyquist do sistema em anel aberto. No traçado do diagrama de Nyquist representou-se a amplitude 7

18 Figura 29 em escala logarítmica para melhor visualizar o que acontece quando ω. O ponto crítico está indicado por um sobre a circunferência dos 0 db de amplitude. A parte do diagrama de Nyquist que é a imagem do troço do contorno que coincide com o eixo imaginário positivo (s = jω) pode ser construída a partir do diagrama de Bode da Figura 28. A imagem da semi-circunferência em torno do polo na origem é determinada substituindo os pontos desta semi-circunferência (s = εe jθ com 90 o < θ < 90 o ) na função de transferência em anel aberto, e calculando o limite quando ε 0: lim ε 0 C(εejθ )G(εe jθ ) = lim ε εe jθ + 5 εe jθ (εe jθ + ) = lim 2 ε 0 ε e jθ. Da equação anterior conclui-se que a imagem da semi-circunferência innitesimal ( ε 0) é uma semi-circunferência de raio innito ( ) percorrida em sentido contrário ao da ε semi-circunferência innitesimal e que se fecha pela direita. O número de polos da função de transferência em anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico é N = 0, obtendo-se Z = N + P = 0, i.e., para K = o sistema em anel fechado não tem polos no semiplano complexo direito pelo que é estável. A resposta em frequência do sistema em anel aberto é jω + 5 C(jω)G(jω) = 0.2 jω(jω + ). 2 A intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo ocorre na frequência ω para a qual a resposta em frequência da malha aberta tem fase de 80 o, i.e., ( ω ) ( ω ) arg[c(jω)g(jω)]=arctan 90 o 2 arctan ω= 80 o arctan 2 arctan ω= 90 o. 5 5 Calculando a tangente dos dois membros da equação anterior, e tendo em conta que e que tan 2α = tan(α β) = 2 tan α tan 2 α tan α tan β + tan α tan β, 8

19 obtém-se ( ( ω ) ) tan arctan 2 arctan ω = 5 ω 5 2ω + ω 5 ω 2 = + 2ω ω 2 Para esta frequência C(j.29)G(j.29) = 0.2 jω + 5 jω(jω + ) 2 = 0.3, ω=.29 2ω 2 5( ω 2 ) = 0 ω ±.29. pelo que a intersecção com o eixo real negativo ocorre no ponto 0.3. Aumentando o ganho K >, o diagrama de Nyquist vai expandir, intersectando o eixo real negativo no ponto crítico quando K = = 3.3. Para K > 3.3, a intersecção com o eixo real negativo 0.3 ocorre à esquerda do ponto. Neste caso, o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno deste ponto é N = 2, pelo que o sistema em anel fechado é instável pois tem 2 polos no semiplano complexo direito (Z = N +P = 2). A margem de ganho é MG = 3.3. Figura 30 O diagrama de Nyquist para K = obtém-se do diagrama para K = efectuando uma rotação de 80 o (Figura 30). K < 0, o diagrama de Nyquist vai envolver o ponto crítico (N = ). Consequentemente, o sistema em anel fechado é instável pois tem polo no semiplano complexo direito (Z = N + P = ). Concluindo, com o controlador proporcional-integral o sistema em anel fechado é estável sse 0 < K < 3.3. Com os controladores integral e proporcional-integral o erro de seguimento em regime permanente a uma entrada escalão é nulo (sistema de tipo ), o que não acontece com o controlador proporcional (sistema de tipo 0). O intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável é maior com o controlador proporcional-integral do que com o controlador integral, i.e., o zero do controlador proporcional-integral no semiplano complexo esquerdo, ao introduzir fase positiva na malha aberta, afastou o diagrama de Nyquist do ponto crítico melhorando assim a estabilidade relativa. 9

20 S5.2 Exercícios Propostos P5.8 Esboce o diagrama de Bode das seguintes funções de transferência: a) 00 (s + )(s + 0) ; b) s + 00 (s + )(s + 0) ; c) s 00 (s + )(s + 0) ; d) s (s + )(s + 0) ; e) 0 (s + )(s 2 + 2s + 00) ; f) 0 3 (s s + ) (s + )(s 2 + 2s + 00) ; g) 03 (s 2 0.5s + ) s(s + 0) 2 ; h) s(s ) (s + )(s 2 + ). P5.9 Considere o SLIT causal G(s) = K(s + ) (s s + 000)(s + 5) 2 (s +.05). a) Determine K de modo a que o valor nal da resposta ao escalão unitário seja igual a 0. b) Esboce o diagrama de Bode assimptótico do sistema. c) Utilizando o conceito de polo dominante, aproxime o sistema dado por outro de ordem inferior. Justique as aproximações feitas. d) Que diferenças espera obter entre as respostas no tempo dos dois sistemas (exacto e aproximado)? P5.0 Considere o SLIT causal contínuo G(s) = Ks(s + 2) (s 2 + 2s + 0)(s s + 000). a) Considerando K =, desenhe o diagrama de Bode assimptótico do sistema e, sobre este, esboce o diagrama real. b) Dimensione K de modo a que para ω = 0. o ganho seja de 20 db. c) Utilizando o conceito de polo dominante, aproxime o sistema dado por outro de ordem inferior. Justique as aproximações feitas. d) Que diferenças espera obter entre as respostas em regime estacionário dos dois sistemas (exacto e aproximado) ao sinal de entrada Comente a validade da aproximação feita. u(t) = sin(0000 t)u (t)? 20

21 P5. Considere o sistema contínuo representado na Figura 3, em que C(s) e G(s) representam funções de transferência de SLITs causais. x(t) z(t) C(s) y(t) G(s) H(s) Sabe-se que: Figura 3. O bloco C(s) é representado pelo diagrama de blocos dado na Figura 32 com C (s) = K e C 2 (s) = K 2 s + a, em que K, K 2 e a são constantes reais. x(t) C (s) + z(t) C 2 (s) + C(s) Figura A resposta no tempo à entrada escalão unitário do sistema C(s) é caracterizada por: valor inicial da resposta: A resposta no tempo à entrada escalão unitário de C 2 (s) é caracterizada por: tempo de estabelecimento: 0.3 s; valor nal da resposta: O diagrama de Bode assimptótico de G(s) é o representado na Figura 33. Parte I: Considere o bloco G(s). G(jω) db M [+20] [ 20] 0 ω π 2 F ω arg G(jω) 00 ω 0.0 ω Figura 33 a) Determine os parâmetros ω, M e F que caracterizam a sua resposta de frequência. b) Determine a função de transferência G(s). c) Qual a resposta no tempo em regime estacionário deste sistema quando o sinal à sua entrada é z(t) = u (t)? 2

22 Parte II: Considere o bloco C(s). d) Determine os parâmetros K 2 e a, e obtenha a função de transferência C 2 (s). e) Determine K e, usando o resultado da alínea anterior, obtenha a função de transferência C(s). Parte III: Considere o sistema global, H(s), dado na Figura 3. f) Determine a função de transferência H(s). g) Esboce o diagrama de Bode assimptótico do sistema global H(s). P5.2 A característica de amplitude assimptótica da resposta de frequência de um SLIT causal, estável e de fase mínima, é a representada na Figura 34. Sabe-se ainda que o sistema tem, pelo H(jω) db db/dec 20 db/dec ω 4 ω 20 Figura 34 menos, um par de polos complexos conjugados com coeciente de amortecimento ξ = 0.. a) Determine a função de transferência do sistema. b) Esboce a característica de amplitude real do diagrama de Bode do sistema. Para responder a esta alínea, utilize o gráco com a caraterística assimptótica, determinando e indicando no diagrama apenas os pontos que lhe pareçam relevantes para esboçar de forma aproximada a característica de amplitude da resposta de frequência do sistema. c) Desenhe a característica de fase assimptótica do sistema. Figura 35 d) Qual dos sinais representados na Figura 35 representa a resposta em regime estacionário do sistema ao sinal de entrada u(t) = [ + sin(400t)] u (t)? 22

23 P5.3 A Figura 36 representa o diagrama de Bode de um SLIT estável e causal. Figura 36 a) Determine a função de transferência do sistema. b) Qual a resposta em regime estacionário do sistema ao sinal de entrada u(t) = sin(t) + 0 sin 04 t u (t)? P5.4 A um engenheiro foi atribuída a tarefa de analisar o comportamento de 3 SLITs diferentes. Para o efectuar, o engenheiro decidiu começar por determinar experimentalmente as respostas de frequência e as respostas no tempo ao escalão unitário dos 3 sistemas. Na Figura 37 representam-se as características de amplitude obtidas para os sistemas A, B e C. Figura 37 23

24 Figura 38 Figura 39 24

25 O engenheiro foi pouco cuidadoso ao efectuar o seu trabalho, tendo-se esquecido de indicar a que sistema correspondiam os diagramas de fase da resposta de frequência e as respostas no tempo ao escalão, Figuras 38 e 39. Não tendo possibilidade de repetir os testes, o engenheiro foi obrigado a seleccionar as respostas correspondentes a cada um dos sistemas a partir da análise dos resultados obtidos. Seleccione, nas Figuras 38 e 39, a característica de fase da resposta de frequência e a resposta no tempo ao escalão unitário para os sistemas A, B e C. P5.5 Dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist dos seguintes sistemas em malha aberta: a) G(s) = s + 2 s + 0. b) G(s) = (s + 0)(s + 2) 2. (s + 0)(s + ) c) G(s) = (s + 00)(s + 2) d) G(s) = s(s + 0)(s + 00). e) G(s) = (s + 5) s 2 (s + 00) 2. Para todos os sistemas analise a estabilidade e determine as margens de ganho e de fase. P5.6 Considere o sistema representado na Figura 40. R + 3 K Y s(s + )(s + 3) Figura 40 a) Dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist. Analise a estabilidade do sistema em função de < K < +. b) Para os valores de K para os quais o sistema é instável, utilize o critério de Nyquist para determinar o número de polos do sistema no semiplano complexo direito. P5.7 Considere o sistema representado na Figura 4. R + s + K Y (s ) 2 Figura 4 a) Dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist. Analise a estabilidade do sistema em função de < K < +. b) Para os valores de K para os quais o sistema é instável, utilize o critério de Nyquist para determinar o número de polos do sistema no semiplano complexo direito. 25

26 P5.8 Considere o sistema representado na Figura 42. R + s K Y (s + ) 2 Figura 42 a) Dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist. Analise a estabilidade do sistema em função de < K < +. b) Para os valores de K para os quais o sistema é instável, utilize o critério de Nyquist para determinar o número de polos do sistema no semiplano complexo direito. P5.9 Considere o sistema em malha fechada representado na Figura 43 em que R + Y G(s) G(s) = Figura 43 cujo diagrama de Bode é mostrado na Figura [(s/0) + ] s [(s/) ] [(s/00) + ] Figura 44 a) Porque é que a fase de G(s) é de 270 o nas baixas frequências? b) Dena o contorno de Nyquist e esboce o correspondente diagrama de Nyquist de G(s). c) O sistema em malha fechada representado na Figura 43 é estável? d) Será esse sistema estável se o ganho for reduzido por um factor de 00? 26

27 P5.20 Considere o sistema representado na Figura 45. Esboce o diagrama de Bode da função de - K s + 0. s R s(s + ) Y - Figura 45 transferência em anel aberto e determine o valor do ganho K que conduz a uma margem de fase de 45o. Qual é a margem de ganho do sistema para este valor de K? S5.3 Soluções dos Exercícios Propostos P5.8 a) b) c) d) 27

28 e) f) g) h) P5.9 a) K = b) 40 6 G(jω) db Q 0Q 2 0 Q Q S ω 04 ω S S S S arg G(jω) PP P P0 Q π QP PP P 2π 28

29 P5.0 a) c) G(s) 250 (s + 5) 2. d) Par de polos complexos conjugados em ω n 00 rad/s: componente do regime transitório de curta duração. Par polo/zero reais em s : componente do regime transitório lenta mas de pequena amplitude. b) K = s(s + 2) c) G(s) 50.5 s 2 + 2s + 0. d) A aproximação não é válida na alta frequência. A amplitude da resposta estacionária do sistema exacto é 80 db inferior à do sistema aproximado. A desfasagem entre a resposta estacionária e o sinal de entrada no sistema exacto é de π rad. No sistema aproximado, entrada e saída estacionária estão em fase. P5. a) ω = 0 5 rad/s; M = 40 db; F = π 2 rad. s(s ) b) G(s) = 0. (s + )(s + 00). c) y est (t) = 0, t. d) K 2 = 9; a = 0; C 2 (s) = 9 s + 0. e) K = 0.; C(s) = 0. s + 00 s + 0. f) H(s) = 0 2 s(s ) (s + )(s + 0). g) H(jω) db ω 40 arg H(jω) π 2 π ω 2 s P5.2 a) 400 s s

30 b) c) arg H(jω) 6 π π @ 4 d) Sinal I. s2 2s s(s s + 06 ) yest (t) = [ cos(t) 0 cos(04 t)] u (t). P5.3 a) G(s) = 04 b) P5.4 Sistema A - fase II - resposta no tempo III; Sistema B - fase III - resposta no tempo I; Sistema C - fase I - resposta no tempo II. P5.5 a) b) c) d) Sistema estável. MG =, MF = 80o. Sistema estável. MG ' 576, MF = 360o. Sistema estável. MG =, MF = 360o. Sistema estável. MG ' 2.75, MF ' 7.7o. 30

31 e) Sistema estável. MG = 9, MF ' 53.4o. P5.6 a) P = 0. Para K =, N = 0 pelo que Z = N + P = 0 e o sistema em anel fechado é estável. Sistema estável para 0 < K < 4. b) Para K < 0, N = pelo que Z = N + P = polo no semiplano complexo direito. Para K > 4, N = 2 pelo que Z = N + P = 2 polos no semiplano complexo direito. P5.7 a) P = 2. Para K =, N = 0 pelo que Z = N + P = 2 e o sistema em anel fechado é instável. Sistema estável para K > 2. b) Para K <, N = pelo que Z = N + P = polo no semiplano complexo direito. Para < K < 2, N = 0 pelo que Z = N + P = 2 polos no semiplano complexo direito. P5.8 a) P = 2. Para K =, o diagrama de Nyquist intersecta o eixo real negativo no ponto crítico pelo que o sistema em anel fechado é marginalmente estável. Sistema estável para 2 < K <. b) Para K < 2, N = 2 pelo que Z = N + P = 2 polos no semiplano complexo direito. Para K >, N = pelo que Z = N + P = polo no semiplano complexo direito. P5.9 a) Polo na origem ( 90o ) e ganho negativo ( 80o ) do polo no semiplano complexo direito. 3

32 b) c) P =, N =, Z = N + P = 0, sistema estável. d) Não, o sistema ca instável. P5.20 K 0.33 em unidades lineares ou K db 9.7 db, MG =. Bibliograa. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Sixth edition. 2. Isabel Lourtie, Sinais e Sistemas, 2 a edição. 3. Eduardo Morgado, Controlo-problemas 999 e Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Second edition. 32